Текущая алгебра

Некоторые коммутационные соотношения между операторами плотности тока в квантовых теориях поля определяют бесконечномерную алгебру Ли, называемую алгеброй токов . Математически это алгебры Ли, состоящие из гладких отображений многообразия в конечномерную алгебру Ли.

История

Оригинальная алгебра токов, предложенная в 1964 году Мюрреем Гелл-Манном , описывала слабые и электромагнитные токи сильно взаимодействующих частиц, адронов , что привело к формуле Адлера-Вейсбергера и другим важным физическим результатам. Основная концепция, существовавшая в эпоху, предшествовавшую квантовой хромодинамике , заключалась в том, что даже без детального знания лагранжевой динамики адронов, точная кинематическая информация – локальная симметрия – все еще могла быть закодирована в алгебретоки.

Коммутаторы, задействованные в современной алгебре, представляют собой бесконечномерное расширение жорданового отображения , где квантовые поля представляют собой бесконечные массивы осцилляторов.

Современные алгебраические методы по-прежнему являются частью общей основы физики элементарных частиц при анализе симметрий и незаменимы при обсуждении теоремы Голдстоуна .

Пример

В неабелевой симметрии Янга – Миллса , где V и A представляют собой 0-е компоненты ароматного тока и аксиального тока (плотности заряда) соответственно, парадигма алгебры токов имеет вид

${\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ V^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})\ ,$ и

${\bigl [}\ V^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ A^{c}({\vec {x}})\ ,\qquad {\bigl [}\ A^{a}({\vec {x}}),\ A^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ V^{c}({\vec {x}})~,$

где f — структурные константы алгебры Ли . Чтобы получить значимые выражения, они должны быть упорядочены в обычном порядке .

Алгебра превращается в прямую сумму двух алгебр, L и R , после определения

$L^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})-A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,\qquad R^{a}({\vec {x}})\equiv {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\ V^{a}({\vec {x}})+A^{a}({\vec {x}})\ {\bigr )}\ ,$

после чего ${\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ L^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ L^{c}({\vec {x}})\ ,\quad {\bigl [}\ L^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=0,\quad {\bigl [}\ R^{a}({\vec {x}}),\ R^{b}({\vec {y}})\ {\bigr ]}=i\ f_{c}^{ab}\ \delta ({\vec {x}}-{\vec {y}})\ R^{c}({\vec {x}})~.$

Конформная теория поля

В случае, когда пространство представляет собой одномерный круг, алгебры токов естественным образом возникают как центральное расширение алгебры петель , известные как алгебры Каца – Муди или, более конкретно, аффинные алгебры Ли . В этом случае коммутатору и нормальному порядку можно дать очень точное математическое определение в терминах контуров интегрирования на комплексной плоскости, что позволяет избежать некоторых формальных трудностей расходимости, обычно встречающихся в квантовой теории поля.

Когда форма Киллинга алгебры Ли сжимается с коммутатором тока, получается тензор энергии-импульса двумерной конформной теории поля . Когда этот тензор разлагается в ряд Лорана , результирующая алгебра называется алгеброй Вирасоро . Этот расчет известен как конструкция Сугавары .

Общий случай формализуется как алгебра вершинных операторов .

См. также

• Аффинная алгебра Ли
• Хиральная модель
• Карта Иордании
• Алгебра Вирасоро
• Алгебра вершинных операторов
• Алгебра Уэйка – Муди

Ссылки

• Гелл-Манн, М. (1962). «Симметрии барионов и мезонов» . Физический обзор . 125 (3): 1067–84. Бибкод : 1962PhRv..125.1067G . дои : 10.1103/PhysRev.125.1067 .
• Гелл-Манн, М .; Нееман, Ю. , ред. (1964). Восьмеричный путь . В. А. Бенджамин . LCCN   65013009 .
• Голдин, Джорджия (2006). Франсуаза, Япония; Набер, ГЛ; Цун, Т.С. (ред.). Энциклопедия математической физики . Современная алгебра. ISBN  978-0-12-512666-3 .
• Трейман, Южная Каролина ; Джекив, Р .; Гросс, диджей (2015) [1972]. Лекции по современной алгебре и ее приложениям . Принстонская серия по физике. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . дои : 10.1515/9781400871506 . ISBN  978-1-4008-7150-6 – через Де Грюйтера . Образец.