Коммутатор

В математике коммутатор бинарная указывает на степень, в которой определенная операция не является коммутативной . используются разные определения В теории групп и теории колец .

Теория групп

Коммутатором элементов двух $g$ и $h$ группы G $является$ элемент

[г, час] знак равно г -1 час -1 хх

.

Этот элемент равен единице группы тогда и только тогда, когда $g$ и $h$ коммутируют (то есть тогда и только тогда, когда $gh = hg$ ).

Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа порожденная G, всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или подгруппой коммутатора G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп, а также наибольшей абелевой факторгруппы .

Определение коммутатора, приведенное выше, используется на протяжении всей статьи, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как

[г, час] = гг -1 час -1

. ^[1]^[2]

Тождества (теория групп)

Коммутирующие тождества являются важным инструментом в теории групп . ^[3] Выражение $ х$ обозначает сопряжение a $с$ x $как$ , определяемое $x -1 топор$ .

$x^{y}=x[x,y].$
$[y,x]=[x,y]^{-1}.$
$[x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}$ и $[xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].$
$\left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}$ и $\left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.$
$\left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1$ и $\left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.$

Тождество (5) также известно как тождество Холла-Витта , в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).

Обратите внимание: приведенное выше определение сопряжения $a$ с $x$ используется некоторыми теоретиками групп. ^[4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение $a$ с $x$ как $xax -1$ . ^[5] Это часто пишут ${}^{x}a$ . Подобные тождества справедливы и для этих конвенций.

Также используются многие тождества, которые верны по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе вторые силы ведут себя хорошо:

(xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].

Если производная подгруппа центральная, то

(xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.

Теория колец

Кольца часто не поддерживают разделение. Таким образом, коммутатор двух элементов a и b кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по-разному:

[a,b]=ab-ba.

Коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так же представляются в терминах каждого базиса. Используя коммутатор в качестве скобки Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .

Антикоммутатор формулой двух элементов $a$ и $b$ кольца или ассоциативной алгебры определяется

\{a,b\}=ab+ba.

Иногда $[a,b]_{+}$ используется для обозначения антикоммутатора, а $[a,b]_{-}$ затем используется для коммутатора. ^[6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц .

Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве , является центральным понятием квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые, описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона-Шредингера . ^[7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функций -звездочек называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым структурам коммутаторов гильбертова пространства.

Тождества (теория колец)

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры лжи

$[A+B,C]=[A,C]+[B,C]$
$[A,A]=0$
$[A,B]=-[B,A]$
$[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$

Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) — тождеством Якоби .

Дополнительные личности

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[A,B+C]=[A,B]+[A,C]$
$[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$
$[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B$
$[[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]$

Если $A$ — фиксированный элемент кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для отображения $\operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R$ данный $\operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]$ . Другими словами, отображение ad _A определяет дифференцирование на кольце R . Тождества (2), (3) представляют собой правила Лейбница для более чем двух факторов и справедливы для любого вывода. Тождества (4)–(6) можно интерпретировать и как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z - билинейность .

Из тождества (9) находим, что коммутатор целых степеней кольцевых элементов равен:

[A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{N-n-1}A^{M-m-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя приведенное выше обозначение ±. ^[8]Например:

$[AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B$
$[AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B$
$[[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]$
$\left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0$
$[A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}$
$[A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }$

Экспоненциальные тождества

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которых экспонента $e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots$ может быть осмысленно определено, например, банаховой алгеброй или кольцом формальных степенных рядов .

В таком кольце лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$ (Последнее выражение см. в разделе «Сопряженный вывод » ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа log(exp( A ) exp( B )).

Аналогичное разложение выражает групповой коммутатор выражений $e^{A}$ (аналог элементов группы Ли ) через ряд вложенных коммутаторов (скобок Ли), $e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).$

Градуированные кольца и алгебры

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяют градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как

[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .

Присоединенный вывод

особенно если иметь дело с несколькими коммутаторами в кольце R. Другое обозначение оказывается полезным, Для элемента $x\in R$ , определим присоединенное отображение $\mathrm {ad} _{x}:R\to R$ к:

\operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.

Это отображение является дифференцированием на кольце R :

\mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).

По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:

\mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].

Составляя такие отображения, получаем, например, $\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]$ и $\operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].$ Мы можем рассмотреть $\mathrm {ad}$ себя как отображение, $\mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)$ , где $\mathrm {End} (R)$ — кольцо отображений R в себя с композицией в качестве операции умножения. Затем $\mathrm {ad}$ является гомоморфизмом алгебры Ли , сохраняющим коммутатор:

\operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].

Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно $\operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}$ .

Правило генерала Лейбница

Общее правило Лейбница , расширяющее повторяющиеся производные произведения, можно записать абстрактно, используя присоединенное представление:

x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.

Замена $x$ оператором дифференцирования $\partial$ , и $y$ оператором умножения $m_{f}:g\mapsto fg$ , мы получаем $\operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}$ и применяя обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n- й производной $\partial ^{n}\!(fg)$ .

См. также

Примечания

Ссылки

Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN 0-13-805326-Х
Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Wiley, ISBN 0471010901
Лавров, П.М. (2014), «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L , doi : 10.1007 /s11232-014-0161-2 , S2CID 119175276
Либофф, Ричард Л. (2003), Вводная квантовая механика (4-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 0-8053-8714-5
Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Математические заметки королевы Марии, том. 18 лет, Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9 , МР 1802994
МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , МакГроу Хилл , ISBN 978-0-07-154382-8

Дальнейшее чтение

Маккензи, Р .; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модульные многообразия: теория коммутаторов» , Кудрявцев, В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальная алгебра , Научная серия НАТО II, том. 207, Springer, стр. 273–329, номер документа : 10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN. 9781402038174

Внешние ссылки

«Коммутатор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Фрэли (1976 , стр. 108)

[2] Херштейн (1975 , стр. 65)

[3] Маккей (2000 , стр. 4)

[4] Херштейн (1975 , стр. 83)

[5] Фрэли (1976 , стр. 128)

[6] МакМахон (2008)

[7] Либофф (2003 , стр. 140–142)

[8] Лавров (2014)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]