Лемма о трёх подгруппах

В математике , а точнее в теории групп , лемма о трёх подгруппах является результатом, касающимся коммутаторов . Это следствие Филипа Холла и Эрнста Витта одноименной личности .

Обозначения

В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения:

Если H и K являются подгруппами группы G , коммутатор H и K , обозначаемый [ H , K ], определяется как подгруппа G, порожденная коммутаторами между элементами в двух подгруппах. Если L — третья подгруппа, соглашение о том, что [ H , K , L ] = [[ H , K ], L ]. будет соблюдаться
Если x и y являются элементами группы G , сопряжение x y к через будет обозначаться $x^{y}$ .
Если H — подгруппа группы G , то H в G G будет обозначаться C _{централизатор} ( H ).

Заявление

Пусть X , Y и Z — подгруппы группы G и предположим, что

[X,Y,Z]=1

и

[Y,Z,X]=1.

Затем $[Z,X,Y]=1$ . ^[1]

В более общем смысле для нормальной подгруппы $N$ из $G$ , если $[X,Y,Z]\subseteq N$ и $[Y,Z,X]\subseteq N$ , затем $[Z,X,Y]\subseteq N$ . ^[2]

Доказательство и тождество Холла – Витта.

тождество Холла – Витта

Если $x,y,z\in G$ , затем

[x,y^{-1},z]^{y}\cdot [y,z^{-1},x]^{z}\cdot [z,x^{-1},y]^{x}=1.

Доказательство леммы о трёх подгруппах

Позволять $x\in X$ , $y\in Y$ , и $z\in Z$ . Затем $[x,y^{-1},z]=1=[y,z^{-1},x]$ и согласно приведенному выше тождеству Холла – Витта следует, что $[z,x^{-1},y]^{x}=1$ и так $[z,x^{-1},y]=1$ . Поэтому, $[z,x^{-1}]\in \mathbf {C} _{G}(Y)$ для всех $z\in Z$ и $x\in X$ . Поскольку эти элементы порождают $[Z,X]$ , мы заключаем, что $[Z,X]\subseteq \mathbf {C} _{G}(Y)$ и, следовательно, $[Z,X,Y]=1$ .