Геометрическая механика

Геометрическая механика — раздел математики, применяющий отдельные геометрические методы ко многим областям механики — от механики частиц и твёрдых тел до механики жидкости и теории управления .

Геометрическая механика применяется главным образом к системам, для которых конфигурационное пространство представляет собой группу Ли или группу диффеоморфизмов , или, в более общем смысле, где некоторый аспект конфигурационного пространства имеет эту групповую структуру. Например, конфигурационное пространство твердого тела, такого как спутник, представляет собой группу евклидовых движений (переносов и вращений в пространстве), тогда как конфигурационное пространство жидкого кристалла представляет собой группу диффеоморфизмов, связанных с внутренним состоянием (калибровочная симметрия или параметр заказа).

Карта импульса и редукция

Одной из основных идей геометрической механики является редукция , которая восходит к исключению Якоби узла в задаче трёх тел, но в современном виде принадлежит К. Мейеру (1973) и независимо Дж. Э. Марсдену и А. Вайнштейну ( 1974), оба вдохновлены работой Смейла (1970). Симметрия гамильтоновой или лагранжевой системы приводит к появлению сохраняющихся величин по теореме Нётер являются компонентами отображения импульса J. , и эти сохраняющиеся величины Если P — фазовое пространство, а G — группа симметрии, карта импульса — это карта $\mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}$ , а приведенные пространства являются факторами множеств уровня J по подгруппе G, сохраняющей рассматриваемое множество уровня: для $\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}$ один определяет $P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }$ , и это приведенное пространство является симплектическим многообразием, если $\mu$ является регулярным значением J .

Вариационные принципы

Геометрические интеграторы

Одним из важных достижений геометрического подхода к механике является включение геометрии в численные методы.В частности, симплектические и вариационные интеграторы оказываются особенно точными для долговременного интегрирования гамильтоновых и лагранжевых систем.

История

Термин «геометрическая механика» иногда относится к механике 17 века. ^[1]

Как современный предмет, геометрическая механика уходит корнями в четыре работы, написанные в 1960-х годах. Это были Владимир Арнольд (1966), Стивен Смейл (1970) и Жан-Мари Сурио (1970), а также первое издание Абрахама и Марсдена » « Основания механики (1967). Фундаментальная работа Арнольда показала, что уравнения Эйлера для свободного твердого тела являются уравнениями геодезического потока на группе вращения SO(3), и перенесла это геометрическое понимание в динамику идеальных жидкостей, где группа вращения заменена группой объема -сохраняющие диффеоморфизмы. В статье Смейла по топологии и механике исследуются сохраняющиеся величины, возникающие из теоремы Нётер, когда группа симметрий Ли действует на механическую систему, и определяется то, что сейчас называется отображением импульса (которое Смейл называет угловым моментом), а также поднимает вопросы о топологии. поверхностей уровня энергии-импульса и влияние на динамику. В своей книге Сурио также рассматривает сохраняющиеся величины, возникающие в результате действия группы симметрий, но он больше концентрируется на задействованных геометрических структурах (например, свойствах эквивариантности этого импульса для широкого класса симметрий), а не на вопросах динамики.

Эти идеи, и особенно идеи Смейла, заняли центральное место во втором издании « Основ механики» (Абрахам и Марсден, 1978).

Приложения

Компьютерная графика
Теория управления - см. Блох (2003).
Жидкие кристаллы — см. Гей-Балмаз, Ратиу, Тронци (2013).
Магнитогидродинамика
Молекулярные колебания
Неголономные ограничения - см. Блох (2003).
Нелинейная устойчивость
Плазма — см. Холм, Марсден, Вайнштейн (1985).
Квантовая механика
Квантовая химия - см. Фоскетт, Холм, Тронци (2019).
Сверхтекучие жидкости
Термодинамика - см. Гей-Балмаз, Йошимра (2018).
Планирование траектории освоения космоса
Подводные аппараты
вариационные интеграторы; см. Марсден и Уэст (2001).

Ссылки

^ Себастьян Маронн, Марко Панса. «Эйлер, читатель Ньютона: механика и алгебраический анализ». В: Рафаэль Пизано. Ньютон, История и историческая эпистемология науки , 2014, стр. 12–21.

Авраам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики (2-е изд.), Аддисон-Уэсли
Арнольд, Владимир (1966), «О дифференциальной геометрии групп Ли бесконечной размерности и ее приложениях к гидродинамике идеальных жидкостей» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 16 : 319–361, doi : 10.5802 /aif .233
Арнольд, Владимир (1978), Математические методы классической механики , Springer-Verlag
Блох, Энтони (2003). Неголономная механика и управление . Спрингер-Верлаг.
Фоскетт, Майкл С.; Холм, Дэррил Д.; Тронци, Чезаре (2019). «Геометрия неадиабатической квантовой гидродинамики». Журнал прикладной математики 162 (1): 63–103. arXiv : 1807.01031 . дои : 10.1007/s10440-019-00257-1 . S2CID 85531406 .
Гей-Бальмаз, Франсуа; Ратиу, Тюдор ; Тронци, Чезаре (2013). «Эквивалентные теории динамики жидких кристаллов». Арх. Рацион. Мех. Анал . 210 (3): 773–811. arXiv : 1102.2918 . Бибкод : 2013ArRMA.210..773G . дои : 10.1007/s00205-013-0673-1 . S2CID 14968950 .
Холм, Дэррил Д.; Марсден, Джерролд Э .; Ратиу, Тудор С .; Вайнштейн, Алан (1985). «Нелинейная устойчивость жидкостного и плазменного равновесий» . Отчеты по физике . 123 (1–2): 1–116. Бибкод : 1985PhR...123....1H . дои : 10.1016/0370-1573(85)90028-6 .
Либерманн, Полетт ; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Математика и ее приложения. Том. 35. Дордрехт: Д. Рейдель. дои : 10.1007/978-94-009-3807-6 . ISBN 90-277-2438-5 .
Марсден, Джеррольд ; Вайнштейн, Алан (1974), «Редукция симплектических многообразий с симметрией» , Reports on Mathematical Physics , 5 (1): 121–130, Бибкод : 1974RpMP....5..121M , doi : 10.1016/0034-4877( 74)90021-4
Марсден, Джеррольд ; Ратиу, Тудор С. (1999). Введение в механику и симметрию . Тексты по прикладной математике (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98643-Х .
Мейер, Кеннет (1973). «Симметрии и интегралы в механике». Динамические системы (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971) . Нью-Йорк: Академическая пресса. стр. 259–272.
Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тудор С. (2004). Отображения импульса и редукция гамильтониана . Прогресс в математике. Том. 222. Биркгаузер Бостон. ISBN 0-8176-4307-9 .
Смейл, Стивен (1970), «Топология и механика I», Inventiones Mathematicae , 10 (4): 305–331, Bibcode : 1970InMat..10..305S , doi : 10.1007/bf01418778 , S2CID 189831616
Сурио, Жан-Мари (1970), Структура динамических систем , Дюно

[1] Себастьян Маронн, Марко Панса. «Эйлер, читатель Ньютона: механика и алгебраический анализ». В: Рафаэль Пизано. Ньютон, История и историческая эпистемология науки , 2014, стр. 12–21.

[1]