коэффициент ГИТ

В алгебраической геометрии — аффинный фактор GIT или фактор аффинной геометрической теории инвариантов аффинной схемы. $X=\operatorname {Spec} A$ с действием групповой схемы G является аффинной схемой $\operatorname {Spec} (A^{G})$, простой спектр кольца инвариантов A , и обозначается $X/\!/G$. Фактор GIT — это категориальный фактор : любой инвариантный морфизм однозначно факторизуется через него.

Взяв Proj ( градуированного кольца ) вместо $\operatorname {Spec}$, получается проективный фактор GIT (который является фактором множества полустабильных точек .)

Фактор GIT — это категориальный фактор геометрического места полустабильных точек; т. е. «частное» полустабильного локуса. Поскольку категориальное частное уникально, если существует геометрическое частное , то два понятия совпадают: например, одно имеет

$G/H=G/\!/H=\operatorname {Spec} \!{\big (}k[G]^{H}{\big )}$

для алгебраической группы G над полем k и замкнутой подгруппой H .

Если X — комплексное гладкое проективное многообразие и если — редуктивная комплексная группа Ли , то фактор GIT X по G гомеоморфен симплектическому фактору X по максимальной компактной подгруппе G G ( теорема Кемпфа–Несса ).

Построение коэффициента GIT

Пусть G — редуктивная группа, действующая на квазипроективной схеме X над полем, а L — линеаризованное обильное линейное расслоение на X . Позволять

$R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,L^{\otimes n})$

быть кольцом сечения. По определению полустабильный локус $X^{ss}$ является дополнением нулевого множества $V(R_{+}^{G})$ в Х ; другими словами, это объединение всех открытых подмножеств $U_{s}=\{s\neq 0\}$ для разделов глобальных $(L^{\otimes n})^{G}$, н большой. По обилию каждый $U_{s}$ является аффинным; сказать $U_{s}=\operatorname {Spec} (A_{s})$ и поэтому мы можем сформировать аффинный коэффициент GIT

$\pi _{s}\colon U_{s}\to U_{s}/\!/G=\operatorname {Spec} (A_{s}^{G}).$

Обратите внимание, что $U_{s}/\!/G$ имеет конечный тип по теореме Гильберта о кольце инвариантов . Благодаря универсальному свойству категориальных факторов эти аффинные факторы склеиваются и приводят к

$\pi \colon X^{ss}\to X/\!/_{L}G,$

который является фактором GIT X по L . Обратите внимание: если X проективно; т. е. это Proj R , то фактор $X/\!/_{L}G$ задается просто как Proj кольца инвариантов $R^{G}$.

Наиболее интересный случай — когда стабильный локус $X^{s}$ непусто; $X^{s}$ — открытое множество полустабильных точек, имеющих конечные стабилизаторы и орбиты, замкнутые в $X^{ss}$. В таком случае коэффициент GIT ограничивается

$\pi ^{s}\colon X^{s}\to X^{s}/\!/G,$

которое обладает свойством: каждый слой является орбитой. То есть, $\pi ^{s}$ является подлинным частным (т. е. геометрическим частным ), и пишут $X^{s}/G=X^{s}/\!/G$. Из-за этого, когда $X^{s}$ непусто, фактор GIT $\pi$ часто называют «компактификацией» геометрического фактора открытого подмножества X .

Сложный и, казалось бы, открытый вопрос: какое геометрическое частное возникает описанным выше способом GIT? Этот вопрос представляет большой интерес, поскольку подход GIT дает явное частное, а не абстрактное частное, которое трудно вычислить. Один известный частичный ответ на этот вопрос следующий: позволять $X$ — локально факториальное алгебраическое многообразие (например, гладкое многообразие) с действием $G$. Предположим, существует открытое подмножество $U\subset X$ а также геометрическое частное $\pi \colon U\to U/G$ такой, что (1) $\pi$ является аффинным морфизмом и (2) $U/G$ является квазипроективным. Затем $U\subset X^{s}(L)$ для некоторого линеаризованного линейного расслоения L на X . (Аналогичный вопрос состоит в том, чтобы каким-либо образом определить, какое подкольцо является кольцом инвариантов.)

Примеры

Конечное групповое действие $\mathbb {Z} /2$

Простой пример коэффициента GIT дается $\mathbb {Z} /2$-действие на $\mathbb {C} [x,y]$ отправка

${\begin{aligned}x\mapsto (-x)&&y\mapsto (-y)\end{aligned}}$

Обратите внимание, что мономы $x^{2},xy,y^{2}$ сгенерировать кольцо $\mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}$. Следовательно, мы можем записать кольцо инвариантов как

$\mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2}=\mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]={\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}$

Теоретически получим морфизм

$\mathbb {A} ^{2}\to {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\right)=:\mathbb {A} ^{2}/(\mathbb {Z} /2)$

которое является особым подмногообразием $\mathbb {A} ^{3}$ с изолированной особенностью при $(0,0,0)$. Это можно проверить с помощью дифференциалов, которые

$df={\begin{bmatrix}c&-2b&a\end{bmatrix}}$

следовательно, единственная точка, где дифференциал и полином $f$ оба исчезают в начале координат. Полученное частное представляет собой коническую поверхность с обычной двойной точкой в ​​начале координат.

Действие тора на плоскости

Рассмотрим действие тора $\mathbb {G} _{m}$ на $X=\mathbb {A} ^{2}$ к $t\cdot (x,y)=(tx,t^{-1}y)$. Обратите внимание, что это действие имеет несколько орбит: начало координат $(0,0)$, проколотые топоры, $\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}$и аффинные коники, заданные формулами $xy=a$ для некоторых $a\in \mathbb {C} ^{*}$. Тогда коэффициент GIT $X//\mathbb {G} _{m}$ имеет структуру пучок ${\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{2}}^{\mathbb {G} _{m}}$ которое является подкольцом многочленов $\mathbb {C} [xy]$, следовательно, он изоморфен $\mathbb {A} ^{1}$. Это дает коэффициент GIT

$\pi \colon \mathbb {A} ^{2}\to \mathbb {A} ^{2}//\mathbb {G} _{m}$

Обратите внимание на прообраз точки $(0)$ задается орбитами $(0,0),\{(x,0):x\neq 0\},\{(0,y):y\neq 0\}$, показывая, что фактор GIT не обязательно является орбитальным пространством. Если бы это было так, было бы три начала, неразделенное пространство.

См. также

• стек частных
• разнообразие персонажей
• Чау-коэффициент

Ссылки

Педагогический

• Мукаи, Сигэру (2002). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 81. ИСБН  978-0-521-80906-1 .
• Брайон, Мишель. «Введение в действия алгебраических групп» (PDF) .
• Лаза, Раду (15 марта 2012 г.). «GIT и модули с изюминкой». arXiv : 1111.3032 [ math.AG ].
• Томас, Ричард П. (2006). «Заметки о GIT и симплектической редукции расслоений и многообразий». Посвящение профессору С.-С. Черн . Обзоры по дифференциальной геометрии. Том. 10. С. 221–273. arXiv : math/0512411 . дои : 10.4310/SDG.2005.v10.n1.a7 . МР   2408226 . S2CID   16294331 .

Ссылки

• Альпер, Джарод (14 апреля 2008 г.). «Хорошие пространства модулей для стеков Артина». arXiv : 0804.2242 [ math.AG ].
• Доран, Брент; Кирван, Фрэнсис (2007). «К нередуктивной теории геометрических инвариантов». Ежеквартальный журнал «Чистая и прикладная математика» . 3 (1, специальный выпуск: В честь Роберта Д. Макферсона. Часть 3): 61–105. arXiv : математика/0703131 . Бибкод : 2007math......3131D . дои : 10.4310/PAMQ.2007.v3.n1.a3 . МР   2330155 . S2CID   3190064 .
• Хоскинс, Виктория. «Факторы в алгебраической и симплектической геометрии» .
• Кирван, Фрэнсис К. (1984). Когомологии частных в комплексной и алгебраической геометрии . Математические заметки. Том. 31. Принстон, штат Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета .
• Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов . Результаты по математике и смежным областям (2)]. Том 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-3-540-56963-3 . МР   1304906 .