Геометрический коэффициент

В алгебраической геометрии геометрический фактор алгебраического многообразия X с действием алгебраической группы G является морфизмом многообразий. $\pi :X\to Y$ такой, что

(и) Карта $\pi$ сюръективен, и его слои являются в точности G-орбитами в X.

(ii) Топология Y — это фактортопология : подмножество $U\subset Y$ открыт тогда и только тогда, когда $\pi ^{-1}(U)$ открыт.

(iii) Для любого открытого подмножества $U\subset Y$, $\pi ^{\#}:k[U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}$ является изоморфизмом. (Здесь k — базовое поле.)

Это понятие появляется в геометрической теории инвариантов . (i), (ii) говорят, что — пространство орбит X Y в топологии . (iii) также можно сформулировать как изоморфизм пучков ${\mathcal {O}}_{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}}_{X}^{G})$. В частности, если X неприводим, то и Y неприводим и $k(Y)=k(X)^{G}$: рациональные функции на Y можно рассматривать как инвариантные рациональные функции на ( т. е. рациональные инварианты X X ).

Например, если H — замкнутая подгруппа группы G , то $G/H$ является геометрическим фактором. Коэффициент GIT может быть или не быть геометрическим фактором: но оба являются категориальными факторами, которые уникальны; другими словами, невозможно иметь оба типа частных (без того, чтобы они не были одинаковыми).

Связь с другими факторами

Геометрическое частное — это категориальное частное . Это доказано в геометрической теории инвариантов Мамфорда.

Геометрическое частное — это в точности такое частное , слои которого являются орбитами группы.

Примеры

• Каноническая карта $\mathbb {A} ^{n+1}\setminus 0\to \mathbb {P} ^{n}$ является геометрическим фактором.
• Если L — линеаризованное линейное расслоение на алгебраическом G -многообразии X , то, записав $X_{(0)}^{s}$ для множества устойчивых точек относительно L фактор

$X_{(0)}^{s}\to X_{(0)}^{s}/G$  

является геометрическим фактором.