Геометрическая теория инвариантов

В математике геометрическая теория инвариантов (или GIT ) — метод построения частных по групповым действиям в алгебраической геометрии , используемый для построения пространств модулей . Он был разработан Дэвидом Мамфордом в 1965 году с использованием идей из статьи ( Hilbert 1893 ) по классической теории инвариантов .

Геометрическая теория инвариантов изучает действие группы $G$ на алгебраическое многообразие (или схему ) $X$ и предоставляет методы формирования «фактора» $X$ по $G$ как схемы с разумными свойствами. Одной из причин было построение пространств модулей в алгебраической геометрии как факторов схем, параметризующих отмеченные объекты. В 1970-х и 1980-х годах теория развивала взаимодействие с симплектической геометрией и эквивариантной топологией и использовалась для построения пространств модулей объектов дифференциальной геометрии , таких как инстантоны и монополи .

Фон

занимается групповым действием группы G $X.$ на многообразии (или схеме ) $алгебраическом$ Теория инвариантов Классическая теория инвариантов рассматривает ситуацию, когда $X = V$ — векторное пространство а $G$ — либо конечная группа, либо одна из классических групп Ли , действующая линейно на $V.$ , Это действие индуцирует линейное действие группы $G$ на пространство полиномиальных функций $R (V)$ на $V$ по формуле

g\cdot f(v)=f(g^{-1}v),\quad g\in G,v\in V.

Полиномиальные инварианты - действия $G$ на $V$ — это те полиномиальные функции $f$ на $V$ , которые фиксируются при «замене переменных» вследствие действия группы, так что $g \cdot f = f$ для всех $G$ в $G$ . Они образуют коммутативную алгебру $A = R (V) Г$ , и эта алгебра интерпретируется как алгебра функций на « частном теории инвариантов » $V // G,$ поскольку любая из этих функций дает одно и то же значение для всех точек, которые эквивалентны (то есть $f (v) = f (gv)$ для всех $g$ ). Говоря языком современной алгебраической геометрии ,

V/\!\!/G=\operatorname {Spec} A=\operatorname {Spec} R(V)^{G}.

Из этого описания вытекает несколько трудностей. Первый из них, успешно решенный Гильбертом в случае общей линейной группы , состоит в том, чтобы доказать, что алгебра $A$ конечно порождена. Это необходимо, если кто-то хочет, чтобы фактор был аффинным алгебраическим многообразием . Справедливость аналогичного факта для произвольных групп $G$ была предметом четырнадцатой проблемы Гильберта , и Нагата продемонстрировал, что ответ в целом отрицательный. С другой стороны, в ходе развития теории представлений в первой половине ХХ века был выявлен большой класс групп, для которых ответ положительный; они называются редуктивными группами и включают все конечные группы и все классические группы .

Конечное порождение алгебры $А$ — лишь первый шаг к полному описанию $А$ , и прогресс в решении этого более деликатного вопроса был весьма скромным. Классически инварианты были описаны только в ограниченном диапазоне ситуаций, и сложность этого описания, за исключением первых нескольких случаев, оставляла мало надежд на полное понимание алгебр инвариантов в целом. Более того, может случиться так, что любой полиномиальный инвариант $принимает$ одно и то же значение на данной паре точек $u$ и $v$ в $V$ , но эти точки находятся на разных орбитах G $f$ -действия. Простой пример представляет собой мультипликативная группа $C. *$ ненулевых комплексных чисел, действующих в $n$ -мерном комплексном векторном пространстве $C н$ скалярным умножением. В этом случае каждый полиномиальный инвариант является константой, но существует множество различных орбит действия. Нулевой вектор сам по себе образует орбиту, а ненулевые кратные любого ненулевого вектора образуют орбиту, так что ненулевые орбиты параметризуются точками комплексного проективного пространства $CP. п -1$ . Если это происходит (разные орбиты имеют одинаковые значения функций), говорят, что «инварианты не разделяют орбиты», и алгебра $A$ довольно несовершенно отражает топологическое факторпространство $X / G$ . Действительно, последнее пространство с фактортопологией часто является неразделенным (нехаусдорфовым ) . (В нашем примере это так: нулевая орбита не открыта, поскольку любая окрестность нулевого вектора содержит точки на всех других орбитах, поэтому в фактортопологии любая окрестность нулевой орбиты содержит все остальные орбиты.) В 1893 году Гильберт сформулировал и доказал критерий определения тех орбит, которые не отделены от нулевой орбиты инвариантными полиномами. Весьма примечательно, что в отличие от его более ранних работ по теории инвариантов, которые привели к быстрому развитию абстрактной алгебры , этот результат Гильберта оставался малоизвестным и мало использовался в течение следующих 70 лет. Большая часть развития теории инвариантов в первой половине двадцатого века касалась явных вычислений с инвариантами и, во всяком случае, следовала логике алгебры, а не геометрии.

книга Мамфорда

Геометрическая теория инвариантов была основана и развита Мамфордом в монографии, впервые опубликованной в 1965 году, в которой идеи теории инвариантов девятнадцатого века, включая некоторые результаты Гильберта , применялись к современным вопросам алгебраической геометрии. (Книга была значительно расширена в двух более поздних изданиях с дополнительными приложениями Фогарти и Мамфорда и главой о симплектических факторах Кирвана.) В книге используются как теория схем , так и вычислительные методы, доступные в примерах. Используемая абстрактная установка представляет собой действие по схеме $X.$ групповое Простодушная идея орбитального пространства

G\setminus X

т. е. пространство X $фактор -$ по действию группы сталкивается с трудностями в алгебраической геометрии по причинам, которые можно объяснить в абстрактных терминах. На самом деле не существует общей причины, по которой отношения эквивалентности должны хорошо взаимодействовать с (довольно жесткими) регулярными функциями (полиномиальными функциями), которые лежат в основе алгебраической геометрии. Функции на пространстве орбит $G \ X$ , которые следует рассматривать, — это функции на $X$ , инвариантные относительно действия $G$ . Прямой подход может быть реализован с помощью функционального поля многообразия (т. е. рациональных функций ): взять на нем G -инвариантные рациональные функции в качестве функционального поля фактормногообразия . К сожалению, это — точка зрения бирациональной геометрии — может дать лишь первое приближение к ответу. Как выразился Мамфорд в предисловии к книге:

Проблема в том, что среди всех моделей результирующего бирационального класса существует одна модель, геометрические точки которой классифицируют набор орбит в некотором действии или набор алгебраических объектов в некоторой задаче о модулях.

В главе 5 он далее изолирует рассматриваемую конкретную техническую проблему в задаче модулей совершенно классического типа — классифицировать большой «множество» всех алгебраических многообразий, подлежащих только неособости (и необходимому условию поляризации ). Предполагается, что модули описывают пространство параметров. Например, для алгебраических кривых было известно со времен Римана , что должны быть компоненты связности размерностей

0,1,3,6,9,\dots

по роду $g = 0, 1, 2, 3, 4, \dots$ , а модули являются функциями от каждой компоненты. В задаче о грубых модулях Мамфорд считает, что препятствиями являются:

неразделенная топология в пространстве модулей (т.е. недостаточно параметров в хорошем состоянии)
бесконечно много неприводимых компонентов (чего нельзя избежать, но локальная конечность может иметь место)
неспособность компонентов быть представимыми в виде схем, хотя и представимых топологически.

Именно третий пункт мотивировал всю теорию. По словам Мамфорда, если первые две трудности будут решены,

[третий вопрос] становится по существу эквивалентным вопросу о том, ли пространство орбит некоторого локально замкнутого подмножества схем Гильберта или Чоу проективной группой существует .

Чтобы справиться с этим, он ввел понятие (фактически три) стабильности . Это позволило ему открыть ранее опасную область — много было написано, в частности Франческо Севери , но методы литературы имели ограничения. Бирациональная точка зрения может позволить себе небрежно относиться к подмножествам коразмерности 1. Иметь пространство модулей в качестве схемы — это, с одной стороны, вопрос о характеристике схем как представимых функторов (как Гротендика это видела бы школа ); но геометрически это больше похоже на вопрос компактификации , как показали критерии устойчивости. Ограничение на неособые многообразия ни в каком смысле не приведет к созданию компакта как пространства модулей: многообразия могут вырождаться до наличия особенностей. С другой стороны, точки, которые соответствовали бы весьма сингулярным многообразиям, определенно слишком «плохи», чтобы включать их в ответ. Правильная золотая середина, достаточно устойчивая, чтобы ее можно было признать, была выделена работой Мамфорда. Эта концепция не была совершенно новой, поскольку некоторые ее аспекты можно было найти в Последние идеи Дэвида Гильберта по теории инвариантов перед тем, как он перешел к другим областям.

В предисловии к книге также изложена гипотеза Мамфорда , позже доказанная Уильямом Хабушем .

Стабильность

Если редуктивная группа $G$ действует линейно в векторном пространстве $V$ , то ненулевая точка $V$ называется

неустойчив , если 0 находится на замыкании своей орбиты,
полустабильный, если 0 не находится в замыкании своей орбиты,
устойчива, если ее орбита замкнута, а стабилизатор конечен.

Существуют эквивалентные способы их формулировки (этот критерий известен как критерий Гильберта – Мамфорда ):

Ненулевая точка $x$ нестабильна тогда и только тогда, когда существует 1-параметрическая подгруппа группы $G,$ все веса которой по отношению к $x$ положительны.
Ненулевая точка $x$ нестабильна тогда и только тогда, когда каждый инвариантный многочлен имеет одинаковое значение для 0 и $x$ .
Ненулевая точка $x$ не существует 1-параметрической подгруппы, $полустабильна тогда и только тогда, когда в G$ все веса которой по отношению к $x$ положительны.
Ненулевая точка $x$ является полустабильной тогда и только тогда, когда некоторый инвариантный полином имеет разные значения для 0 и $x$ .
Ненулевая точка $x$ стабильна тогда и только тогда, когда каждая 1-параметрическая подгруппа группы $G$ имеет положительные (и отрицательные) веса относительно $x$ .
Ненулевая точка $x$ стабильна тогда и только тогда, когда для каждого $y,$ не входящего в орбиту $x,$ существует некоторый инвариантный многочлен, который имеет разные значения на $y$ и $x$ , и кольцо инвариантных многочленов имеет степень трансцендентности $dim(V) - dim (Г)$ .

Точка соответствующего проективного пространства $V$ называется неустойчивой, полустабильной или стабильной, если она является точкой образ точки в $V$ с тем же свойством. «Нестабильный» является противоположностью «полустабильного» (не «стабильного»). Неустойчивые точки образуют замкнутое по Зарисскому множество проективного пространства, а полустабильные и стабильные точки образуют открытые множества Зарисского (возможно, пустые). Эти определения взяты из ( Mumford 1977 ) и не эквивалентны определениям в первом издании книги Мамфорда.

Многие пространства модулей могут быть построены как факторы пространства устойчивых точек некоторого подмножества проективного пространства по некоторому групповому действию. Эти пространства часто можно компактифицировать, добавляя определенные классы эквивалентности полустабильных точек. Разные стабильные орбиты соответствуют разным точкам фактора, но две разные полустабильные орбиты могут соответствовать одной и той же точке фактора, если их замыкания пересекаются.

Пример: ( Делинь и Мамфорд, 1969 г. )Стабильная кривая — это приведенная связная кривая рода ≥2, единственными особенностями которой являются обычные двойные точки и каждая неособая рациональная компонента пересекается с другими компонентами как минимум в 3 точках. Пространство модулей стабильных кривых рода $G$ — это фактор подмножества схемы Гильберта кривых в $P 5 г -6$ с полиномом Гильберта $(6 n - 1)(g - 1)$ по группе $PGL 5 g -5$ .

Пример:Векторное расслоение $W$ над алгебраической кривой (или над римановой поверхностью ) — это стабильное векторное расслоение тогда и только тогда, когда

\displaystyle {\frac {\deg(V)}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\deg(W)}{{\hbox{rank}}(W)}}

для всех собственных ненулевых подрасслоений $V$ в $W$ и является полустабильным, если это условие выполнено с заменой < на ≤.

См. также

Ссылки

Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, doi : 10.1007/BF02684599 , MR 0262240 , S2CID 16482150
Гильберт, Д. (1893), «О полных инвариантных системах», Math. Annals , 42 (3): 313, doi : 10.1007/BF01444162.
Кирван, Фрэнсис, Когомологии частных в симплектической и алгебраической геометрии . Математические заметки, 31. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1984. i + 211 стр. MR. 0766741 ISBN 0-691-08370-3
Крафт, Ханспетер, Геометрические методы в теории инвариантов . (немецкий) (Геометрические методы в теории инвариантов) Аспекты математики, D1. Фридр. Vieweg & Sohn, Брауншвейг, 1984. x+308 стр. MR . 0768181 ISBN 3-528-08525-8
Мамфорд, Дэвид (1977), «Стабильность проективных многообразий» , L'Enseignement Mathématique , 2e Série, 23 (1): 39–110, ISSN 0013-8584 , MR 0450272 , заархивировано из оригинала 7 июля 2011 г.
Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , Результаты по математике и ее пограничным областям (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)], том. 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56963-3 , МР 1304906 ; МИСТЕР 0214602 (1-е изд. 1965 г.); МИСТЕР 0719371 (2-е изд.)
В. Л. Попов , Е. Б. Винберг , Теория инвариантов , в алгебраической геометрии . IV. Энциклопедия математических наук, 55 (перевод с русского издания 1989 г.) Springer-Verlag, Берлин, 1994. vi+284 с. ISBN 3-540-54682-0