Устойчивость (алгебраическая геометрия)

В критерии Гильберта – Мамфорда, характеризующем устойчивые точки в геометрической теории инвариантов , траектория ${\tilde {x}}$ рассматривается в ходе группового действия $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$ как $\lambda \to 0$ или эквивалентно как $\lambda \to \infty$. Когда поток уходит в бесконечность, точка ${\tilde {x}}$ находится в устойчивом равновесии в нижней части кривой. При движении кривой к нулю точка неустойчива и будет стекать к нулю под действием $\lambda$. Когда поток остается между нулем и бесконечностью, точка находится в неустойчивом равновесии (полустабильном). Эта аналогия с механическим равновесием мотивирует терминологию стабильности и нестабильности.

В математике , и особенно в алгебраической геометрии , устойчивость — это понятие, которое характеризует, когда геометрический объект , например точка , алгебраическое многообразие , векторное расслоение или пучок , обладает некоторыми желательными свойствами для целей их классификации. Точная характеристика того, что значит быть стабильным, зависит от типа геометрического объекта, но все такие примеры имеют свойство иметь минимальное количество внутренней симметрии , то есть такие стабильные объекты имеют мало автоморфизмов . Это связано с концепцией простоты в математике, которая измеряет, когда внутри некоторого математического объекта мало подобъектов (см., например, простые группы , которые не имеют нетривиальных нормальных подгрупп). В дополнение к стабильности, некоторые объекты могут быть описаны такими терминами, как полустабильные (имеющие небольшую, но не минимальную степень симметрии), полистабильные (состоящие из стабильных объектов) или нестабильные (имеющие слишком большую симметрию, противоположность стабильный).

Фон

Во многих областях математики, да и в самой геометрии , часто очень желательно иметь высокосимметричные объекты, и эти объекты часто считаются эстетически привлекательными . Однако высокая степень симметрии нежелательна, когда кто-то пытается классифицировать геометрические объекты путем построения из них пространств модулей , потому что симметрии этих объектов вызывают образование особенностей и препятствуют существованию универсальных семейств .

Понятие стабильности было впервые введено в его современной форме Дэвидом Мамфордом в 1965 году в контексте геометрической теории инвариантов , теории, которая объясняет, как факторизовать алгебраические многообразия по групповым действиям и получать фактор-пространство , которое по-прежнему является алгебраическим многообразием. , так называемый категориальный фактор . Однако идеи, лежащие в основе работы Мамфорда, восходят к теории инвариантов Дэвида Гильберта в 1893 году, а задействованные фундаментальные концепции восходят даже к работе Бернхарда Римана по построению пространств модулей римановых поверхностей . Со времени работ Мамфорда устойчивость появлялась во многих формах в алгебраической геометрии, часто с различными понятиями устойчивости, либо полученными из геометрической теории инвариантов, либо вдохновленными ею. Полностью общей теории устойчивости не существует (хотя одной из попыток формирования такой теории является Бриджлендская устойчивость ), и данная статья служит обобщению и сравнению различных проявлений устойчивости в геометрии и связей между ними.

Помимо использования в классификации и формировании частных в алгебраической геометрии, устойчивость также находит существенное применение в дифференциальной геометрии и геометрическом анализе благодаря общему принципу, который гласит, что стабильные алгебро-геометрические объекты соответствуют экстремальным дифференциально-геометрическим объектам . Здесь под экстремальными обычно понимают смысл вариационного исчисления , поскольку такие объекты минимизируют некоторый функционал . Прототипическим примером этого принципа является теорема Кемпфа-Несса , которая связывает факторы GIT с симплектическими факторами , показывая, что стабильные точки минимизируют функционал энергии отображения моментов . Благодаря этому общему принципу устойчивость нашла применение в качестве ключевого инструмента при построении существования решений многих важных уравнений в частных производных в геометрии, таких как уравнения Янга-Миллса и уравнения Кэлера-Эйнштейна . Дополнительные примеры этого соответствия в действии включают соответствие Кобаяши-Хитчина , неабелевское соответствие Ходжа. , гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона для многообразий Кэлера-Эйнштейна и даже теорема униформизации .

Условия устойчивости

• Стабильность Гизекера
• Устойчивость склона
• Стабильность Бриджленда
• К-стабильность