Jump to content

Карта импульса

(Перенаправлено из симплектического фактора )

В математике , особенно в симплектической геометрии , карта момента (или, по ложной этимологии, карта момента [1] ) — инструмент, связанный с гамильтоновым действием группы Ли на симплектическом многообразии , используемый для построения сохраняющихся величин для действия. Карта импульса обобщает классические понятия линейного и углового момента . Это важный ингредиент в различных конструкциях симплектических многообразий, включая симплектические ( Марсдена-Вайнштейна ) факторы , обсуждаемые ниже, а также симплектические разрезы и суммы .

Формальное определение

[ редактировать ]

Позволять быть многообразием симплектической формы . Предположим, что группа Ли действует на через симплектоморфизмы (т.е. действие каждого в сохраняет ). Позволять Ли алгебра , его двойственный , и

соединение между ними. Любой в индуцирует векторное поле на описывающее бесконечно малое действие . Если быть точным, в какой-то момент в вектор является

где это экспоненциальная карта и обозначает -действие на . [2] Позволять обозначим сжатие этого векторного поля с . Потому что действует симплектоморфизмами, отсюда следует, что закрыто всех (для в ).

Предположим, что не просто замкнуто, но и точно, так что для какой-то функции . Если это так, то можно выбрать сделать карту линейный. Карта импульса для -действие на это карта такой, что

для всех в . Здесь это функция от к определяется . Отображение импульса определяется однозначно с точностью до аддитивной константы интегрирования (на каждой компоненте связности).

Ан -действие на симплектическом многообразии называется гамильтоновым, если оно симплектично и существует отображение момента.

Часто также требуется карта импульса. -эквивариантный , где действует на через коприсоединенное действие , а иногда это требование включается в определение гамильтонова группового действия. Если группа компактна или полупроста, то константу интегрирования всегда можно выбрать так, чтобы сделать коприсоединенное отображение импульса эквивариантным. Однако в общем случае коприсоединенное действие необходимо изменить, чтобы сделать отображение эквивариантным (это относится, например, к евклидовой группе ). Модификация осуществляется 1- коциклом группы со значениями в , как впервые описано Сурио (1970).

Примеры карт импульса

[ редактировать ]

В случае гамильтонова действия окружности , двойственная алгебра Ли естественно отождествляется с , а карта импульса — это просто функция Гамильтона, которая порождает действие окружности.

Другой классический случай имеет место, когда представляет собой котангенс расслоения и евклидова группа, порожденная вращениями и перемещениями. То есть, шестимерная группа, полупрямое произведение и . Тогда шестью компонентами карты количества движения являются три угловых момента и три линейных момента.

Позволять — гладкое многообразие и пусть быть его коткасательным расслоением с отображением проекции . Позволять обозначим тавтологическую 1-форму на . Предполагать действует на . Индуцированное действие на симплектическом многообразии , заданный для является гамильтоновым с отображением импульса для всех . Здесь обозначает сжатие векторного поля , бесконечно малое действие , с 1-формой .

Факты, упомянутые ниже, могут быть использованы для создания дополнительных примеров карт импульса.

Некоторые факты о картах импульса

[ редактировать ]

Позволять — группы Ли с алгебрами Ли , соответственно.

  1. Позволять быть коприсоединенной орбитой . Тогда существует единственная симплектическая структура на такая, что карта включения это карта импульса.
  2. Позволять действовать на симплектическом многообразии с карту импульса для действия, и — гомоморфизм группы Ли, индуцирующий действие на . Тогда действие на также является гамильтоновым с отображением импульса, заданным выражением , где это двойная карта для ( обозначает единичный элемент ). Особый интерес представляет случай, когда является подгруппой Ли группы и это карта включения.
  3. Позволять быть гамильтонианом -многообразие и гамильтониан -многообразие. Тогда естественное действие на является гамильтоновым, причем карта импульса представляет собой прямую сумму двух карт импульса. и . Здесь , где обозначает карту проекции.
  4. Позволять быть гамильтонианом -многообразие и подмногообразие инвариант относительно такая, что ограничение симплектической формы на к является невырожденным. Это придает симплектическую структуру естественным образом. Тогда действие на также является гамильтоновым, с отображением импульса, составляющим карту включения с карта импульса.

Симплектические факторы

[ редактировать ]

Предположим, что действие группы Ли на симплектическом многообразии является гамильтоновым, как определено выше, с эквивариантным отображением импульса . Из условия Гамильтона следует, что инвариантен относительно .

Предположим теперь, что действует свободно и правильно на . Отсюда следует, что является регулярным значением , так и его частное оба являются гладкими многообразиями. Фактор наследует симплектическую форму от ; то есть существует единственная симплектическая форма фактора, возврат которой к равно ограничению к . Таким образом, фактор представляет собой симплектическое многообразие, называемое фактором Марсдена-Вайнштейна в честь ( Марсден и Вайнштейн 1974 ), симплектического фактора или симплектической редукции к и обозначается . Его размерность равна размерности минус удвоенная размерность .

В более общем смысле, если G не действует свободно (но все же правильно), то ( Sjamaar & Lerman 1991 ) показало, что — стратифицированное симплектическое пространство, т. е. стратифицированное пространство с согласованными симплектическими структурами на стратах.

Плоские соединения на поверхности

[ редактировать ]

Пространство связностей на тривиальном расслоении на поверхности имеет бесконечномерную симплектическую форму

Группа датчиков действует на соединения путем сопряжения . Идентифицировать через интеграционное сопряжение. Тогда карта

который отправляет соединение на его кривизну, является отображением моментов действия калибровочной группы на соединения. В частности, пространство модулей плоских связностей по модулю калибровочной эквивалентности задается симплектической редукцией.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Карта моментов является неверным и физически неправильным названием. Это ошибочный перевод французского понятия « момент применения» . См. этот вопрос mathoverflow, чтобы узнать историю имени.
  2. ^ Векторное поле ρ(ξ) иногда называют векторным полем Киллинга относительно действия однопараметрической подгруппы, порожденной ξ. См., например, ( Шоке-Брюа и ДеВитт-Моретт, 1977 ).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c8c28da29b404dadd9325e8bdb35cba8__1716868920
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c8/a8/c8c28da29b404dadd9325e8bdb35cba8.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Momentum map - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)