Симплектическая сумма

В математике , особенно в симплектической геометрии , симплектическая сумма — это геометрическая модификация симплектических многообразий , которая склеивает два заданных многообразия в одно новое. Это симплектическая версия связного суммирования по подмногообразию, часто называемая послойной суммой.

Симплектическая сумма — это обратная симплектическая сумма , которая разлагает данное многообразие на две части. Вместе симплектическую сумму и разрез можно рассматривать как деформацию симплектических многообразий, аналогичную, например, деформации нормального конуса в алгебраической геометрии .

Симплектическая сумма использовалась для построения ранее неизвестных семейств симплектических многообразий и для вывода связей между инвариантами Громова – Виттена симплектических многообразий.

Определение

Позволять $M_{1}$ и $M_{2}$ быть двумя симплектическими $2n$-многообразия и $V$ симплектический $(2n-2)$-многообразие, вложенное как подмногообразие в оба $M_{1}$ и $M_{2}$ с помощью

$j_{i}:V\hookrightarrow M_{i},$

такие, что классы Эйлера нормальных расслоений противоположны:

$e(N_{M_{1}}V)=-e(N_{M_{2}}V).$

В статье 1995 года, в которой определена симплектическая сумма, Роберт Гомпф доказал, что для любого ориентацию, изоморфизма, меняющего

$\psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V$

существует канонический изотопический класс симплектических структур на связной сумме

$(M_{1},V)\#(M_{2},V)$

выполнение нескольких условий совместимости с слагаемыми $M_{i}$. Другими словами, теорема определяет операцию симплектической суммы , результатом которой является симплектическое многообразие, единственное с точностью до изотопии.

Чтобы получить четко определенную симплектическую структуру, связную сумму необходимо выполнять, уделяя особое внимание выбору различных отождествлений. Грубо говоря, изоморфизм $\psi$ состоит из изменяющей ориентацию симплектической инволюции нормальных расслоений $V$ (вернее, соответствующие им проколотые комплекты единичных дисков); затем этот состав используется для склеивания $M_{1}$ к $M_{2}$ вдоль двух копий $V$.

Обобщения

В большей общности симплектическая сумма может быть выполнена на одном симплектическом многообразии. $M$ содержащий две непересекающиеся копии $V$, приклеив многообразие к себе по двум копиям. Предыдущее описание суммы двух многообразий соответствует частному случаю, когда $X$ состоит из двух связных компонентов, каждый из которых содержит копию $V$.

Кроме того, сумма может выполняться одновременно на подмногообразиях. $X_{i}\subseteq M_{i}$ равного размера и встречи $V$ поперечно .

Существуют и другие обобщения. Однако невозможно отменить требование о том, что $V$ иметь коразмерность два в $M_{i}$, как показывает следующий аргумент.

Симплектическая сумма по подмногообразию коразмерности $2k$ требует симплектической инволюции $2k$-мерное кольцо. Если эта инволюция существует, ее можно использовать для исправления двух $2k$-мерные шары вместе образуют симплектику. $2k$-мерная сфера . Поскольку сфера представляет собой компактное многообразие, симплектическая форма $\omega$ на нем индуцирует ненулевой когомологий класс

$[\omega ]\in H^{2}(\mathbb {S} ^{2k},\mathbb {R} ).$

Но эта вторая группа когомологий равна нулю, если только $2k=2$. Таким образом, симплектическая сумма возможна только вдоль подмногообразия коразмерности два.

Элемент идентичности

Данный $M$ с симплектическим подмногообразием коразмерности два $V$, можно проективно завершить нормальный расслоение $V$ в $M$ к $\mathbb {CP} ^{1}$-пучок

$P:=\mathbb {P} (N_{M}V\oplus \mathbb {C} ).$

Этот $P$ содержит две канонические копии $V$: нулевая часть $V_{0}$, который имеет нормальное расслоение, равное расслоению $V$ в $M$, и бесконечное сечение $V_{\infty }$, который имеет противоположный нормальный расслоение. Следовательно, можно симплектически суммировать $(M,V)$ с $(P,V_{\infty })$; результат снова $M$, с $V_{0}$ сейчас играю роль $V$:

$(M,V)=((M,V)\#(P,V_{\infty }),V_{0}).$

Итак, для любой конкретной пары $(M,V)$ существует элемент идентичности $P$ для симплектической суммы. Такие элементы идентичности использовались как при создании теории, так и при расчетах; см. ниже.

Симплектическая сумма и разрез как деформация

Иногда бывает полезно рассматривать симплектическую сумму как семейство многообразий. В этом контексте приведенные данные $M_{1}$, $M_{2}$, $V$, $j_{1}$, $j_{2}$, $\psi$ определить уникальную гладкость $(2n+2)$-мерное симплектическое многообразие $Z$ и расслоение

$Z\to D\subseteq \mathbb {C}$

в котором центральный слой представляет собой сингулярное пространство

$Z_{0}=M_{1}\cup _{V}M_{2}$

получается объединением слагаемых $M_{i}$ вдоль $V$и общее волокно $Z_{\epsilon }$ представляет собой симплектическую сумму $M_{i}$. (То есть все слои общего положения являются членами уникального изотопического класса симплектической суммы.)

Грубо говоря, это семейство строится следующим образом. Выберите неисчезающее голоморфное сечение. $\eta$ тривиального комплексного линейного расслоения

$N_{M_{1}}V\otimes _{\mathbb {C} }N_{M_{2}}V.$

Тогда в прямой сумме

$N_{M_{1}}V\oplus N_{M_{2}}V,$

с $v_{i}$ представляющий нормальный вектор для $V$ в $M_{i}$, рассмотрим геометрию квадратного уравнения

$v_{1}\otimes v_{2}=\epsilon \eta$

для избранного маленького $\epsilon \in \mathbb {C}$. Можно склеить и то, и другое. $M_{i}\setminus V$ (слагаемые с $V$ удалено) на этот локус; результатом является симплектическая сумма $Z_{\epsilon }$.

Как $\epsilon$ варьируется, суммы $Z_{\epsilon }$ естественным образом образуют семью $Z\to D$ описано выше. Центральное волокно $Z_{0}$ является симплектическим разрезом общего слоя. Таким образом, симплектическую сумму и разрез можно рассматривать вместе как квадратичную деформацию симплектических многообразий.

Важный пример возникает, когда одно из слагаемых является единичным элементом. $P$. В самом деле, тогда общий слой является симплектическим многообразием $M$ и центральное волокно $M$ с обычным комплектом $V$ «отщипнутый на бесконечности», чтобы сформировать $\mathbb {CP} ^{1}$-пучок $P$. Это аналогично деформации нормального конуса по гладкому делителю. $V$ по алгебраической геометрии. Фактически, симплектические трактовки теории Громова-Виттена часто используют симплектическую сумму/разрез для «изменения масштаба целевых» аргументов, в то время как алгебро-геометрические трактовки используют деформацию нормального конуса для тех же самых аргументов.

Однако симплектическая сумма вообще не является сложной операцией. Сумма двух кэлеровых многообразий не обязательно должна быть кэлеровой.

История и приложения

Симплектическая сумма была впервые четко определена в 1995 году Робертом Гомпфом. Он использовал его, чтобы продемонстрировать, что любая конечно представленная группа является фундаментальной группой симплектического четырехмногообразия. Таким образом, было показано, что категория симплектических многообразий намного больше категории кэлеровых многообразий.

Примерно в то же время Юджин Лерман предложил симплектический разрез как обобщение симплектического разрушения и использовал его для изучения симплектического фактора и других операций на симплектических многообразиях.

Ряд исследователей впоследствии исследовали поведение псевдоголоморфных кривых при симплектических суммах, доказывая различные варианты формулы симплектической суммы для инвариантов Громова–Виттена. Такая формула облегчает вычисления, позволяя разложить данное многообразие на более простые части, инварианты Громова – Виттена которых должно быть легче вычислить. Другой подход — использовать элемент идентификации. $P$ написать многообразие $M$ как симплектическая сумма

$(M,V)=(M,V)\#(P,V_{\infty }).$

Тогда формула для инвариантов Громова–Виттена симплектической суммы дает рекурсивную формулу для инвариантов Громова–Виттена $M$.

Ссылки

• Роберт Гомпф: Новая конструкция симплектических многообразий, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595.
• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон: Введение в симплектическую топологию (1998) Оксфордские математические монографии, ISBN   0-19-850451-9
• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон: J-голоморфные кривые и симплектическая топология (2004) Публикации коллоквиума Американского математического общества, ISBN   0-8218-3485-1