Симплектический разрез

В математике , особенно в симплектической геометрии , симплектический разрез представляет собой геометрическую модификацию симплектических многообразий . Его эффект заключается в разложении данного многообразия на две части. Существует обратная операция — симплектическая сумма , которая склеивает два многообразия в одно. Симплектический разрез также можно рассматривать как обобщение симплектического раздутия . Разрез был введен в 1995 году Юджином Лерманом, который использовал его для изучения симплектического фактора и других операций над многообразиями.

Топологическое описание

Позволять $(X,\omega )$ быть любым симплектическим многообразием и

$\mu :X\to \mathbb {R}$

гамильтониан ​ на $X$. Позволять $\epsilon$ быть любым регулярным значением $\mu$, так что уровень установлен $\mu ^{-1}(\epsilon )$ является гладким многообразием. Предположим далее, что $\mu ^{-1}(\epsilon )$ расслоено на окружности, каждая из которых является интегральной кривой индуцированного векторного поля Гамильтона .

Согласно этим предположениям, $\mu ^{-1}([\epsilon ,\infty ))$ представляет собой многообразие с краем $\mu ^{-1}(\epsilon )$, и можно образовать многообразие

${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }$

сжимая каждое волокно круга в точку. Другими словами, ${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }$ является $X$ с подмножеством $\mu ^{-1}((-\infty ,\epsilon ))$ удаляется, и граница схлопывается вдоль каждого волокна окружности. Фактор границы является подмногообразием ${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }$ коразмерности два , обозначаемой $V$.

Аналогично можно сформировать из $\mu ^{-1}((-\infty ,\epsilon ])$ многообразие ${\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }$, который также содержит копию $V$. Симплектический разрез — это пара многообразий ${\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }$ и ${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }$.

Иногда полезно рассматривать две половины симплектического разреза как соединенные по их общему подмногообразию. $V$ создать уникальное пространство

${\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }\cup _{V}{\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }.$

Например, это сингулярное пространство является центральным слоем симплектической суммы, рассматриваемой как деформация.

Симплектическое описание

Предыдущее описание довольно грубое; требуется больше внимания, чтобы отслеживать симплектическую структуру на симплектическом разрезе. Для этого пусть $(X,\omega )$ быть любым симплектическим многообразием. Предположим, что группа кругов $U(1)$ действует на $X$ гамильтоновым отображением способом с моментов

$\mu :X\to \mathbb {R} .$

Эту карту моментов можно рассматривать как функцию Гамильтона, которая генерирует действие окружности. Пространство продукта $X\times \mathbb {C}$, с координатой $z$ на $\mathbb {C}$, имеет индуцированную симплектическую форму

$\omega \oplus (-idz\wedge d{\bar {z}}).$

Группа $U(1)$ действует на произведение гамильтоновым способом:

$e^{i\theta }\cdot (x,z)=(e^{i\theta }\cdot x,e^{-i\theta }z)$

с картой моментов

$\nu (x,z)=\mu (x)-|z|^{2}.$

Позволять $\epsilon$ быть любым действительным числом, на котором действие окружности свободно. $\mu ^{-1}(\epsilon )$. Затем $\epsilon$ является регулярным значением $\nu$, и $\nu ^{-1}(\epsilon )$ является многообразием.

Это многообразие $\nu ^{-1}(\epsilon )$ содержит в качестве подмногообразия множество точек $(x,z)$ с $\mu (x)=\epsilon$ и $|z|^{2}=0$; это подмногообразие естественным образом отождествляется с $\mu ^{-1}(\epsilon )$. Дополнение подмногообразия, состоящее из точек $(x,z)$ с $\mu (x)>\epsilon$, естественно отождествляется с произведением

$X_{>\epsilon }:=\mu ^{-1}((\epsilon ,\infty ))$

и круг.

Многообразие $\nu ^{-1}(\epsilon )$ наследует действие гамильтоновой окружности, как и два только что описанных его подмногообразия. Таким образом, можно образовать симплектический фактор

${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }:=\nu ^{-1}(\epsilon )/U(1).$

По конструкции он содержит $X_{\mu >\epsilon }$ как плотное открытое подмногообразие; по сути, он компактизирует это открытое многообразие с симплектическим фактором

$V:=\mu ^{-1}(\epsilon )/U(1),$

которое является симплектическим подмногообразием ${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }$ коразмерности два.

Если $X$ является Кэлером , то и разрезанное пространство тоже ${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }$; однако встраивание $X_{\mu >\epsilon }$ это не изометрия.

Один конструирует ${\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }$, другая половина симплектического разреза, симметрично. Обычные пачки ​ $V$ в двух половинах разреза противоположны друг другу (т.е. симплектически антиизоморфны). Симплектическая сумма ${\overline {X}}_{\mu \geq \epsilon }$ и ${\overline {X}}_{\mu \leq \epsilon }$ вдоль $V$ выздоравливает $X$.

Существование глобального действия гамильтоновой окружности на $X$ представляется ограничительным предположением. Однако на самом деле в этом нет необходимости; разрез может быть выполнен при более общих гипотезах, таких как локальное действие гамильтоновой окружности вблизи $\mu ^{-1}(\epsilon )$ (поскольку разрез – это локальная операция).

Взорвать как разрез

Когда сложное многообразие $X$ раздувается вдоль подмногообразия $Z$ взрыва , место $Z$ заменяется исключительным делителем $E$ а остальная часть многообразия остается нетронутой. Топологически эту операцию можно также рассматривать как удаление $\epsilon$-окрестность места взрыва с последующим схлопыванием границы по отображению Хопфа .

Раздутие симплектического многообразия является более тонким, поскольку симплектическая форма должна быть скорректирована в окрестности места раздутия, чтобы плавно продолжаться через исключительный дивизор в раздутии. Симплектический разрез — это элегантный способ сделать процесс удаления окрестностей/схлопывания границ симплектически строгим.

Как и раньше, пусть $(X,\omega )$ — симплектическое многообразие с гамильтонианом $U(1)$-действие с моментной картой $\mu$. Предположим, что отображение моментов правильное и достигает максимума. $m$ точно вдоль симплектического подмногообразия $Z$ из $X$. Предположим, кроме того, что веса изотропного представления $U(1)$ в обычном комплекте $N_{X}Z$ все $1$.

Тогда для маленьких $\epsilon$ единственные критические точки в $X_{\mu >m-\epsilon }$ они на $Z$. Симплектический разрез ${\overline {X}}_{\mu \leq m-\epsilon }$, который образуется удалением симплектического $\epsilon$- окрестности $Z$ и схлопывание границы является тогда симплектическим разрушением $X$ вдоль $Z$.

Ссылки

• Юджин Лерман: Симплектические разрезы, Mathematical Research Letters 2 (1995), 247–258.
• Дуса Макдафф и Д. Саламон: Введение в симплектическую топологию (1998) Оксфордские математические монографии, ISBN   0-19-850451-9 .