Гамильтоново векторное поле

В математике и физике векторное поле Гамильтона на симплектическом многообразии — это векторное поле, определенное для любой энергетической функции или гамильтониана . Названное в честь физика и математика сэра Уильяма Роуэна Гамильтона , гамильтоново векторное поле представляет собой геометрическое проявление уравнений Гамильтона в классической механике . Интегральные кривые гамильтонова векторного поля представляют собой решения уравнений движения в гамильтоновой форме. Диффеоморфизмы потока симплектического многообразия, возникающие из гамильтонова векторного поля, известны как канонические преобразования в физике и (гамильтоновы) симплектоморфизмы в математике.

Гамильтоновы векторные поля могут быть определены в более общем смысле на произвольном многообразии Пуассона . Скобка Ли двух гамильтоновых векторных полей, соответствующих функциям f и g на многообразии, сама является гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом, заданным формулой Скобка Пуассона для f и g .

Определение

Предположим, что ( M , ω ) — симплектическое многообразие . Поскольку симплектическая форма ω невырождена, она устанавливает послойно линейный изоморфизм

$\omega :TM\to T^{*}M,$

между касательным расслоением TM и кокасательным расслоением T*M с обратным

$\Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}.$

Следовательно, одноформы на симплектическом многообразии M можно отождествить с векторными полями , и каждая дифференцируемая функция H : M → R определяет уникальное векторное поле X _H , называемое гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом H , определяя для каждого векторного поля Y на М ,

$\mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y).$

Примечание . Некоторые авторы определяют векторное поле Гамильтона с противоположным знаком. Следует помнить о различных условных обозначениях в физической и математической литературе.

Примеры

Предположим, что M — 2 n -мерное симплектическое многообразие. Тогда локально можно выбрать канонические координаты ( q ¹ , ..., д ^н , p ₁ , ..., p _n ) на M , в котором симплектическая форма выражается как: $\omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i},$

где d обозначает внешнюю производную , а ∧ обозначает внешнее произведение . Тогда векторное поле Гамильтона с гамильтонианом H принимает вид: $\mathrm {X} _{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H,$

где Ω — размером 2 n × 2 n. квадратная матрица

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},$

и

$\mathrm {d} H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{bmatrix}}.$

Матрицу Ω часто обозначают J .

Предположим, что M = R ^22н представляет собой 2 n -мерное симплектическое векторное пространство с (глобальными) каноническими координатами.

• Если $H=p_{i}$ затем $X_{H}=\partial /\partial q^{i};$
• если $H=q_{i}$ затем $X_{H}=-\partial /\partial p^{i};$
• если $H=1/2\sum (p_{i})^{2}$ затем $X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i};$
• если $H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}$ затем $X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.$

Характеристики

• Назначение f ↦ X _f является линейным , так что сумма двух гамильтоновых функций преобразуется в сумму соответствующих гамильтоновых векторных полей.
• Предположим, что ( q ¹ , ..., д ^н , p ₁ , ..., p _n ) — канонические координаты на M (см. выше). Тогда кривая γ( t ) = (q(t),p(t)) является интегральной кривой векторного поля Гамильтона X _H тогда и только тогда, когда она является решением уравнений Гамильтона : ${\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}$

${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.$

• Гамильтониан H постоянен вдоль интегральных кривых, поскольку $\langle dH,{\dot {\gamma }}\rangle =\omega (X_{H}(\gamma ),X_{H}(\gamma ))=0$. То есть H (γ( t )) фактически не зависит от t . Это свойство соответствует сохранению энергии в гамильтоновой механике .
• В более общем смысле, если две функции F и H имеют нулевую скобку Пуассона (см. ниже), то F постоянна вдоль интегральных кривых H , и аналогично H постоянна вдоль интегральных кривых F . Этот факт является абстрактным математическим принципом, лежащим в основе теоремы Нётер .
• Симплектическая форма ω сохраняется гамильтоновым потоком. Эквивалентно производная Ли ${\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =0.$

скобка Пуассона

Понятие гамильтонова векторного поля приводит к кососимметричной билинейной операции над дифференцируемыми функциями на симплектическом многообразии M , скобке Пуассона , определяемой формулой

$\{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g$

где ${\mathcal {L}}_{X}$ обозначает производную Ли вдоль векторного поля X . Более того, можно проверить, что выполнено тождество: $X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],$

где правая часть представляет собой скобку Ли гамильтоновых векторных полей с гамильтонианами f и g . Как следствие (доказательство в скобке Пуассона ), скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби : $\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0,$

что означает, что векторное пространство дифференцируемых функций на M , снабженное скобкой Пуассона, имеет структуру алгебры Ли над R , а назначение f ↦ X _f является гомоморфизмом алгебры Ли , ядро ​​которого состоит из локально постоянных функций ( постоянные функции, если M связно).

Цитируемые работы

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Бенджамин-Каммингс. ISBN  978-080530102-1 . См. раздел 3.2 .
• Арнольд, VI (1997). Математические методы классической механики . Берлин и т. д.: Springer. ISBN  0-387-96890-3 .
• Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38753-1 .
• Ли, Дж. М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников Springer по математике, том. 218, ISBN  0-387-95448-1
• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Оксфордские математические монографии. ISBN  0-19-850451-9 .

Внешние ссылки

• Гамильтоново векторное поле на nLab