K-стабильность многообразий Фано

В данной статье конкретно рассматривается K-стабильность многообразий Фано. Для более общей информации о K-стабильности см. K-стабильность .

В математике , и в частности алгебраической геометрии , K-стабильность — это алгебро-геометрическое условие устойчивости проективных алгебраических многообразий и комплексных многообразий . K-стабильность имеет особое значение для случая многообразий Фано , где она является правильным условием устойчивости, позволяющим образовывать пространства модулей , и где она точно характеризует существование метрик Кэлера – Эйнштейна .

K-стабильность была впервые определена для многообразий Фано Ган Тианом в 1997 году в ответ на гипотезу Шинг-Тунг Яу от 1993 года о том, что должно существовать условие устойчивости, которое характеризует существование метрики Кэлера – Эйнштейна на многообразии Фано. Он был определен в отношении функционала K-энергии, ранее введенного Тошики Мабучи . Определение K-стабильности, данное Тианом, было переформулировано Саймоном Дональдсоном в 2001 году чисто алгебро-геометрическим способом.

K-стабильность стала важным понятием в изучении и классификации многообразий Фано. В 2012 году Сюсюн Чен , Дональдсон и Сун Сунь и независимо Ган Тянь доказал, что гладкое многообразие Фано является K-полистабильным тогда и только тогда, когда оно допускает метрику Кэлера–Эйнштейна. Позже это было обобщено на сингулярные K-полистабильные многообразия Фано благодаря работам Бермана-Буксома-Джонссона и других. K-стабильность важна при построении пространств модулей многообразий Фано, где наблюдения, восходящие к первоначальному развитию геометрической теории инвариантов, показывают, что необходимо ограничиться классом стабильных объектов, чтобы сформировать хорошие модули. Благодаря работам Чэньян Сюй и других теперь известно, что существует проективное грубое пространство модулей K-полистабильных многообразий Фано конечного типа. Эта работа основана на доказательстве Кошера Биркара ограниченности многообразий Фано, за которое он был награжден медалью Филдса 2018 года . Благодаря переформулировке условия K-стабильности Фудзитой-Ли и Одакой, K-стабильность многообразий Фано может быть явно вычислена на практике. Какие многообразия Фано являются K-стабильными, хорошо известно в размерностях один, два и три.

Определение и характеристики

Понятие K-стабильности многообразий Фано первоначально было уточнено с помощью дифференциальной геометрии Тианом, который распространил чисто аналитическое понятие инварианта Футаки векторного поля на случай некоторых нормальных многообразий с орбифолдными особенностями. Позже Дональдсон переформулировал это определение в чисто алгебро-геометрической форме, но это общее определение потеряло прямую связь с геометрией многообразий Фано и вместо этого имело смысл для более широкого класса всех проективных многообразий. Работа Тиана показывает, что инвариант Дональдсона – Футаки, определяющий вес $\mathbb {C} ^{*}$-действие на центральном слое тестовой конфигурации можно вычислить через определенные числа пересечений (соответствующие весу действия на так называемом линейном расслоении CM). В случае Фано этим числам пересечений, которые включают антиканонический дивизор многообразия и его тестовую конфигурацию, можно дать мощные альтернативные характеристики в терминах алгебраической и бирациональной геометрии многообразия Фано.

Таким образом, в случае многообразий Фано существует множество различных, но эквивалентных характеристик K-стабильности, и некоторые из этих характеристик поддаются явному вычислению или более простому доказательству результатов.

В этом разделе все определения изложены в общем виде. $\mathbb {Q}$-Сорт Фано, который представляет собой сорт Фано с обильным $\mathbb {Q}$- Картье Антиканонический делитель и, в худшем случае, особенности логтерминала Каваматы (klt). Определения K-стабильности можно дать для любого $\mathbb {Q}$- Многообразие Фано Горенштейна (т.е. любое многообразие Фано, у которого антиканонический делитель равен $\mathbb {Q}$-Картье), однако Одака доказал, что каждое K-полустабильное многообразие Фано имеет в худшем случае klt-особенности, поэтому для целей изучения K-стабильности достаточно предположить в худшем случае klt-особенности. Любое определение можно легко расширить до $\mathbb {Q}$- войти пары Фано , пара $(X,\Delta )$ многообразия klt X и делителя klt такого, что $-(K_{X}+\Delta )$ достаточно и $\mathbb {Q}$-Картье.

Традиционное

Смотрите также: K-стабильность

Определение K-стабильности многообразия Фано или, в более общем смысле, $\mathbb {Q}$-Сорт Фано, может быть представлен во многих формах. Общее определение K-стабильности с точки зрения тестовых конфигураций (более подробную информацию см. в разделе K-стабильность ) можно упростить, если можно упростить тип рассматриваемой тестовой конфигурации. Например, в случае торических многообразий всегда можно взять тестовые конфигурации, которые также являются торическими, и это приводит к перехарактеризации K-стабильности в терминах выпуклых функций на моментном многограннике торического многообразия, как это заметил Дональдсон в своей первой статье о K-стабильности. В случае многообразий Фано это было неявно уже в работе Тиана. что можно ограничиться тестовыми конфигурациями с упрощенным центральным волокном в том случае, когда центральное волокно представляет собой обычную разновидность .

В этом случае существует формула теории пересечений для инварианта Дональдсона–Футаки нормальной тестовой конфигурации. $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ для $(X,-rK_{X})$. Явно расширяется тестовая конфигурация $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\to \mathbb {C}$ к тестовой конфигурации по комплексной проективной прямой $\mathbb {P} ^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ тривиально в точку $\infty$, есть формула

$$\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})={\frac {1}{2(n+1)(-K_{X})^{n}}}\left(n\left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n+1}+(n+1)K_{{\mathcal {X}}/\mathbb {P} ^{1}}\cdot \left({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}}\right)^{n}\right).$$

По отношению к этому инварианту, если $X$ это $\mathbb {Q}$-Сорт Фано, говорим мы. $X$ является

• K-полустабильна, если $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ для любой нормальной тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$.
• K-стабилен, если $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})>0$ для любой нормальной тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ которая не изоморфна тривиальной тестовой конфигурации $(X\times \mathbb {C} ,L)$ вне множества коразмерности 2.
• Равномерно K-стабильно, если $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}$ для любой нормальной тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$, где $\|({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\|_{m}$ это минимальная норма тестовой конфигурации ${\mathcal {X}}$ и $\varepsilon >0$ является равномерной константой, зависящей только от $X$.
• K-неустойчиво, если $(X,L)$ не является K-полустабильным.

Согласно приведенным выше определениям, существуют последствия

Равномерно K-стабильный $\implies$ К-стабильный $\implies$ К-полустабильный

Приведенные выше определения не подходят для ситуации, когда многообразие Фано $X$ имеет автоморфизмы. Когда пространство автоморфизмов положительномерно $\dim \operatorname {Aut} (X)>0$ заметил Акито Футаки , что существуют определенные тестовые конфигурации, построенные из автоморфизмов $X$ которые являются «тривиальными» с точки зрения проверки K-стабильности. В этом случае следует ограничиться теми пробными конфигурациями, которые эквивариантны относительно действия максимального тора $T\subset \operatorname {Aut} (X)$, и это приводит к понятию K-полистабильности или пониженной K-стабильности. Мы говорим $X$ является

• K-полистабилен, если $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq 0$ для любой тестовой конфигурации и равенство выполняется именно тогда, когда ${\mathcal {X}}$ изоморфен $X\times \mathbb {C}$ вне множества коразмерности 2.
• Приведенный равномерно K-стабилен, если $\operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})\geq \varepsilon \operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ где $\operatorname {J} _{T}^{\operatorname {NA} }({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ это уменьшенный $\operatorname {J}$-норма тестовой конфигурации.

Что касается случая, когда группа автоморфизмов не является положительной размерностью, мы имеем импликации

Приведенный равномерно K-стабильный $\implies$ К-полистабильный $\implies$ К-полустабильный

Условие равномерной устойчивости априори сильнее, чем устойчивость, поскольку предполагает равномерную оценку выше нуля для инварианта Дональдсона – Футаки тестовой конфигурации. Однако оказывается, что в случае $\mathbb {Q}$- Равномерная стабильность сортов Фано фактически эквивалентна стабильности.

Теорема (Лю–Сюй–Чжуан): — (Приведенная) равномерная K-стабильность эквивалентна K-(поли)стабильности для $\mathbb {Q}$-Сорта Фано.

Многие результаты легче доказать для равномерной K-стабильности, поскольку равномерная граница сильнее, чем неравномерная, поэтому часто работают с этим определением, а не с традиционной K-(поли)стабильностью. В более общем случае поляризованного многообразия, рассмотренном в статье о K-стабильности, все еще остается открытой и важной проблемой характеристика того, как (приведенная) равномерная K-стабильность связана с K-(поли)стабильностью.

тестовые

Как упоминалось выше, иногда тип рассматриваемой тестовой конфигурации можно упростить. В случае сортов Фано специальной тестовой конфигурацией является тестовая конфигурация. $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ такая, что мы имеем рациональную эквивалентность делителей ${\mathcal {L}}\sim _{\mathbb {Q} }-rK_{\mathcal {X}}$ для некоторых $r$, а центральное волокно ${\mathcal {X}}_{0}$ также является $\mathbb {Q}$-Сорт Фано.

Можно доказать, что при любой тестовой конфигурации $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$, существует специальная тестовая конфигурация $({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})$ такой, что

$$\operatorname {DF} ({\mathcal {Y}},{\mathcal {H}})\leq \operatorname {DF} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}}).$$

Это означает, что для целей проверки K-стабильности $X$, достаточно ограничиться рассмотрением приведенных выше определений K-стабильности для специальных тестовых конфигураций. Тот факт, что можно предположить, что центральным волокном тестовой конфигурации также является Фано, приводит к прочным связям с бирациональной геометрией и программой минимальной модели, предоставляя ряд альтернативных характеристик K-стабильности, описанных в следующих разделах.

Основная альтернативная характеристика дается с точки зрения другого понятия устойчивости Дина , которое представляет собой вариацию условия K-стабильности для инварианта Дина.

$$\operatorname {Ding} ({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})=-{\frac {({\frac {1}{r}}{\mathcal {L}})^{n+1}}{(n+1)(-K_{X})^{n}}}-1+\operatorname {lct} ({\mathcal {X}},{\mathcal {D}}_{({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})};{\mathcal {X}}_{0})$$

где добавляется лог-канонический порог тестовой конфигурации. Инвариант Дина можно определить только в контексте многообразий Фано. Используя этот новый инвариант вместо $\operatorname {DF}$, можно определить каждое понятие стабильности Дина точно так же, как указано выше, что приводит к (полу/поли)стабильности Дина и однородным версиям. Инвариант Динга имеет лучшие формальные свойства по отношению к алгебраической геометрии, чем инвариант Дональдсона – Футаки. Известно, что когда тестовая конфигурация является специальной, инвариант Дина согласуется с инвариантом Дональдсона–Футаки с точностью до постоянного множителя, и поэтому для многообразий Фано устойчивость Дина эквивалентна K-стабильности.

Альфа-инвариант

Первый известный эффективный критерий проверки K-стабильности был разработан Тианом. Первоначально работа Тиана была разработана для того, чтобы напрямую предоставить критерий существования метрики Кэлера–Эйнштейна на многообразии Фано, а благодаря более поздним работам стало известно, что каждое многообразие Кэлера–Эйнштейна Фано является K-полистабильным. Первоначальное определение альфа-инварианта, данное Тианом, носило аналитический характер, но его можно использовать для проверки существования метрики Кэлера-Эйнштейна на практике.

Альфа-инвариант Тиана можно определить относительно группы автоморфизмов. $G$и альфа-инвариант $\alpha _{G}$ соответствует приведенному выше понятию приведенной K-стабильности или K-полистабильности. Исправить $G$-инвариантная метрика Кэлера $\omega \in c_{1}(X)$ на многообразии Фано. Определим специальный класс кэлеровских потенциалов формулой

$$P_{G}(X,\omega )=\{\varphi \in C^{\infty }(X,\mathbb {R} )\mid \varphi {\text{ is }}G{\text{ invariant}},\sup \varphi =0,\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi >0\}.$$

Тогда альфа-инвариант определяется выражением

$$\alpha _{G}(X):=\sup \left\{\alpha >0\mid \exists C(\alpha )>0{\text{ such that }}\int _{X}e^{-\alpha \varphi }\omega ^{n}<C(\alpha ){\text{ for all }}\varphi \in P_{G}(X,\omega )\right\}.$$

Важность этого инварианта заключается в следующем:

Теорема: (Тянь) — Пусть $X$ — гладкое многообразие Фано размерности $\dim X=n$. Если альфа-инвариант $\alpha _{G}(X)>{\frac {n}{n+1}}$ затем $X$ признает $G$-инвариантная метрика Кэлера–Эйнштейна.

Позже Одака-Сано заметил, что альфа-инварианту можно дать чисто алгебро-геометрическое определение в терминах нижней границы лог-канонического порога по всем $G$-инвариантные линейные системы, содержащиеся внутри $\left|-mK_{X}\right|$. Именно, Демайи показал

$$\alpha _{G}(X)=\operatorname {lct} _{G}(X)=\inf _{m\in \mathbb {Z} _{>0}}\inf _{D\sim -mK_{X}}\operatorname {lct} \left(X,{\frac {1}{m}}D\right).$$

Это позволяет чисто алгебро-геометрические доказательства существования метрик Кэлера – Эйнштейна.

Бета-инвариант

Бета-инвариант $\beta _{X}(E)$ тесно соприкасается с бирациональной геометрией . Этот инвариант был разработан Фудзитой и Ли в попытке найти характеристику K-стабильности в терминах дивизоров или оценок многообразия Фано. $X$. Эта работа была вдохновлена ​​более ранними идеями Росса–Томаса, которые пытались описать K-стабильность в терминах алгебраических инвариантов, выходящих из подсхем многообразия $X$. Хотя невозможно показать, что эта «наклонная» K-устойчивость эквивалентна K-устойчивости, переходя не только к дивизорам внутри $X$ но дивизоры внутри любой бирациональной модели над $X$, можно получить «достаточное» количество объектов для точной проверки K-стабильности.

В частности, Фудзита понял, что понятие Росса-Томаса о наклонной K-устойчивости было ограничено интегрированием только до постоянной Сешадри подсхемы, где естественный делитель при расширении становится достаточным. По контракту $\beta$-инвариант интегрируется до псевдоэффективного порога , при котором натуральный делитель имеет положительный объем (поскольку каждый обильный делитель имеет положительный объем, псевдоэффективный порог выходит за пределы константы Сешадри). Эта дополнительная информация дает оценочному критерию Фудзиты и Ли достаточно информации, чтобы полностью охарактеризовать K-стабильность.

Предполагать $X$ это обычный сорт с $\mathbb {Q}$-Канонический делитель Картье $K_{X}$. Один говорит $E$ является делителем $X$ если $E$ — делитель, содержащийся внутри некоторого нормального многообразия $Y$ такой, что существует собственный бирациональный морфизм $\mu :Y\to X$ (например, в взрыва результате $X$). Определяется логарифмическая невязка делителя. $E$ над $X$ как

$$A_{X}(E):=a(E,X)+1$$

где $a(E,X)$ это несоответствие делителя $E$ в смысле бирациональной геометрии (см. каноническая особенность ). Несоответствие делителя $E$ над $X$ определяется следующим образом. Вдали от исключительного локуса бирационального морфизма $\mu :Y\to X$, канонические делители $Y$ и $X$ соглашаться. Следовательно, их разность определяется некоторой суммой простых делителей $E_{i}$ содержится в исключительном локусе $\mu$. То есть,

$$K_{Y}-\mu ^{*}K_{X}=\sum _{i}a_{i}E_{i}$$

где $a_{i}\in \mathbb {Q}$. По определению $a(E_{i},X)=-a_{i}$ и $a(E,X)=0$ когда $E$ не является одним из простых делителей $E_{i}$ в исключительном локусе. Расхождение в журнале $X$ измеряет особенности многообразия Фано. В частности, X является лог-терминалом Каваматы тогда и только тогда, когда $A_{X}(E)\geq 0$ для любого $E$ над $X$.

Чтобы определить бета-инвариант, также необходим объемный член. Для делителя $E$ над $X$, определять

$$S_{X}(E):={\frac {1}{(-K_{X})^{n}}}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Vol} (\mu ^{*}(-K_{X})-tE)dt.$$

Здесь объем делителя измеряет скорость, с которой увеличивается пространство его секций по сравнению с ожидаемым размером. А именно,

$$\operatorname {Vol} (D)=\limsup _{m\to \infty }{\frac {\dim H^{0}(X,{\mathcal {O}}(mD))}{m^{n}/n!}}$$

где $\dim X=n$.

Наконец, бета-инвариант был определен Фудзитой и Ли как

$$\beta _{X}(E):=A_{X}(E)-S_{X}(E).$$

Несмотря на сложность определения, благодаря мощным инструментам бирациональной геометрии этот инвариант может быть явно вычислен на практике для многих классов многообразий Фано, где известна структура дивизоров в их бирациональных моделях. Этого часто можно достичь с помощью вычислительной алгебраической геометрии или ручных вычислений.

Актуальность $\beta$-инвариант находится в следующей характеристике K-стабильности, впервые наблюдаемой (в одном направлении) независимо друг от друга Фудзитой и Ли.

Теорема: (Фуджита–Ли, Блюм–Сюй) — A $\mathbb {Q}$-Сорт Фано $X$ K-полустабильна тогда и только тогда, когда $\beta _{X}(E)\geq 0$ для всех делителей $E$ над $X$. Более того $X$ K-стабилен тогда и только тогда, когда $\beta _{X}(E)>0$ для всех делителей больше $X$.

Дельта-инвариант

Дельта-инвариант можно определить как «мультипликативную» версию «аддитивного» бета-инварианта. Дельта -инвариант делителя $E$ над $X$ определяется

$$\delta (X,E):={\frac {A_{X}(E)}{S_{X}(E)}}.$$

Дельта-инвариант $X$ тогда задается единым измерением дельта-инвариантов всех делителей над $X$.

$$\delta (X):=\inf _{E{\text{ over }}X}\delta (X,E).$$

Дельта-инвариант делителя концептуально похож на бета-инвариант, однако Фудзита-Одака заметил, что можно вычислить дельта-инвариант как предел «квантованных» дельта-инвариантов. $\delta _{m}$ как $m\to \infty$. Квантованные дельта-инварианты можно вычислить с помощью делителей типа m-базиса , которые задаются выбором базисов в фиксированном конечномерном векторном пространстве. $H^{0}(X,-mK_{X})$. Таким образом, дельта-инвариант, как правило, более вычислим и теоретически более силен, чем его предшественники, и с момента его введения произошел значительный прогресс в явных вычислениях K-стабильности многообразий Фано и в теории модулей многообразий Фано.Его первоначальная важность для теории K-стабильности отражена в следующей характеристике.

Теорема: (Фудзита–Одака, Блюм–Сюй) — A $\mathbb {Q}$-Сорт Фано $X$ K-полустабильна тогда и только тогда, когда $\delta (X)\geq 1$. Более того, он равномерно K-стабилен тогда и только тогда, когда $\delta (X)>1$.

Алгебраический $\delta$-инвариант может соприкасаться с явными аналитическими свойствами метрик Кэлера – Эйнштейна. В частности, можно определить наибольшую нижнюю границу Риччи $R(X)$ как высшая точка всего $0\leq t\leq 1$ такая, что существует кэлерова метрика $\omega \in c_{1}(X)$ такой, что $\operatorname {Ric} \omega >t\omega$. Это предел того, как далеко можно пройти метод естественной непрерывности для решения уравнения Кэлера – Эйнштейна. Если наибольшая нижняя граница Риччи принимает значение $t=1$ тогда можно завершить метод непрерывности и вывести существование метрики Кэлера – Эйнштейна. Оказывается, насколько далеко вы можете зайти по этому методу непрерывности, величайшая нижняя граница Риччи, в точности определяется выражением $\delta$-инвариант. То есть,

$$R(X)=\min\{1,\delta (X)\}.$$

В случае торических многообразий Фано Ли получил еще более геометрическую интерпретацию дельта-инварианта. Для такого торического Фано $X_{P}$, происхождение $O$ всегда содержится внутри моментного многогранника $P$. Если $B$ обозначает барицентр многогранника $P$ и $Q$ обозначает точку на границе многогранника, пересекающую луч $OB$, то Ли показал, что наибольшая нижняя граница Риччи определяется соотношением $|BQ|/|OQ|$. В частности, торический Фано имеет $R(X)=1$ тогда и только тогда, когда его барицентр является началом координат. Интерпретируя его с использованием дельта-инварианта (а также используя более ранние результаты), можно прийти к выводу, что торическое многообразие Фано является K-стабильным тогда и только тогда, когда барицентр его многогранника $P$ является происхождением.

Существование метрик

С момента своего первоначального введения понятие K-стабильности было тесно связано с существованием метрик Кэлера – Эйнштейна на многообразиях Фано. В настоящее время существует множество теорем, связывающих определенные предположения K-стабильности с существованием решений. Эти гипотезы в целом подпадают под название гипотезы Яу-Тиана-Дональдсона . В случае многообразий Фано эта гипотеза утверждает:

Гипотеза (Яу–Тиан–Дональдсон) — Многообразие Фано допускает метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно K-полистабильно.

Для многообразий Фано эта гипотеза была первоначально предложена Яу и Тианом: а более общая форма была сформулирована Дональдсоном, которая выходит за рамки случая многообразий Фано. Тем не менее, гипотеза даже в случае Фаноса стала известна как гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона. См. K-стабильность для более подробного обсуждения общей гипотезы.

В случае многообразий Фано гипотеза YTD допускает обобщения, выходящие за рамки случая гладких многообразий, и формы гипотезы теперь известны для сингулярного Фаноса и log Фаноса .

Фано

Прямое направление гипотезы о том, что многообразие Фано с метрикой Кэлера–Эйнштейна является K-полистабильным, было доказано Тианом в его оригинальной статье, когда многообразие Фано имеет дискретную группу автоморфизмов, т.е. $\left|\operatorname {Aut} (X)\right|<\infty$. Это направление было доказано в полной общности, сняв предположение о дискретности группы автоморфизмов, Берманом.

Обратная направленность гипотезы Яу-Тиана-Дональдсона была впервые решена в гладком случае, как указано выше Ченом-Дональдсоном-Суном: и в то же время Тианом. Чен, Дональдсон и Сунь заявили, что требование Тиана о равном приоритете доказательств неверно, и обвинили его в академических нарушениях. Тиан оспорил их претензии. Чен, Дональдсон и Сан были признаны 2019 года Американского математического общества престижной премией Веблена как разрешившие эту гипотезу. Премия за прорыв наградила Дональдсона премией за прорыв в области математики , а Сан — премией за прорыв New Horizons , отчасти на основе их работы с Ченом над гипотезой.

Теорема . Если многообразие Фано K-полистабильно, то оно допускает метрику Кэлера – Эйнштейна.

Доказательства Чена–Дональдсона–Суна и Тиана были основаны на тщательном изучении пределов Громова–Хаусдорфа многообразий Фано с границами кривизны Риччи . Совсем недавно доказательство, основанное на «классическом» методе непрерывности, было предоставлено Ведом Датаром и Габором Секелихиди. за которым последовало доказательство Чена, Суня и Бинг Ванга с использованием потока Кэлера – Риччи.

Роберт Берман , Себастьян Буксом и Маттиас Йонссон также предоставили доказательство на основе нового вариационного подхода, который интерпретирует K-стабильность с точки зрения неархимедовой геометрии . Особый интерес представляет то, что доказательство Бермана–Буксома–Джонссона также применимо к случаю гладкой лог-пары Фано и не использует понятие K-полистабильности, а понятие равномерной K-стабильности, введенное Дерваном и Буксомом–Хисамото– Йонссон. Сейчас известно, что равномерная K-стабильность эквивалентна K-стабильности и поэтому доказательство BBJ представляет собой новое доказательство полной гипотезы YTD.

Основываясь на вариационных методах Бермана-Буксома-Джонссона и так называемых квантованных дельта-инвариантах Фудзиты-Одаки, Чжан представил краткое, основанное на квантовании доказательство гипотезы YTD для гладких многообразий Фано.

Полностью используя другие методы, Берман также представил доказательство гипотезы типа YTD, используя термодинамический подход, называемый равномерной устойчивостью Гиббса , где метрика Кэлера-Эйнштейна строится с помощью случайного точечного процесса.

Особые многообразия Фано и слабые метрики

Новое доказательство гипотезы Яу–Тиана–Дональдсона, проведенное Берманом–Буксомом–Джонссоном с использованием вариационных методов, открыло возможность изучения K-стабильности и метрик Кэлера–Эйнштейна для сингулярных многообразий Фано. Используемые вариационные методы основаны на равномерной K-стабильности, как описано выше.

Результат Бермана о том, что многообразие Фано, допускающее метрику Кэлера–Эйнштейна, является K-полистабильным, был доказан в полной общности $\mathbb {Q}$-log пара Фано, допускающая слабую метрику Кэлера–Эйнштейна. Слабая метрика Кэлера –Эйнштейна на $\mathbb {Q}$-Сорт Фано $X$ является положительным $(1,1)$- текущий $\theta _{\operatorname {KE} }$что ограничивает получение гладкой метрики Кэлера – Эйнштейна $\omega _{\operatorname {KE} }$на гладком месте $X_{\operatorname {reg} }$ из $X$. Требуя совместимости с делителем $\Delta$это определение можно распространить на слабую метрику Кэлера–Эйнштейна на паре $(X,\Delta )$.

В этой общности обратное направление гипотезы YTD было доказано Ли–Тянь–Вангом в случае, когда группа автоморфизмов дискретна, а в полной общности – Ли.

Теорема (Ли–Тянь–Ванг, Ли) — A $\mathbb {Q}$-log пара Фано $(X,\Delta )$ которая приведена равномерно K-стабильна, допускает слабую метрику Кэлера–Эйнштейна.

Благодаря разрешению Лю-Сю-Чжуаном гипотезы конечного поколения известно, что приведенная равномерная K-стабильность эквивалентна K-полистабильности, поэтому в сочетании с результатом Бермана гипотеза Яу-Тиана-Дональдсона верна в полной общности для сингулярных Фано. сорта.

Теорема (Ли–Тянь–Ван, Ли, Берман, Лю–Сюй–Чжуан) — А $\mathbb {Q}$-log пара Фано $(X,\Delta )$ допускает слабую метрику Кэлера–Эйнштейна тогда и только тогда, когда она K-полистабильна.

Пространства модулей K-

Построение пространств модулей — центральная проблема алгебраической геометрии. Построение модулей алгебраических кривых стимулировало развитие геометрической теории инвариантов , стеков , а классификация алгебраических поверхностей мотивировала результаты во всей алгебраической геометрии. Случай пространств модулей канонически поляризованных многообразий был решен с использованием методов, возникших из программы минимальной модели Коллара ведущей – Шеперда-Бэррона, к так называемым пространствам модулей KSB многообразий общего типа. Ключевым свойством многообразий общего типа, допускающим построение модулей, является отсутствие автоморфизмов таких многообразий. Это не справедливо для многообразий Фано, которые часто могут иметь очень большие группы автоморфизмов, поэтому программа минимальной модели не нашла непосредственного применения к построению модулей многообразий Фано, и стало ясно, что К-стабильность является правильным алгебро-геометрическим решением. понятие, позволяющее в этом случае формировать модули. Пространства модулей K-стабильных многообразий известны как K-модули .

Гладкий корпус

В случае гладких многообразий Фано можно использовать методы, возникающие из гипотезы Яу–Тиана–Дональдсона, для аналитического построения пространства модулей. В частности, работа Одаки и Дональдсона, основанная на идеях громовской компактности Кэлера – Эйнштейна Фаноса, использованных при доказательстве гипотезы YTD. следует существование пространств модулей гладких многообразий Фано Кэлера–Эйнштейна с дискретными группами автоморфизмов. Эти пространства модулей являются хаусдорфовыми и имеют в худшем случае факторособенности. По гипотезе YTD это альтернативные пространства модулей гладких K-полистабильных многообразий Фано с дискретными группами автоморфизмов. Однако предел Громова–Хаусдорфа гладких многообразий Фано Кэлера–Эйнштейна может привести к сингулярному состоянию. $\mathbb {Q}$-Многообразие Фано, поэтому пространства модулей, описанные Одакой и Дональдсоном, не компактны - критерий, который часто желателен при формировании пространств модулей. Один из методов компактификации пространства модулей гладкого K-полистабильного Фаноса состоит в том, чтобы перейти к пространству модулей сингулярного K-полистабильного Фаноса и использовать алгебраическую геометрию для доказательства его проективности. Гипотеза Яу–Тиана–Дональдсона об сингулярных многообразиях Фано придала бы этой компактификации альтернативную точку зрения, поскольку она состоит из сингулярных многообразий Фано со слабыми метриками Кэлера–Эйнштейна.

Общий случай

Стандартный алгебраический метод построения пространств модулей использует геометрическую теорию инвариантов . Обычно, чтобы применить геометрическую теорию инвариантов Мамфорда для построения модулей, необходимо встроить семейство многообразий в фиксированное конечномерное проективное пространство . Тогда такое семейство определяет геометрическое место точек в соответствующей схеме Гильберта проективного пространства, которая представляет собой проективную схему, на которой действует группа проективных автоморфизмов. Устойчивость GIT относительно этой линеаризации называется устойчивостью Гильберта . Если этот локус образует открытое множество, то GIT можно использовать для построения фактора, который параметризует эти объекты. В хороших обстоятельствах это частное может быть правильным и проективным.

Не всегда возможно вложить семейство многообразий в фиксированное проективное пространство и, следовательно, описать их модули с помощью геометрической теории инвариантов, и это специальное свойство называется ограниченностью . Фундаментальным свойством многообразий Фано является то, что они не являются ограниченными, и, следовательно, их устойчивость не может быть разумно отражена какой-либо конечномерной геометрической теорией инвариантов. Это объясняет, почему K-стабильность требует рассмотрения тестовых конфигураций. $({\mathcal {X}},{\mathcal {L}})$ для которого относительно обширный линейный пакет ${\mathcal {L}}$ может соответствовать некоторой мощности $L^{k}$ для $k$ сколь угодно велик. Однако результаты Кошера Биркара показали, что некоторые семейства многообразий Фано с ограниченным снизу объемом образуют ограниченные семейства, что предполагает возможность изучения устойчивости ограниченных по объему семейств многообразий Фано с образованием пространств модулей. За эту работу Биркар был награжден Медалью Филдса в 2018 году.

Цзян доказал, что K-полустабильный $\mathbb {Q}$-Многообразия Фано с ограниченным снизу объемом образуют ограниченное семейство. Таким образом, для данного объема $V>0$ существует однородное целое число $N>0$ такой, что каждый K-полустабильный $\mathbb {Q}$-Фано с антиканоническим объемом больше или равным $V$ допускает вложение внутрь фиксированного проективного пространства $\mathbb {CP} ^{N}$. Открытость этого локуса K-полустабильного Фаноса была доказана Блюмом–Лю–Сюй и Сюй. Это подразумевает существование стека Артина конечного типа, обозначаемого ${\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }$ параметризация K-полустабильного $\mathbb {Q}$-Многообразия Фано с объемом, ограниченным снизу $V$.

Чтобы найти настоящее пространство модулей как проективное многообразие или схему, необходимо доказать некоторые свойства S -полноты и $\Theta$-редукция K-полустабильного Фаноса внутри стопки ${\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }$. Используя свойства K-полистабильности, эти свойства стека модулей верны и существует грубое пространство модулей. $X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }$ для стека ${\mathfrak {X}}_{n,V}^{\operatorname {Kss} }$ который параметризует K-полистабильный $\mathbb {Q}$-Многообразия Фано с объемом, ограниченным снизу $V$. Было доказано, что $X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }$ является правильным и что расслоение CM-линий обильно, а это означает, что грубое пространство модулей также проективно. Результат существования K-модулей можно резюмировать в следующей теореме.

Теорема — Существует отдельное собственное проективное пространство хороших модулей. $X_{n,V}^{\operatorname {Kps} }$ параметризация $n$-мерный K-полистабильный $\mathbb {Q}$-Многообразия Фано с антиканоническим объемом, ограниченным снизу $V>0$.

Построение пространства модулей K-полистабильного Фано можно обобщить на случай лог-многообразий Фано. Случай единственного числа $\mathbb {Q}$-Многообразия Фано, которые являются сглаживаемыми (то есть являются пределами алгебраических семейств гладких K-полистабильных многообразий Фано), были решены ранее Ли-Вангом-Сюй с использованием комбинации аналитических методов, также опираясь на более ранние работы Одаки, Дональдсона, и Кодоньи-Патакфалви. Там показано, что грубое пространство модулей является схемой , но в целом результаты существования K-модулей гарантируют только существование алгебраического пространства .

стабильность многообразий

Явное изучение K-стабильных многообразий Фано предшествует алгебраическому понятию K-стабильности и в малых размерностях представляло интерес исключительно из-за изучения многообразий Кэлера–Эйнштейна. Например, либо путем явной конструкции, либо с использованием альфа-инварианта Тиана все гладкие многообразия Кэлера – Эйнштейна размерности 1 и 2 были известны до того, как было введено определение K-стабильности. В размерности 3 и выше явные конструкции метрик Кэлера–Эйнштейна становятся более трудными, но достижения, возникшие в результате алгебраического изучения K-стабильности, позволили явно вычислить K-полистабильные трехмерные многообразия Фано и некоторые семейства многообразий более высокой размерности, а затем и открытие новых многообразий Кэлера–Эйнштейна.

Измерение 1

В первом измерении существует уникальное гладкое многообразие Фано — сложная проективная линия $\mathbb {CP} ^{1}$. Легко увидеть, что это многообразие K-стабильно из-за существования метрики Фубини–Студи , которая является метрикой Кэлера–Эйнштейна, подразумевающей K-полистабильность многообразия. $\mathbb {CP} ^{1}$.Чисто алгебро-геометрическое доказательство K-устойчивости гладких римановых поверхностей следует из работы Росса–Томаса о наклонной K-устойчивости, которая эквивалентна K-стабильности в размерности один. В этом случае можно построить тестовые конфигурации из набора точек кривой, и когда кривая гладкая, ни одна точка не дестабилизируется.

Измерение 2

В размерности два пространства, допускающие метрики Кэлера–Эйнштейна, были классифицированы Тианом. Существует 10 семейств деформаций гладких многообразий Фано в измерении два, поверхности дель Пеццо . Используя альфа-инвариант, Тиан показал, что гладкая поверхность Фано допускает метрику Кэлера – Эйнштейна и является K-полистабильной тогда и только тогда, когда она не является раздутием комплексной проективной плоскости. $\mathbb {CP} ^{2}$ в одной-двух точках. Таким образом, 8 из этих 10 классов состоят из K-полистабильных поверхностей Фано.

K-модули поверхностей Фано изучались на явных примерах Тианом и Мабучи–Мукаи. Явные конструкции компактных пространств модулей поверхностей Кэлера–Эйнштейна Фано были получены Одакой–Спотти–Суном. Эти пространства были построены как компактификации Громова–Хаусдорфа, но отождествлялись с явными алгебраическими пространствами лог-поверхностей Фано.

Например, Одака–Спотти–Сан доказывает, что компактное пространство модулей сглаживаемых поверхностей Кэлера–Эйнштейна четвертой степени задается взвешенным проективным пространством $\mathbb {P} (1,2,3)$ с гладкими поверхностями Кэлера–Эйнштейна четвертой степени, соответствующими локусу $\mathbb {P} (1,2,3)\backslash D$ где $D$ является обильным дивизором, состоящим из тех точек, которые удовлетворяют уравнению $z_{1}^{2}=128z_{2}$.

Измерение 3

В размерности 3 можно использовать чисто алгебраические методы для поиска примеров K-стабильных многообразий Фано, о которых априори не известно, что они допускают метрики Кэлера – Эйнштейна. Классификация Исковских–Мори–Мукаи гладких трехмерных многообразий Фано. дает естественный способ разбить проблему изучения K-стабильных трехмерных многообразий Фано на компоненты. Известно, что существует 105 семейств деформаций гладких трехмерных многообразий Фано, и явные вычисления с использованием бета-инварианта Фудзиты-Ли и дельта-инварианта Фудзиты-Одаки могут быть использованы для определения того, какие семейства деформаций содержат K-стабильных представителей.

Для каждого деформационного семейства известно, является ли общий элемент семейства K-(поли)стабильным. В частности известно, что 78 из 105 семейств содержат в своем деформационном классе K-полистабильного представителя. Для 71 из 105 семейств для каждого отдельного члена деформационного класса известно, является ли он K-полистабильным. Для многих примеров 105 семейств деформаций K-стабильность представительных трехмерных многообразий можно интерпретировать в терминах естественной задачи GIT, которая описывает это семейство, и поэтому явные примеры K-модулей трехмерных многообразий Фано также можно найти как факторы GIT.

Для некоторых классов трехмерных многообразий Фано проблема классификации остается открытой. Например, известно, что тройка Мукаи–Умемура $X_{\operatorname {MU} }$ в классе деформации $V_{22}$ допускает метрику Кэлера-Эйнштейна и, следовательно, является K-полистабильной согласно работе Дональдсона, который вычислил альфа-инвариант Тиана явно, используя приведенный выше критерий. Это многообразие имеет недискретную группу автоморфизмов. $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ и какие близлежащие деформации $X_{\operatorname {MU} }$ также являются K-полистабильными, неизвестно. Предполагается, что деформации, соответствующие GIT-полистабильным точкам внутри версального пространства деформаций $\mathbb {X} _{\operatorname {MU} }$ должны соответствовать близким K-полистабильным многообразиям.

Высшие измерения

Первым и простейшим примером K-полистабильного многообразия Фано в любом измерении является комплексное проективное пространство , которое всегда допускает метрику Фубини–Студи , которая является Келером–Эйнштейном в любом измерении, и, следовательно, все проективные пространства K-полистабильны.

В общем, таких «очевидных» метрик Кэлера – Эйнштейна в более высоких измерениях не так много, и чтобы найти примеры, необходимо использовать новейшие методы обеспечения устойчивости. Для некоторых семейств многообразий Фано K-стабильность может быть доказана в более высоких размерностях, используя либо аналитические методы с использованием альфа-инварианта, либо чисто алгебро-геометрические методы с бета- или дельта-инвариантами. Например, гиперповерхность Ферма представляет собой разновидность формы

$$F_{n,d}=\left\{z\in \mathbb {CP} ^{n+1}\mid z_{0}^{d}+\cdots +z_{n+1}^{d}=0\right\}\subset \mathbb {CP} ^{n+1}.$$

Эти гиперповерхности представляют собой гладкие многообразия Фано с дискретной группой автоморфизмов для $3\leq d\leq n+1$, и Тиан с использованием альфа-инварианта доказал, что $\alpha _{G}(F_{n,d})>{\frac {2}{n+2-d}}$ подразумевая $F_{n,d}$ допускает теорию Кэлера–Эйнштейна для $n\leq d\leq n+1$и, используя более подробные аргументы, Тиан доказал существование метрики Кэлера–Эйнштейна, когда $d\leq n$. С другой стороны, используя дельта-инвариант, Чжуан дал полностью алгебраическое доказательство того, что $F_{n,d}$ K-стабилен для $3\leq d\leq n+1$ и, следовательно, допускает в этих случаях метрику Кэлера–Эйнштейна. Используя результаты об открытости для равномерной K-стабильности и K-полустабильности, отсюда можно заключить, что общая гладкая гиперповерхность степени $3\leq d\leq n+1$ внутри $\mathbb {CP} ^{n+1}$ является K-стабильным. В некоторых случаях действительно известно, что все степени $d$ гиперповерхности K-стабильны, как и все $d=n,n+1$ гладкие гиперповерхности в $\mathbb {CP} ^{n+1}$.

Помимо изучения конкретных многообразий Фано, в некоторых случаях K-модули могут быть явно описаны в более высоких размерностях. Например, когда K-модули допускают «очевидную» интерпретацию GIT, алгебраические инструменты бета- или дельта-инвариантов могут использоваться для проверки того, что стабильность GIT эквивалентна K-стабильности для этой конкретной проблемы. Например, Лю показал, что для кубических четырехкратных гиперповерхностей в $\mathbb {CP} ^{5}$, пространство модулей GIT (возможно, сингулярных) кубических четверок изоморфно пространству K-модулей, и, таким образом, можно получить явное описание K-стабильных, K-полистабильных и K-полустабильных кубических четверок в терминах их устойчивости GIT. и структура сингулярности. В частности, каждая гладкая кубическая четверка K-стабильна.