Каноническая особенность

В математике канонические особенности появляются как особенности канонической модели проективного многообразия , а терминальные особенности — это частные случаи, которые появляются как особенности минимальных моделей . Они были представлены Ридом (1980) . Терминальные особенности важны в программе минимальных моделей , поскольку гладкие минимальные модели не всегда существуют, и поэтому необходимо допускать определенные особенности, а именно терминальные особенности.

Определение

Предположим, что Y — нормальное многообразие такое, что его канонический класс K _Y является Q -Картье, и пусть f : X → Y — разрешение особенностей Y . Затем

\displaystyle K_{X}=f^{*}(K_{Y})+\sum _{i}a_{i}E_{i}

где сумма ведется по неприводимым исключительным делителям, а ai _— рациональные числа, называемые неточностями .

Тогда особенности Y называются:

терминал, если a _i > 0 для всех i

канонический , если a _i ≥ 0 для всех i

лог-терминал, если a _i > −1 для всех i

лог-канонический, если a _i ≥ −1 для всех i .

Характеристики

Особенности проективного многообразия V каноничны, если многообразие нормально , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V и V имеет те же плюрироды , что и любое разрешение его особенностей. . V имеет канонические особенности тогда и только тогда, когда это относительная каноническая модель .

Особенности проективного многообразия V терминальны, если многообразие нормально , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V и V является обратным образом любого сечения V ^м компоненты коразмерности 1 исключительного локуса разрешения исчезает вдоль любой его особенностей.

Классификация по малым размерам

Двумерные терминальные особенности гладкие.Если многообразие имеет терминальные особенности, то его особые точки имеют коразмерность не ниже 3, и, в частности, в размерностях 1 и 2 все терминальные особенности гладкие. В трех измерениях они изолированы и классифицированы Мори (1985) .

Двумерные канонические особенности совпадают с особенностями Дю Валя и аналитически изоморфны факторам.С ² конечными подгруппами SL ₂ ( C ).

Двумерные логтерминальные особенности аналитически изоморфны факторамС ² конечными подгруппами группы GL ₂ ( C ).

Двумерные лог-канонические особенности были классифицированы Каваматой (1988) .

Пары

В более общем смысле можно определить эти понятия для пары $(X,\Delta )$ где $\Delta$ представляет собой формальную линейную комбинацию простых делителей с рациональными коэффициентами такую, что $K_{X}+\Delta$ является $\mathbb {Q}$ -Картье. Пара называется

терминал, если Discrep $(X,\Delta )>0$
канонический, если Discrep $(X,\Delta )\geq 0$
klt (терминал журнала Kawamata), если Discrep $(X,\Delta )>-1$ и $\lfloor \Delta \rfloor \leq 0$
plt (чисто журнальный терминал), если Discrep $(X,\Delta )>-1$
lc (канонический журнал), если Discrep $(X,\Delta )\geq -1$ .

Ссылки

Коллар, Янош (1989), «Минимальные модели алгебраических тройных многообразий: программа Мори» , Asterisque (177): 303–326, ISSN 0303-1179 , MR 1040578
Кавамата, Юдзиро (1988), «Крепантовое разрушение трехмерных канонических особенностей и его применение к вырождениям поверхностей», Ann. математики. , 2, 127 (1): 93–163, doi : 10.2307/1971417 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971417 , MR 0924674
Мори, Сигэфуми (1985), «О трехмерных терминальных особенностях» , Nagoya Mathematical Journal , 98 : 43–66, doi : 10.1017/s0027763000021358 , ISSN 0027-7630 , MR 0792770
Рид, Майлз (1980), «Канонические тройки», Journées de Géografie Algébrique d'Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry, Angers, 1979 , Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, стр. 273–310, МР 0605348
Рид, Майлз (1987), «Путеводитель по каноническим особенностям для молодежи», Алгебраическая геометрия, Боудуэн, 1985 (Брансуик, Мэн, 1985) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 46, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 345–414, MR 0927963.