Торическая разновидность

В алгебраической геометрии торическое многообразие или вложение тора — это алгебраическое многообразие, содержащее алгебраический тор как открытое плотное подмножество , такое, что действие тора на себя распространяется на все многообразие. Некоторые авторы также требуют, чтобы это было нормально . Торические многообразия образуют важный и богатый класс примеров алгебраической геометрии, которые часто служат полигоном для проверки теорем. Геометрия торического многообразия полностью определяется комбинаторикой связанного с ним веера, что часто делает вычисления гораздо более удобными. Для некоторого специального, но все же достаточно общего класса торических многообразий эта информация также закодирована в многограннике, что создает мощную связь предмета с выпуклой геометрией. Знакомыми примерами торических многообразий являются аффинное пространство , проективные пространства, произведения проективных пространств и расслоения над проективным пространством .

Торические разновидности торов

Первоначальной мотивацией изучения торических многообразий было изучение вложений торов. Для алгебраического тора T группа характеров Hom( T , C ^х ) образует решетку. Учитывая набор точек A , подмножество этой решетки, каждая точка определяет отображение в C, и, таким образом, коллекция определяет отображение в C. ^|А| . Взяв замыкание Зарисского образа такого отображения, можно получить аффинное многообразие. Если совокупность точек решетки A порождает решетку характеров, то это многообразие является вложением тора. Аналогичным образом можно создать параметризованное проективное торическое многообразие, взяв проективное замыкание приведенной выше карты и рассматривая ее как карту в аффинном участке проективного пространства.

Учитывая проективное торическое многообразие, заметим, что мы можем исследовать его геометрию с помощью однопараметрических подгрупп. Каждая однопараметрическая подгруппа, определяемая точкой решетки, двойственной решетке характеров, представляет собой проколотую кривую внутри проективного торического многообразия. Поскольку многообразие компактно, эта проколотая кривая имеет единственную предельную точку. Таким образом, разбивая решетку однопараметрических подгрупп по предельным точкам проколотых кривых, мы получаем веер решетки — набор многогранных рациональных конусов. Конусы высшей размерности точно соответствуют неподвижным точкам тора, пределам этих проколотых кривых.

Торическая разновидность веера

Предположим, что N конечного ранга — свободная абелева группа . Сильно выпуклый рациональный многогранный конус в N — это выпуклый конус (вещественного векторного пространства N ) с вершиной в начале координат, порожденный конечным числом векторов из N , который не содержит прямых, проходящих через начало координат. Для краткости их будем называть «конусами».

Для каждого конуса σ его аффинное торическое многообразие U _σ является спектром алгебры моноидов двойственного конуса .

Веер . — это совокупность конусов, замкнутых относительно пересечений и граней

Торическое многообразие веера задается путем склеивания аффинных торических многообразий его конусов путем отождествления U _σ ​​с открытым подмногообразием U _τ, если σ является гранью τ. И наоборот, каждому вееру сильно выпуклых рациональных конусов соответствует торическое многообразие.

Веер, связанный с торическим многообразием, объединяет некоторые важные данные о многообразии. Например, многообразие является гладким если каждый конус его веера может быть порожден подмножеством базиса свободной абелевой группы N. ,

Морфизмы торических многообразий

Предположим, что ∆1 _∆2 — _вееры решетках N1 _и и N2 _в . Если f — линейное отображение из N ₁ в N ₂ такое, что образ каждого конуса Δ ₁ содержится в конусе Δ ₂ , то f индуцирует морфизм f _* между соответствующими торическими многообразиями. Это отображение f _* является собственным тогда и только тогда, когда прообраз |Δ ₂ | при отображении f есть |Δ ₁ |, где |Δ| — основное пространство веера ∆, заданное объединением его конусов.

Разрешение особенностей

Торическое многообразие называется неособым, если его конусы максимальной размерности порождены базисом решетки.Это означает, что каждое торическое многообразие имеет разрешение особенностей, заданное другим торическим многообразием, которое можно построить путем разделения максимальных конусов на конусы неособых торических многообразий.

Торическое многообразие выпуклого многогранника

Веер рационального выпуклого многогранника в N состоит из конусов над его собственными гранями. Торическое многообразие многогранника есть торическое многообразие его веера. Вариант этой конструкции состоит в том, чтобы взять рациональный многогранник в двойственном к N торическом многообразии его полярного множества в N .

Торическое многообразие отображает многогранник в двойственном к N многограннику , слои которого являются топологическими торами. Например, комплексная проективная плоскость CP ² может быть представлен тремя комплексными координатами, удовлетворяющими

$|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!$

где сумма была выбрана для учета части реального масштабирования проективного отображения, а координаты, кроме того, должны быть идентифицированы с помощью следующего U (1) действия :

$(z_{1},z_{2},z_{3})\approx e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!$

Подход торической геометрии состоит в том, чтобы написать

$(x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\!$

Координаты $x,y,z$ неотрицательны и параметризуют треугольник, потому что

$x+y+z=1;\,\!$

то есть,

$\quad z=1-x-y.\,\!$

Треугольник является торическим основанием комплексной проективной плоскости. Типовой слой представляет собой двухтор, параметризованный фазами $z_{1},z_{2}$; фаза $z_{3}$ могут быть выбраны реальными и позитивными $U(1)$ симметрия.

Однако на границе треугольника, т. е. в точке, двухтор вырождается в три разные окружности. $x=0$ или $y=0$ или $z=0$ потому что фаза $z_{1},z_{2},z_{3}$ соответственно становится несущественным.

Точная ориентация кругов внутри тора обычно изображается наклоном интервалов линий (в данном случае сторон треугольника).

Связь с зеркальной симметрией

Идея торических многообразий полезна для зеркальной симметрии , поскольку интерпретация некоторых данных веера как данных многогранника приводит к комбинаторному построению зеркальных многообразий.

Ссылки

• Кокс, Дэвид (2003), «Что такое торическое многообразие?» , Темы по алгебраической геометрии и геометрическому моделированию , Контемп. Матем., вып. 334, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 203–223, МР   2039974.
• Кокс, Дэвид А.; Литтл, Джон Б.; Шенк, Хэл , торические разновидности
• Danilov, V. I. (1978), "The geometry of toric varieties", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 33 (2): 85–134, doi : 10.1070/RM1978v033n02ABEH002305 , ISSN  0042-1316 , MR  0495499
• Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-00049-7
• Кемпф, Г.; Кнудсен, Финн Фэй; Мамфорд, Дэвид ; Сен-Дона, Б. (1973), Тороидальные вложения. I , Конспект лекций по математике, вып. 339, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0070318 , ISBN.  978-3-540-06432-9 , МР   0335518
• Миллер, Эзра (2008), «Что такое… торическое многообразие?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (5): 586–587, ISSN   0002-9920 , MR   2404030
• Ода, Тадао (1988), Выпуклые тела и алгебраическая геометрия , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], том. 15, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-17600-8 , МР   0922894

Внешние ссылки

• Домашняя страница Д. А. Кокса с несколькими лекциями о торических многообразиях.

См. также

• Лемма Гордана
• Торический идеал
• Торический стек (примерно это получается заменой шага взятия частного GIT на стек частных )
• Тороидальное вложение