Комбинаторная зеркальная симметрия

Чисто комбинаторный подход к зеркальной симметрии был предложен Виктором Батыревым с использованием полярной двойственности для $d$ -мерные выпуклые многогранники. ^[1] Наиболее известные примеры полярной двойственности представляют собой Платоновы тела : например, куб двойственен октаэдру , додекаэдр двойственен икосаэдру . Существует естественная биекция между $k$ -мерные грани $d$ -мерный выпуклый многогранник $P$ и $(d-k-1)$ -мерные грани двойственного многогранника $P^{*}$ и у одного есть $(P^{*})^{*}=P$ . В комбинаторном подходе Батырева к зеркальной симметрии полярная двойственность применяется к особым $d$ -мерные выпуклые решетчатые многогранники , называемые рефлексивными многогранниками . ^[2]

Его наблюдали Виктор Батырев и Дуко ван Стратен. ^[3] что метод Филиппа Канделаса и др. ^[4] для вычисления количества рациональных кривых на трехмерных многообразиях Калаби–Яу квинтики можно применить к произвольным полным пересечениям Калаби–Яу с использованием обобщенного метода $A$ -гипергеометрические функции, введенные Израилем Гельфандом , Михаилом Капрановым и Андреем Зелевинским. ^[5] (см. также доклад Александра Варченко ^[6]), где $A$ - это множество точек решетки рефлексивного многогранника $P$ .

Комбинаторная зеркальная двойственность для гиперповерхностей Калаби–Яу в торических многообразиях была обобщена Львом Борисовым. ^[7] в случае полных пересечений Калаби–Яу в торических многообразиях Фано Горенштейна . Используя понятия двойственного конуса и полярного конуса, можно рассматривать полярную двойственность для рефлексивных многогранников как частный случай двойственности для выпуклых конусов Горенштейна. ^[8] и о двойственности многогранников Горенштейна. ^[9]^[10]

Для любого фиксированного натурального числа $d$ существует только конечное число $N(d)$ из $d$ -мерные рефлексивные многогранники с точностью до $GL(d,\mathbb {Z} )$ -изоморфизм. Число $N(d)$ известен только по $d\leq 4$ : $N(1)=1$ , $N(2)=16$ , $N(3)=4319$ , $N(4)=473800776.$ Комбинаторная классификация $d$ -мерные рефлексивные симплексы с точностью до $GL(d,\mathbb {Z} )$ -изоморфизм тесно связан с перечислением всех решений $(k_{0},k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {N} ^{d+1}$ диофантового уравнения ${\frac {1}{k_{0}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{d}}}=1$ . Классификация 4-мерных рефлексивных многогранников с точностью до $GL(4,\mathbb {Z} )$ -изоморфизм важен для построения многих топологически различных 3-мерных многообразий Калаби–Яу с использованием гиперповерхностей в 4-мерных торических многообразиях Горенштейна , которые являются многообразиями Фано . Полный список трехмерных и четырехмерных рефлексивных многогранников был получен с помощью физики Максимилиан Кройцер и Харальд Скарке с помощью специального программного обеспечения в Polymake . ^[11]^[12]^[13]^[14]

Математическое объяснение комбинаторной зеркальной симметрии было получено Львом Борисовым с помощью алгебр вершинных операторов, которые являются алгебраическими аналогами алгебры вершинных операторов. конформные теории поля . ^[15]

См. также

Ссылки

^ Батырев, В. (1994). «Двойные многогранники и зеркальная симметрия гиперповерхностей Калаби – Яу в торических многообразиях». Журнал алгебраической геометрии : 493–535.
^ Нилл, Б. «Рефлексивные многогранники» (PDF) .
^ Батырев В.; ван Стратен, Д. (1995). «Обобщенные гипергеометрические функции и рациональные кривые на полных пересечениях Калаби – Яу в торических многообразиях». Комм. Математика. Физ . 168 (3): 493–533. arXiv : alg-geom/9307010 . Бибкод : 1995CMaPh.168..493B . дои : 10.1007/BF02101841 . S2CID 16401756 .
^ Канделас, П.; де ла Осса, X.; Грин, П.; Паркс, Л. (1991). «Пара многообразий Калаби – Яу как точно разрешимая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 .
^ И. Гельфанд, М. Капранов, С. Зелевинский (1989), "Гипергеометрические функции и торические многообразия", Функц. Анальный. Прил. 23, нет. 2, 94–10.
^ А. Варченко (1990), "Многомерные гипергеометрические функции в конформной теории поля, алгебраической K-теории, алгебраической геометрии", Тр. ИКМ-90, 281–300.
^ Л. Борисов (1994), «К зеркальной симметрии для полных пересечений Калаби – Яу в торических многообразиях Фано Горенштейна», arXiv : alg-geom/9310001
^ Батырев В.; Борисов, Л. (1997). «Двойственные конусы и зеркальная симметрия для обобщенных многообразий Калаби – Яу». Зеркальная симметрия, II : 71–86.
^ Батырев В.; Нилл, Б. (2008). «Комбинаторные аспекты зеркальной симметрии». Современная математика . 452 : 35–66. дои : 10.1090/conm/452/08770 . ISBN 9780821841730 . S2CID 6817890 .
^ Кройцер, М. (2008). «Комбинаторика и зеркальная симметрия: итоги и перспективы» (PDF) .
^ М. Кройцер, Х. Скарке (1997), «О классификации рефлексивных многогранников», Comm. Математика. Физ., 185, 495–508.
^ М. Кройцер, Х. Скарке (1998) "Классификация рефлексивных многогранников в трех измерениях», Advances Theor. Math. Phys., 2, 847–864.
^ М. Кройцер, Х. Скарке (2002), «Полная классификация рефлексивных многогранников в четырех измерениях», Advances Theor. Математика. Физ., 4, 1209–1230.
^ М. Кройцер, Х. Скарке, данные Калаби-Яу, http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/
^ Л. Борисов (2001), «Вершинные алгебры и зеркальная симметрия», Comm. Математика. Физ., 215, вып. 3, 517–557.

[1] Батырев, В. (1994). «Двойные многогранники и зеркальная симметрия гиперповерхностей Калаби – Яу в торических многообразиях». Журнал алгебраической геометрии : 493–535.

[2] Нилл, Б. «Рефлексивные многогранники» (PDF) .

[3] Батырев В.; ван Стратен, Д. (1995). «Обобщенные гипергеометрические функции и рациональные кривые на полных пересечениях Калаби – Яу в торических многообразиях». Комм. Математика. Физ . 168 (3): 493–533. arXiv : alg-geom/9307010 . Бибкод : 1995CMaPh.168..493B . дои : 10.1007/BF02101841 . S2CID 16401756 .

[4] Канделас, П.; де ла Осса, X.; Грин, П.; Паркс, Л. (1991). «Пара многообразий Калаби – Яу как точно разрешимая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 .

[5] И. Гельфанд, М. Капранов, С. Зелевинский (1989), "Гипергеометрические функции и торические многообразия", Функц. Анальный. Прил. 23, нет. 2, 94–10.

[6] А. Варченко (1990), "Многомерные гипергеометрические функции в конформной теории поля, алгебраической K-теории, алгебраической геометрии", Тр. ИКМ-90, 281–300.

[7] Л. Борисов (1994), «К зеркальной симметрии для полных пересечений Калаби – Яу в торических многообразиях Фано Горенштейна», arXiv : alg-geom/9310001

[8] Батырев В.; Борисов, Л. (1997). «Двойственные конусы и зеркальная симметрия для обобщенных многообразий Калаби – Яу». Зеркальная симметрия, II : 71–86.

[9] Батырев В.; Нилл, Б. (2008). «Комбинаторные аспекты зеркальной симметрии». Современная математика . 452 : 35–66. дои : 10.1090/conm/452/08770 . ISBN 9780821841730 . S2CID 6817890 .

[10] Кройцер, М. (2008). «Комбинаторика и зеркальная симметрия: итоги и перспективы» (PDF) .

[11] М. Кройцер, Х. Скарке (1997), «О классификации рефлексивных многогранников», Comm. Математика. Физ., 185, 495–508.

[12] М. Кройцер, Х. Скарке (1998) "Классификация рефлексивных многогранников в трех измерениях», Advances Theor. Math. Phys., 2, 847–864.

[13] М. Кройцер, Х. Скарке (2002), «Полная классификация рефлексивных многогранников в четырех измерениях», Advances Theor. Математика. Физ., 4, 1209–1230.

[14] М. Кройцер, Х. Скарке, данные Калаби-Яу, http://hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/CY/

[15] Л. Борисов (2001), «Вершинные алгебры и зеркальная симметрия», Comm. Математика. Физ., 215, вып. 3, 517–557.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]