идеальный одночлен

В абстрактной алгебре мономиальный идеал — это идеал, порождённый мономами в кольце многомерных многочленов над полем .

Торический идеал — это идеал, порожденный разностью мономов (при условии, что идеал прост ). Аффинное или проективное алгебраическое многообразие, определяемое торическим идеалом или однородным торическим идеалом, является аффинным или проективным торическим многообразием , возможно, ненормальным .

Определения и свойства

Позволять $\mathbb {K}$ быть полем и $R=\mathbb {K} [x]$ — кольцо полиномов над $\mathbb {K}$ с n неопределенным $x=x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}$.

Моном ​ в $R$ это продукт $x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$ для n -кортежа $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ неотрицательных целых чисел .

Следующие три условия эквивалентны для идеала $I\subseteq R$:

1. $I$ порождается мономами,
2. Если ${\textstyle f=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }x^{\alpha }\in I}$, затем $x^{\alpha }\in I$, при условии, что $c_{\alpha }$ ненулевое значение.
3. $I$ является ли тор фиксированным , т. е. заданным $(c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{n})\in (\mathbb {K} ^{*})^{n}$, затем $I$ фиксируется под действием $f(x_{i})=c_{i}x_{i}$ для всех $i$.

Мы говорим, что $I\subseteq \mathbb {K} [x]$ является мономиальным идеалом , если он удовлетворяет любому из этих эквивалентных условий.

Учитывая мономиальный идеал $I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})$, $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ находится в $I$ тогда и только тогда, когда каждый мономиальный идеальный терм $f_{i}$ из $f$ кратно единице $m_{j}$.

Доказательство: Предполагать $I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})$ и это $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ находится в $I$. Затем $f=f_{1}m_{1}+f_{2}m_{2}+\dotsm +f_{k}m_{k}$, для некоторых $f_{i}\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$.

Для всех $1\leqslant i\leqslant k$, мы можем выразить каждое $f_{i}$ как сумму одночленов, так что $f$ можно записать как сумму кратных $m_{i}$. Следовательно, $f$ будет суммой кратных одночленов хотя бы для одного из $m_{i}$.

Обратно , пусть $I=(m_{1},m_{2},\dotsc ,m_{k})$ и пусть каждый одночлен в $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ быть кратным одному из $m_{i}$ в $I$. Тогда каждый одночлен в $I$ можно разложить по каждому моному $f$. Следовательно $f$ имеет форму $f=c_{1}m_{1}+c_{2}m_{2}+\dotsm +c_{k}m_{k}$ для некоторых $c_{i}\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$, как результат $f\in I$.

Следующее иллюстрирует пример мономиальных и полиномиальных идеалов.

Позволять $I=(xyz,y^{2})$ тогда полином $x^{2}yz+3xy^{2}$ находится в I , поскольку каждый терм кратен элементу в J , т. е. их можно переписать как $x^{2}yz=x(xyz)$ и $3xy^{2}=3x(y^{2}),$ оба в я . Однако, если $J=(xz^{2},y^{2})$, то этот полином $x^{2}yz+3xy^{2}$ не находится в J не кратны элементам в J. , поскольку его члены

Мономиальные идеалы и диаграммы Юнга

Двумерные мономиальные идеалы можно интерпретировать как диаграммы Юнга .

Позволять $I$ быть мономиальным идеалом в $I\subset k[x,y],$ где $k$ это поле . Идеал $I$ имеет уникальный минимальный порождающий набор $I$ формы $\{x^{a_{1}}y^{b_{1}},x^{a_{2}}y^{b_{2}},\ldots ,x^{a_{k}}y^{b_{k}}\}$, где $a_{1}>a_{2}>\dotsm >a_{k}\geq 0$ и $b_{k}>\dotsm >b_{2}>b_{1}\geq 0$. Мономы в $I$ это одночлены $x^{a}y^{b}$ такой, что существует $i$ такой $a_{i}\leq a$ и $b_{i}\leq b.$ Если моном $x^{a}y^{b}$ представлена ​​точкой $(a,b)$ на плоскости фигура, образованная мономами из $I$ называют лестницей часто $I,$ из-за его формы. На этом рисунке минимальные генераторы образуют внутренние углы диаграммы Юнга.

Мономы, которых нет в $I$ под лестницей и образуют векторного пространства базис факторкольца лежат $k[x,y]/I$.

Например, рассмотрим мономиальный идеал $I=(x^{3},x^{2}y,y^{3})\subset k[x,y].$ Набор точек сетки $S={\{(3,0),(2,1),(0,3)}\}$ соответствует минимальным мономиальным генераторам $x^{3}y^{0},x^{2}y^{1},x^{0}y^{3}.$ Тогда, как видно из рисунка, розовая диаграмма Юнга состоит из мономов, не входящих в $I$. Точки во внутренних углах диаграммы Юнга позволяют определить минимальные мономы $x^{0}y^{3},x^{2}y^{1},x^{3}y^{0}$ в $I$ как показано в зеленых прямоугольниках. Следовательно, $I=(y^{3},x^{2}y,x^{3})$.

Диаграмма Юнга и ее связь с мономиальным идеалом.

В общем, любому набору точек сетки мы можем связать диаграмму Юнга, так что мономиальный идеал строится путем определения внутренних углов, составляющих лестничную диаграмму; аналогично, учитывая мономиальный идеал, мы можем составить диаграмму Юнга, глядя на $(a_{i},b_{j})$ и представляя их как внутренние углы диаграммы Юнга. Координаты внутренних углов будут представлять степени минимальных мономов в $I$. Таким образом, мономиальные идеалы можно описать диаграммами Юнга разбиений.

Более того, $(\mathbb {C} ^{*})^{2}$- действие на съемочной площадке $I\subset \mathbb {C} [x,y]$ такой, что $\dim _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [x,y]/I=n$ как векторное пространство над $\mathbb {C}$ имеет неподвижные точки, соответствующие только мономиальным идеалам, которые соответствуют целочисленным разбиениям размера n , которые идентифицируются диаграммами Юнга с n ящиками.

Мономиальные порядки и базисы Грёбнера

Мономиальный порядок является хорошим упорядочением. $\geq$ на множестве мономов таких, что если $a,m_{1},m_{2}$ являются мономами, то $am_{1}\geq am_{2}$.

В соответствии с порядком мономиальности мы можем сформулировать следующие определения многочлена от $\mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$.

Определение

1. Рассмотрим идеал $I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$и фиксированный мономиальный порядок. Главный член ненулевого многочлена $f\in \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$, обозначенный $LT(f)$ – мономиальный член максимального порядка в $f$ и ведущий член $f=0$ является $0$.
2. Идеал ведущих термов , обозначаемый $LT(I)$, — это идеал, порожденный ведущими членами каждого элемента идеала, то есть $LT(I)=(LT(f)\mid f\in I)$.
3. Основа Грёбнера идеала $I\subset \mathbb {K} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$ представляет собой конечный набор образующих ${\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}$ для $I$ чьи ведущие термины порождают идеал всех ведущих термов в $I$, то есть, $I=(g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s})$ и $LT(I)=(LT(g_{1}),LT(g_{2}),\dotsc ,LT(g_{s}))$.

Обратите внимание, что $LT(I)$ вообще зависит от используемого порядка; например, если мы выберем лексикографический порядок на $\mathbb {R} [x,y]$ при условии x > y , тогда $LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=2x^{3}y$, но если мы возьмем y > x , то $LT(2x^{3}y+9xy^{5}+19)=9xy^{5}$.

Кроме того, мономы присутствуют на базисе Грёбнера и определяют алгоритм деления многочленов на несколько неопределенных.

Заметим, что для мономиального идеала $I=(g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s})\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$, конечное множество образующих ${\{g_{1},g_{2},\dotsc ,g_{s}}\}$ является базисом Грёбнера для $I$. Чтобы убедиться в этом, заметим, что любой полином $f\in I$ может быть выражено как $f=a_{1}g_{1}+a_{2}g_{2}+\dotsm +a_{s}g_{s}$ для $a_{i}\in \mathbb {F} [x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$. Тогда главный член $f$ является кратным для некоторых $g_{i}$. Как результат, $LT(I)$ генерируется $g_{i}$ так же.

См. также

• Кольцо Стэнли-Рейснера
• Алгебра Ходжа

Ссылки

• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005), Комбинаторная коммутативная алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 227, Нью-Йорк : Springer-Verlag , ISBN.  0-387-22356-8
• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (третье изд.), Нью-Йорк : John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-43334-7

Дальнейшее чтение

• Кокс, Дэвид . «Лекции по торическим многообразиям» (PDF) . Лекция 3. §4 и §5.
• Штурмфельс, Бернд (1996). Базисы Грёбнера и выпуклые многогранники . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество .
• Тейлор, Дайана Кан (1966). Идеалы, порожденные мономами в R-последовательности (кандидатская диссертация). Чикагский университет. МР   2611561 . ПроКвест   302227382 .
• Тейсье, Бернар (2004). Мономиальные идеалы, биномиальные идеалы, полиномиальные идеалы (PDF) .