Базис (универсальная алгебра)

В универсальной алгебре базис — это структура внутри некоторых (универсальных) алгебр , которые называются свободными алгебрами . Он генерирует все элементы алгебры из своих собственных элементов с помощью алгебраических операций независимым образом. Он также представляет эндоморфизмы алгебры посредством определенных индексаций элементов алгебры, которые могут соответствовать обычным матрицам, когда свободная алгебра является векторным пространством .

Определения

Базис ( или система отсчёта ) (универсальной) алгебры — это функция $b$ который принимает некоторые элементы алгебры в качестве значений $b(i)$ и удовлетворяет любому из следующих двух эквивалентных условий. Здесь набор всего $b(i)$ называется базисным набором , тогда как некоторые авторы называют его «базисом». ^[1]^[2] Набор $I$ своих аргументов $i$ называется набором размерностей . Любая функция со всеми ее аргументами в целом $I$ , который принимает элементы алгебры в качестве значений (даже вне базисного набора), будет обозначаться через $m$ . Затем, $b$ будет $m$ .

Внешнее состояние

Это условие будет определять базы по множеству $L$ принадлежащий $I$ -арные элементарные функции алгебры , являющиеся некоторыми функциями $\ell$ которые занимают каждый $m$ в качестве аргумента, чтобы получить некоторый элемент алгебры в качестве значения $\ell (m).$ Фактически они состоят из всех проекций $p_{i}$ с $i$ в $I,$ какие функции такие, что $p_{i}(m)=m(i)$ для каждого $m$ и всех функций, возникающих из них путем повторения «множественных композиций» с операциями алгебры.

(Когда алгебраическая операция имеет в качестве аргумента один алгебраический элемент, значением такой составной функции является то значение, которое операция берет из значения одного ранее вычисленного элемента. $I$ -арная функция как в композиции . Если это не так, такие композиции требуют такого количества (или ни одного для нулевой операции) $I$ -арные функции вычисляются перед алгебраической операцией: по одной для каждого возможного алгебраического элемента в этом аргументе. В случае $I$ и числа элементов в аргументах, или «арность», операций конечны, это финитная кратная композиция .)

Тогда по внешнему условию базис $b$ должен сгенерировать алгебру (а именно, когда $\ell$ колеблется в целом $L$ , $\ell (b)$ получает каждый элемент алгебры) и должен быть независимым (а именно, когда любые два $I$ -арные элементарные функции совпадают при $b$ , они будут делать везде: $\ell '(b)=\ell ''(b)$ подразумевает $\ell '=\ell ''$ ). ^[3] Это то же самое, что требовать существования единственной функции $\chi$ который принимает каждый элемент алгебры в качестве аргумента, чтобы получить $I$ -арная элементарная функция как значение и удовлетворяет $\chi ({\ell (b)})=\ell$ для всех $\ell$ в $L$ .

Внутреннее состояние

определять базисы множеством E эндоморфизмов Это другое условие будет алгебры, которые являются гомоморфизмами алгебры в себя, через ее аналитическое представление. $\varrho$ по основе. Последняя представляет собой функцию, которая принимает каждый эндоморфизм e в качестве аргумента, чтобы получить функцию m в качестве значения: $\varrho (e)=m$ , где это m является «выборкой» значений e в b , а именно $m(i)=[\varrho (e)]_{i}=e(b(i))$ для всех i в наборе измерений.

Тогда по внутреннему условию b является базисом, когда $\varrho$ является биекцией из E на множество всех m , а именно для каждого m существует один и только один эндоморфизм e такой, что $m=\varrho (e)$ . Это то же самое, что требовать существования функции расширения , а именно функции $\eta$ который принимает каждую (выборку) m в качестве аргумента для расширения ее до эндоморфизма $\eta (m)$ такой, что $\varrho (\eta (m))=m$ . ^[4]

Связь между этими двумя условиями задается тождеством $[\chi (a)]_{m}=[\eta (m)]_{a}$ , что справедливо для всех m и всех элементов алгебры a . ^[5] Некоторые другие условия, характеризующие базисы универсальных алгебр, опущены.

Как покажет следующий пример, существующие базисы являются обобщением базисов векторных пространств. Тогда название «система отсчета» вполне может заменить «базис». Однако, в отличие от случая векторного пространства, универсальная алгебра может не иметь базисов, и, если они у нее есть, их множества размерностей могут иметь разные конечные положительные мощности. ^[6]

Примеры

Векторные пространственные алгебры

В универсальной алгебре, соответствующей векторному пространству конечной размерности, базисы по существу являются упорядоченными базисами этого векторного пространства. Тем не менее, это произойдет после некоторых подробностей.

Например, когда векторное пространство конечномерно $I=\{0,1,\ldots ,n-1\}$ с $n>0$ , функции $\ell$ в множестве L внешнего условия именно те, которые обеспечивают свойства связности и линейной независимости с линейными комбинациями $\ell (b)=c_{0}b_{0}+c_{1}b_{1}+\ldots c_{n-1}b_{n-1}$ и текущее свойство генератора становится охватывающим. Напротив, линейная независимость — это всего лишь пример существующей независимости, которая становится эквивалентной ей в таких векторных пространствах. (Кроме того, некоторые другие обобщения линейной независимости универсальных алгебр не предполагают текущую независимость.)

Функции m для внутреннего условия соответствуют квадратным массивам элементов поля (а именно, обычным квадратным матрицам векторного пространства), которые служат для построения эндоморфизмов векторных пространств (а именно, линейных отображений в себя). Тогда внутреннее условие требует свойства биекции эндоморфизмов также и на массивы. Фактически каждый столбец такого массива представляет собой вектор $m(i)$ как его n -кортеж координат относительно базиса b . Например, когда векторы представляют собой n -кортежи чисел из базового поля, а b — базис Кронекера , m — это такой массив, видимый столбцами , $\varrho$ является образцом такой линейной карты в опорных векторах и $\eta$ расширяет этот образец до этой карты, как показано ниже.

${}\qquad \left({\begin{array}{rrc}0&-1&2\\-2&3&1\\1&0&2\end{array}}\right)\quad {\begin{array}{c}{\stackrel {\eta }{\longmapsto }}\\{\stackrel {\varrho }{\longleftarrow \!\!{}^{{}_{\!{}_{\mathsf {l}}}}}}\end{array}}\quad \left\{{\begin{array}{rcrccr}x'_{0}&=&&-x_{1}&+&2x_{2}\\x'_{1}&=&-2x_{0}&+3x_{1}&+&x_{2}\\x'_{2}&=&x_{0}&&+&2x_{2}\end{array}}\right.$

Когда векторное пространство не является конечномерным, необходимы дальнейшие различия. В действительности, хотя функции $\ell$ формально имеют бесконечное количество векторов в каждом аргументе, линейные комбинации, которые они оценивают, никогда не требуют бесконечного количества дополнений. $c_{i}m(i)$ и каждый $\ell$ определяет конечное подмножество J из $I$ который содержит все необходимые i . Тогда каждое значение $\ell (m)$ равно $\ell '(m')$ , где $m'$ является ограничением m на J и $\ell '$ – J -арная элементарная функция, соответствующая $\ell$ . Когда $\ell '$ заменить $\ell$ , как линейная независимость, так и свойства охвата для бесконечных базисных наборов следуют из настоящего внешнего условия и наоборот.

Поэтому, что касается векторных пространств положительной размерности, единственное различие между нынешними базисами универсальных алгебр и упорядоченными базисами векторных пространств состоит в том, что здесь нет порядка на $I$ требуется. Тем не менее, это разрешено, если это служит какой-то цели.

Когда пространство нульмерно, его упорядоченная основа пуста. Тогда, будучи пустой функцией , это настоящий базис. Однако, поскольку это пространство содержит только нулевой вектор и его единственным эндоморфизмом является единица, любая функция b из любого множества $I$ (даже непустое), чтобы это одноэлементное пространство работало как существующая основа. Это не так уж и странно с точки зрения универсальной алгебры, где одноэлементные алгебры, называемые «тривиальными», обладают множеством других, казалось бы, странных свойств.

Слово моноид

Позволять $I=\{{\mathsf {a,b,c,}}\ldots \}$ быть «алфавитом», а именно (обычно конечным) набором объектов, называемых «буквами». Пусть W обозначает соответствующий набор слов или «строк», которые будут обозначаться как в строках , а именно, либо путем записи их букв последовательно, либо через $\epsilon$ в случае пустого слова ( формальная языковая запись). ^[7] Соответственно, сопоставление $vw$ будет обозначать объединение двух слов v и w , а именно слова, которое начинается с v и за которым следует w .

Конкатенация — это бинарная операция над W , которая вместе с пустым словом $\epsilon$ определяет свободный моноид , моноид слов на $I$ , которая является одной из простейших универсальных алгебр. Тогда внутреннее условие сразу же докажет, что одним из его оснований является функция b, образующая однобуквенное слово. ${i}$ каждой буквы ${\mathsf {i}}$ , $b({\mathsf {i}})=i$ .

(В зависимости от теоретико-множественной реализации последовательностей b может не быть тождественной функцией, а именно $i$ может не быть ${\mathsf {i}}$ , скорее объект типа $\{(\emptyset ,{\mathsf {i}})\}$ , а именно одноэлементная функция или пара вроде $(\emptyset ,{\mathsf {i}})$ или $({\mathsf {i}},\emptyset )$ . ^[7])

Фактически, в теории систем D0L (Роземберг и Саломаа, 1980) такие $m=\varrho (e)$ представляют собой таблицы «продукций» , которые такие системы используют для определения одновременных замен каждого $i$ одним словом $w=m({\mathsf {i}})$ в любом слове u в W : если $u={i}_{0}{i}_{1}\cdots {i}_{k}$ , затем $e(u)=m({\mathsf {i}}_{0})m({\mathsf {i}}_{1})\cdots m({\mathsf {i}}_{k})$ . Тогда b удовлетворяет внутреннему условию , поскольку функция $\varrho$ — это хорошо известная биекция, которая идентифицирует каждый эндоморфизм слова с любой такой таблицей. (Повторные применения такого эндоморфизма, начиная с данного «исходного» слова, способны моделировать многие процессы роста, где слова и конкатенация служат для построения довольно гетерогенных структур, как в L-системе , а не просто «последовательностей».)

Примечания

^ Гулд.
^ Гретцер 1968, стр.198.
^ Например, см. (Grätzer 1968, стр. 198).
^ Например, см . 0,4 и 0,5 (Риччи, 2007).
^ Например, см. 0,4 (E) (Ricci 2007).
^ Гретцер 1979.
^ Jump up to: ^а ^б Нотации формального языка используются в информатике и иногда противоречат теоретико-множественным определениям слов. См. Дж. Риччи, Замечание по нотации формального языка, SIGACT News, 17 (1972), 18–23.

Ссылки

Gould, V. Independence algebras , Algebra Universalis 33 (1995), 294–318.
Гретцер, Г. (1968). Универсальная алгебра , Компания Д. Ван Ностранда.
Грецер, Г. (1979). Универсальная алгебра 2-е 2-е изд., Springer Verlag. ISBN 0-387-90355-0 .
Риччи, Г. (2007). Поля уничтожения дилатаций , Int. Дж. Математика. Теория игр, Алгебра, 16 5/6, стр. 13–34.
Розенберг Г. и Саломаа А. (1980). Математическая теория L-систем , Academic Press, Нью-Йорк. ISBN 0-12-597140-0

[1] Гулд.

[2] Гретцер 1968, стр.198.

[3] Например, см. (Grätzer 1968, стр. 198).

[4] Например, см . 0,4 и 0,5 (Риччи, 2007).

[5] Например, см. 0,4 (E) (Ricci 2007).

[6] Гретцер 1979.

[warning-7] Jump up to: ^а ^б Нотации формального языка используются в информатике и иногда противоречат теоретико-множественным определениям слов. См. Дж. Риччи, Замечание по нотации формального языка, SIGACT News, 17 (1972), 18–23.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]