Клон (алгебра)
В универсальной алгебре клон — это набор C финитарных операций над множеством A такой, что
- C содержит все проекции π k н : А н → A , определяемый π k н ( Икс 1 , …, Икс п ) знак равно Икс k ,
- C замкнут относительно (конечной кратной) композиции (или «суперпозиции»): [1] если f , g 1 , …, g m являются членами C такие, что f является m -арным, а g j является n -арным для всех j , то n -арная операция h ( x 1 , …, x n ) : знак равно ж ( г 1 ( Икс 1 , …, Икс п ), …, г м ( Икс 1 , …, Икс п )) находится в C .
Вопрос о том, должны ли клоны содержать нулевые операции или нет, в литературе не рассматривается единообразно. Классический подход, подтвержденный стандартными монографиями [2] [3] [4] в теории клонов рассматриваются только клоны, содержащие как минимум унарные операции. Однако лишь с небольшими изменениями (связанными с пустым инвариантным отношением) большую часть обычной теории можно перенести на клоны, допускающие нулевые операции. [5] : 4–5 Более общая концепция [6] включает все клоны без нулевых операций как подклоны клона всех хотя бы унарных операций [5] : 5 и это соответствует обычаю разрешать нулевые термины и операции с нулевыми терминами в универсальной алгебре. Обычно публикации, изучающие клоны как абстрактные клоны, например, в теоретико-категориальном контексте алгебраических теорий Ловера, будут включать нулевые операции. [7] [8]
Для данной алгебры сигнатуры ) σ множество операций над ее носителем, определяемым σ - термом ( термин-функциями , является клоном. И наоборот, каждый клон можно реализовать как клон термальных функций в подходящей алгебре, просто взяв сам клон в качестве источника сигнатуры σ , так что алгебра будет иметь весь клон в качестве своей фундаментальной операции.
Если A и B — алгебры с одним и тем же носителем, так что каждая базовая функция A является термальной функцией в B и наоборот, то A и B имеют один и тот же клон. По этой причине современная универсальная алгебра часто рассматривает клоны как представление алгебр, абстрагированное от их сигнатуры.
В одноэлементном множестве имеется только один клон (их два, если рассматривать нулевые операции). Решетка клонов на двухэлементном множестве счетна, [9] [10] [3] : 39 и был полностью описан Эмилем Постом [11] [10] (см. решетку Поста , [3] : 37 который традиционно не показывает клоны с нулевыми операциями). Клоны на больших множествах не допускают простой классификации; существует континуум - множество клонов на конечном множестве размером не менее трех, [12] [3] : 39 и 2 2 Мистер (даже просто максимальный, [10] [3] : 39 т.е. предполные) клоны на бесконечном множестве мощности κ . [9] [3] : 39
Абстрактные клоны [ править ]
Филип Холл ввел понятие абстрактного клона . [13] Абстрактный клон отличается от конкретного клона тем, что множество A не задано.Формально абстрактный клон включает в себя
- набор C n для каждого натурального числа n ,
- элементы π k , n в C n для всех k ≤ n и
- семейство функций *: C m × ( C n ) м → C n для всех m и n
такой, что
- c *( π1 , n ,…, πn ) , n = c
- π k , м * ( c 1 , …, c м ) знак равно c k
- c * ( d 1 * ( e 1 , …, e n ), …, d m * ( e 1 , …, e n )) = ( c * ( d 1 , …, d m )) * ( e 1 , … и н ).
Любой конкретный клон определяет абстрактный клон очевидным образом.
Любая алгебраическая теория определяет абстрактный клон, где C n — множество термов от n переменных, π k , n — переменные, а ∗ — подстановка. Две теории определяют изоморфные клоны тогда и только тогда, когда соответствующие категории алгебр изоморфны. И наоборот, каждый абстрактный клон определяет алгебраическую теорию с n -арной операцией для каждого элемента C n . Это дает биективное соответствие между абстрактными клонами и алгебраическими теориями.
Каждый абстрактный клон C порождает теорию Ловера , в которой морфизмы m → n являются элементами ( C m ) н . Это порождает биективное соответствие между теориями Лоувера и абстрактными клонами.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Денеке, Клаус (2003). «Алгебры Менгера и клоны термов» . Восток-Западный математический журнал . 5 (2): 179. ISSN 1513-489X .
- ^ Пошель, Рейнхард; Калузнин, Лев А. (1979). Алгебры функций и отношений. Глава дискретной математики . Математические монографии (на немецком языке). Том 15. Берлин: Немецкое научное издательство VEB.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж Сендрей, Агнес (1986). Клоны в универсальной алгебре . Высший математический семинар. Полет. 99. Монреаль, КК: Presss de l’Université de Montréal. ISBN 978-2-7606-0770-5 .
- ^ Лау, Дитлинде (2006). Алгебры функций на конечных множествах. Базовый курс по многозначной логике и теории клонов . Монографии Спрингера по математике. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/3-540-36023-9 . ISBN 978-3-540-36022-3 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Бериш, Майк (2014). Пауэр, Джон; Вингфилд, Кай (ред.). «Клоны с нулевыми операциями» . Электронные заметки по теоретической информатике . 303 : 3–35. дои : 10.1016/j.entcs.2014.02.002 . ISSN 1571-0661 .
- ^ Маккензи, Ральф Н .; МакНалти, Джордж Ф.; Тейлор, Уолтер Ф. (1987). Алгебры, решетки, многообразия . Том. И. Монтерей, Калифорния: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. п. 143. ИСБН 978-0-534-07651-1 .
- ^ Трнкова, Вера ; Зихлер, Иржи (2009). «Все клоны являются клонами централизатора». Алгебра Универсалис . 61 (1): 77–95. CiteSeerX 10.1.1.525.167 . дои : 10.1007/s00012-009-0004-4 . ISSN 0002-5240 .
- ^ Трнкова, Вера ; Зихлер, Иржи (2008). «О клонах, определяемых их начальными сегментами» . Тетради по категориальной топологии и дифференциальной геометрии . 49 (3). ISSN 1245-530X .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Розенберг, Иво Г. (1974). «Некоторые максимальные замкнутые классы операций над бесконечными множествами». Математические Аннален . 212 (2). Берлин/Гейдельберг: Springer: 158. doi : 10.1007/BF01350783 . ISSN 0025-5831 . МР 0351964 . Збл 0281.08001 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Розенберг, Иво Г. (1976). «Множество максимальных замкнутых классов операций на бесконечном множестве A имеет мощность 2 2 |А| ". Архив математики . 27 (6). Базель: Springer (Birkhäuser): 562. : 10.1007 /BF01224718 . ISSN 0003-889X . MR 0429700. . Zbl 0345.02010 doi
- ^ Пост, Эмиль Леон (1941). Двузначные итерационные системы математической логики . Анналы математических исследований. Том. 5. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. VIII+122. МР 0004195 .
- ^ Юрий Иванович Янов (Jurij Ivanovič Janov); Альберт Абрамович Мучник (Aľbert Abramovič Mučnik) (1959). «О существовании к -значных замкнутых классов, не имейщих конечного базиса» О существовании k -значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса О существовании k -значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса. Доклады Академии наук СССР . 127 (1): 44–46. ISSN 0002-3264 . МР 0108458 . Збл 0100.01001 .
- ^ Кон, Пол Мориц (1981). Универсальная алгебра . Математика и ее приложения. Том. 6 (2-е изд.). Дордрехт-Бостон, Массачусетс: D. Reidel Publishing Co., с. 127. ИСБН 978-90-277-1254-7 .
Ссылки [ править ]
- Маккензи, Ральф Н .; МакНалти, Джордж Ф.; Тейлор, Уолтер Ф. (1987). Алгебры, решетки, многообразия . Том. И. Монтерей, Калифорния: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. ISBN 978-0-534-07651-1 .
- Ловер, Ф. Уильям (1963). Функториальная семантика алгебраических теорий (доктор философии). Колумбийский университет. Доступно онлайн на сайте «Перепечатки в теории и применении категорий».
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
