Неархимедова геометрия
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( февраль 2024 г. ) |
В математике . неархимедова геометрия [1] — это любая из множества форм геометрии , в которых аксиома Архимеда отвергается. Примером такой геометрии является плоскость Дена . Неархимедова геометрия может, как показывает пример, иметь свойства, существенно отличающиеся от евклидовой геометрии .
Этот термин можно использовать в двух смыслах: он относится к геометрии над полями , которые нарушают один из двух смыслов архимедова свойства (т.е. относительно порядка или величины).
над неархимедовым полем упорядоченным Геометрия
Первый смысл этого термина — геометрия над неархимедовым упорядоченным полем или его подмножеством. Вышеупомянутая плоскость Дена представляет собой самопроизведение конечной части некоторого неархимедова упорядоченного поля, основанного на поле рациональных функций . В этой геометрии имеются существенные отличия от евклидовой геометрии; в частности, существует бесконечно много параллелей прямой линии, проходящей через точку - поэтому постулат о параллельности не работает - но сумма углов треугольника по-прежнему остается прямым углом. [2]
Интуитивно понятно, что в таком пространстве точки на линии не могут быть описаны действительными числами или их подмножествами, и существуют отрезки «бесконечной» или «бесконечно малой» длины.
Геометрия над полем с неархимедовым значением [ править ]
Второй смысл этого термина — метрическая геометрия над неархимедовым значным полем . [3] или ультраметрическое пространство . В таком пространстве возникает еще больше противоречий с евклидовой геометрией. Например, все треугольники равнобедренные, а перекрывающиеся шарики гнездятся. Примером такого пространства являются p-адические числа .
Интуитивно понятно, что в таком пространстве расстояния не могут «складываться» или «накапливаться».
Ссылки [ править ]
- ^ Робин Хартшорн , Геометрия: Евклид и не только (2000), стр. 158.
- ^ Гильберт, Дэвид (1902), Основы геометрии (PDF) , The Open Court Publishing Co., Ла Саль, Иллинойс, MR 0116216
- ^ Конрад, Б. «Несколько подходов к неархимедовой геометрии. В p-адической геометрии (лекции Зимней школы в Аризоне 2007 г.). Серия лекций Университета AMS». амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд 41 (2008): 78.