Условие устойчивости Бриджленда

В математике , и особенно в алгебраической геометрии , условие устойчивости Бриджленда , определенное Томом Бриджлендом , представляет собой алгебро-геометрическое условие устойчивости, определенное на элементах триангулированной категории . Случай, представляющий оригинальный интерес и особую важность, — это случай, когда эта триангулированная категория является производной категорией когерентных пучков на многообразии Калаби–Яу , и эта ситуация имеет фундаментальные связи с теорией струн и изучением D-бран .

Такие условия устойчивости были введены в элементарной форме Майклом Дугласом под названием $\Pi$-стабильности и используется для изучения BPS B-бран в теории струн. Эта концепция была уточнена Бриджлендом, который категорически сформулировал эти условия устойчивости и начал их математическое исследование.

Определение

Определения в этом разделе представлены так же, как в оригинальной статье Бриджленда, для произвольных триангулированных категорий. Позволять ${\mathcal {D}}$ быть триангулированной категорией.

Нарезка триангулированных категорий

Нарезка ​ ${\mathcal {P}}$ из ${\mathcal {D}}$ представляет собой набор полных аддитивных подкатегорий ${\mathcal {P}}(\varphi )$ для каждого $\varphi \in \mathbb {R}$ такой, что

• ${\mathcal {P}}(\varphi )[1]={\mathcal {P}}(\varphi +1)$ для всех $\varphi$, где $[1]$ - функтор сдвига в триангулированной категории,
• если $\varphi _{1}>\varphi _{2}$ и $A\in {\mathcal {P}}(\varphi _{1})$ и $B\in {\mathcal {P}}(\varphi _{2})$, затем $\operatorname {Hom} (A,B)=0$, и
• для каждого объекта $E\in {\mathcal {D}}$ существует конечная последовательность действительных чисел $\varphi _{1}>\varphi _{2}>\cdots >\varphi _{n}$ и набор треугольников

с $A_{i}\in {\mathcal {P}}(\varphi _{i})$ для всех $i$.

Последнее свойство следует рассматривать как аксиоматическое навязывание существования фильтрации Хардера–Нарасимхана элементам категории ${\mathcal {D}}$.

Условия устойчивости

Условие устойчивости Бриджленда на триангулированной категории. ${\mathcal {D}}$ это пара $(Z,{\mathcal {P}})$ состоящий из нарезки ${\mathcal {P}}$ и групповой гомоморфизм $Z:K({\mathcal {D}})\to \mathbb {C}$, где $K({\mathcal {D}})$ это Гротендика группа ${\mathcal {D}}$, называемый центральным зарядом , удовлетворяющий

• если $0\neq E\in {\mathcal {P}}(\varphi )$ затем $Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi )$ для некоторого строго положительного действительного числа $m(E)\in \mathbb {R} _{>0}$.

Принято считать категорию ${\mathcal {D}}$ , существенно мала так что совокупность всех условий устойчивости на ${\mathcal {D}}$ образует набор $\operatorname {Stab} ({\mathcal {D}})$. В хороших обстоятельствах, например, когда ${\mathcal {D}}={\mathcal {D}}^{b}\operatorname {Coh} (X)$ - производная категория когерентных пучков на комплексном многообразии $X$, это множество фактически само имеет структуру комплексного многообразия.

Технические замечания по состоянию устойчивости

Бриджленд показывает, что данные условия устойчивости Бриджленда эквивалентны заданию ограниченной t-структуры. ${\mathcal {P}}(>0)$ по категории ${\mathcal {D}}$ и центральный заряд $Z:K({\mathcal {A}})\to \mathbb {C}$ на сердце ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}((0,1])$ этой t-структуры, которая удовлетворяет свойству Хардера – Нарасимхана, указанному выше.

Элемент $E\in {\mathcal {A}}$ является полустабильным (соответственно стабильным ) относительно условия устойчивости $(Z,{\mathcal {P}})$ если для каждой сюръективности $E\to F$ для $F\in {\mathcal {A}}$, у нас есть $\varphi (E)\leq ({\text{resp.}}<)\,\varphi (F)$ где $Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi (E))$ и аналогично для $F$.

Примеры

Из фильтрации Хардера – Нарасимхана.

Напомним фильтрацию Хардера–Нарасимхана для гладкой проективной кривой. $X$ подразумевает для любого когерентного пучка $E$ есть фильтрация

$0=E_{0}\subset E_{1}\subset \cdots \subset E_{n}=E$

такие, что факторы $E_{j}/E_{j-1}$ иметь уклон $\mu _{i}={\text{deg}}/{\text{rank}}$. Мы можем распространить эту фильтрацию на ограниченный комплекс пучков $E^{\bullet }$ рассматривая фильтрацию на пучках когомологий $E^{i}=H^{i}(E^{\bullet })[+i]$ и определение наклона $E_{j}^{i}=\mu _{i}+j$, задавая функцию

$\phi :K(X)\to \mathbb {R}$

за центральную плату.

Эллиптические кривые

Существует анализ Бриджленда для случая эллиптических кривых. Он находит есть эквивалент

${\text{Stab}}(X)/{\text{Aut}}(X)\cong {\text{GL}}^{+}(2,\mathbb {R} )/{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )$

где ${\text{Stab}}(X)$ – набор условий устойчивости и ${\text{Aut}}(X)$ – множество автоэквивалентностей производной категории $D^{b}(X)$.

Ссылки

Статьи

• Условия устойчивости на $A_{n}$ особенности
• Взаимодействие автоэквивалентностей, условий устойчивости и задач модулей.