Введение в математику общей теории относительности

Эта статья представляет собой нетехническое введение в предмет. Основную статью энциклопедии см. в разделе Математика общей теории относительности .

Математика общей теории относительности сложна. В теориях движения Ньютона длина объекта и скорость течения времени остаются постоянными, пока объект ускоряется , а это означает, что многие проблемы ньютоновской механики могут быть решены только с помощью алгебры . Однако в теории относительности длина объекта и скорость течения времени заметно изменяются по мере того, как скорость объекта приближается к скорости света , а это означает, что для расчета движения объекта требуется больше переменных и более сложная математика. В результате теория относительности требует использования таких понятий, как векторы , тензоры , псевдотензоры и криволинейные координаты .

Для введения, основанного на примере частиц, движущихся по круговым орбитам вокруг большой массы, нерелятивистская и релятивистская трактовки даны соответственно в « Ньютоновских мотивах общей теории относительности» и «Теоретической мотивации общей теории относительности» .

Векторы и тензоры

Основные статьи: Евклидов вектор и Тензор

Векторы

Иллюстрация типичного вектора

В математике , физике и технике ( евклидов вектор иногда называемый геометрическим или пространственный вектор , или — как здесь — просто вектор) — геометрический объект, имеющий как величину (или длину ), так и направление. Вектор — это то, что нужно, чтобы «перенести» точку А в точку Б ; Латинское слово вектор означает «тот, кто несет». Величина вектора — это расстояние между двумя точками, а направление — это направление смещения A до B. от Многие алгебраические операции над действительными числами , такие как сложение , вычитание , умножение и отрицание, имеют близкие аналоги для векторов, операции, которые подчиняются знакомым алгебраическим законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности .

Тензоры

Напряжение — это тензор второго порядка, который представляет собой реакцию материала на силу, приложенную под углом. Два направления тензора представляют собой «нормальную» (под прямым углом к ​​поверхности) силу и «сдвиговую» (параллельную поверхности) силу.

Тензор расширяет понятие вектора на дополнительные направления. Скаляр , то есть простое число без направления, будет отображаться на графике как точка, нульмерный объект. Вектор, имеющий величину и направление, будет отображаться на графике как линия, которая является одномерным объектом. Вектор является тензором первого порядка, поскольку он сохраняет одно направление. Тензор второго порядка имеет две величины и два направления и будет выглядеть на графике как две линии, похожие на стрелки часов. «Порядок» тензора — это количество содержащихся внутри него направлений, которое отличается от размеров отдельных направлений. Тензор второго порядка в двух измерениях может быть математически представлен матрицей 2 на 2, а в трех измерениях - матрицей 3 на 3, но в обоих случаях матрица является «квадратной» для тензора второго порядка. . Тензор третьего порядка имеет три величины и направления и будет представлен кубом чисел 3х3х3 для направлений в трех измерениях и так далее.

Приложения

Векторы имеют фундаментальное значение в физических науках. Их можно использовать для представления любой величины, имеющей как величину, так и направление, например скорости , величина которой равна скорости . Например, скорость 5 метров в секунду вверх может быть представлена ​​вектором (0, 5) (в двух измерениях с положительной осью Y как «вверх»). Другая величина, представленная вектором, — это сила , поскольку она имеет величину и направление. Векторы также описывают многие другие физические величины, такие как смещение , ускорение , импульс и угловой момент . Другие физические векторы, такие как электрическое и магнитное поле , представлены как система векторов в каждой точке физического пространства; то есть векторное поле .

Тензоры также имеют широкое применение в физике:

• Электромагнитный тензор (или тензор Фарадея) в электромагнетизме
• Тензоры конечных деформаций для описания деформаций и тензор деформаций сред в механике сплошных
• Диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость являются тензорами в анизотропных средах.
• Тензор энергии-напряжения в общей теории относительности , используемый для представления импульса. потоков
• Сферические тензорные операторы являются собственными функциями квантового оператора углового момента в сферических координатах.
• Тензоры диффузии, лежащие в основе визуализации тензоров диффузии , представляют скорость диффузии в биологических средах.

Размеры

четырехмерные векторы, или четырехвекторы В общей теории относительности требуются . Этими четырьмя измерениями являются длина, высота, ширина и время. «Точкой» в этом контексте будет событие, поскольку оно имеет как местоположение, так и время. Подобно векторам, тензоры в теории относительности требуют четырех измерений. Одним из примеров является тензор кривизны Римана .

Преобразование координат

• 
  Вектор v показан с двумя координатными сетками, e _x и e _r . В космосе нет четкой координатной сетки, которую можно было бы использовать. Это означает, что система координат меняется в зависимости от местоположения и ориентации наблюдателя. Наблюдатели ex _. и e _r на этом изображении смотрят в разные стороны
• 
  Здесь мы видим, что e _x и e _r видят вектор по-разному. Направление вектора одинаково. Но в случае e _x вектор движется влево. Для e _r вектор движется вправо.

В физике, а также в математике вектор часто идентифицируется кортежем или списком чисел, которые зависят от системы координат или системы отсчета . Если координаты преобразуются, например, путем вращения или растяжения системы координат, компоненты вектора также преобразуются. Сам вектор не меняется, но меняется система отсчета. Это означает, что компоненты вектора должны измениться, чтобы компенсировать это.

Вектор называется ковариантным или контравариантным в зависимости от того, как преобразование компонент вектора связано с преобразованием координат.

• Контравариантные векторы имеют единицы измерения расстояния (например, смещение) или расстояние, умноженное на какую-либо другую единицу (например, скорость или ускорение), и трансформируются противоположным образом, как система координат. Например, при смене единиц измерения с метров на миллиметры единицы координат уменьшаются, но числа в векторе становятся больше: 1 м становится 1000 мм.
• С другой стороны, ковариантные векторы имеют единицы измерения на единицу расстояния (как в градиенте ) и преобразуются так же, как система координат. Например, при переходе от метров к миллиметрам единицы координат становятся меньше, и число, измеряющее градиент, также становится меньше: 1 Кельвин на м становится 0,001 Кельвина на мм.

В обозначениях Эйнштейна контравариантные векторы и компоненты тензоров обозначаются верхними индексами, например x ^я и ковариантные векторы и компоненты тензоров с индексами, например x _i . Индексы «повышаются» или «понижаются» путем умножения на соответствующую матрицу, часто единичную.

Преобразование координат важно, потому что теория относительности утверждает, что во Вселенной нет ни одной контрольной точки (или перспективы), которая была бы более предпочтительной, чем другая. На Земле мы используем такие измерения, как север, восток и высота, которые используются по всей планете. В космосе такой системы нет. Без четкой эталонной сетки становится более точным описание четырех измерений: «вперед/вдаль», «влево/вправо», «вверх/вниз» и «прошлое/будущее». В качестве примера события предположим, что Земля — неподвижный объект, и рассмотрим подписание Декларации независимости . Для современного наблюдателя с горы Рейнир, смотрящего на восток, событие происходит впереди, справа, внизу и в прошлом. Однако для наблюдателя в средневековой Англии, смотрящего на север, событие происходит позади, слева, не вверху и не внизу, а в будущем. Само событие не изменилось: изменилось местонахождение наблюдателя.

Косые оси

Наклонная система координат — это система, в которой оси не обязательно ортогональны друг другу; то есть они встречаются под углами, отличными от прямых . При использовании преобразований координат, как описано выше, новая система координат часто будет иметь наклонные оси по сравнению со старой системой.

Нонтензоры

См. Также: Псевдосенсор

Нонтензор — это тензороподобная величина, которая ведет себя как тензор при повышении и понижении индексов, но не преобразуется как тензор при преобразовании координат. Например, символы Кристоффеля сами по себе не могут быть тензорами, если координаты не изменяются линейным образом.

В общей теории относительности нельзя описать энергию и импульс гравитационного поля тензором энергии-импульса. Вместо этого вводятся объекты, которые ведут себя как тензоры только в отношении ограниченных преобразований координат. Строго говоря, такие объекты вообще не являются тензорами. Известным примером такого псевдотензора является псевдотензор Ландау–Лифшица .

Криволинейные координаты и искривленное пространство-время

Высокоточное испытание общей теории относительности с помощью космического зонда «Кассини» (впечатление художника): радиосигналы, передаваемые между Землей и зондом (зеленая волна), задерживаются из -за деформации пространства и времени (синие линии) из-за . массы Солнца . То есть масса Солнца приводит к искажению и искривлению обычной системы координат сетки (отмечена синим цветом). Радиоволна затем следует этой кривизне и движется к Солнцу.

Криволинейные координаты — это координаты, в которых углы между осями могут меняться от точки к точке. Это означает, что вместо сетки из прямых линий она имеет кривизну.

Хорошим примером этого является поверхность Земли. Хотя на картах север, юг, восток и запад часто изображаются в виде простой квадратной сетки, на самом деле это не так. Вместо этого линии долготы, идущие на север и юг, изогнуты и встречаются на северном полюсе. Это потому, что Земля не плоская, а круглая.

В общей теории относительности энергия и масса оказывают влияние на кривизну четырех измерений Вселенной (= пространства-времени). Эта кривизна порождает гравитационную силу. Распространенной аналогией является размещение тяжелого предмета на растянутом резиновом листе, в результате чего лист прогибается вниз. Это искривляет систему координат вокруг объекта, так же, как объект во Вселенной искривляет систему координат, в которой он находится. Математика здесь концептуально более сложна, чем на Земле, поскольку в результате получается четыре измерения искривленных координат вместо трех, как раньше. описать изогнутую двумерную поверхность.

Параллельный транспорт

Основная статья: Параллельный транспорт

Пример: Параллельное перемещение трехмерного шара по окружности, заключенного в двух измерениях. Окружность радиуса r вложена в двумерное пространство, характеризующееся координатами z ¹ и г ² . Сам круг характеризуется координатами y ¹ и й ² в двумерном пространстве. Сама окружность одномерна и может быть охарактеризована длиной дуги x . Координата y связана с координатой x соотношением y ¹ = р потому что х / р и у ² = г грех х / р . Это дает ∂ y ¹ / ∂ x = −sin х / р и ∂ y ² / ∂ х = потому что x / r. В этом случае метрика является скаляром и задается формулой g = cos. ² х / р + грех ² х / р знак равно 1 . Тогда интервал ds ² = г дх ² = dx ² . Как и ожидалось, интервал равен длине дуги.

Интервал в многомерном пространстве

В евклидовом пространстве расстояние между двумя точками измеряется расстоянием между двумя точками. Расстояние чисто пространственное и всегда положительное. В пространстве-времени расстояние между двумя событиями измеряется инвариантным интервалом между двумя событиями, который учитывает не только пространственное разделение между событиями, но и их разделение во времени. Интервал, с ² между двумя событиями определяется как:

$s^{2}=\Delta r^{2}-c^{2}\Delta t^{2}\,$     (пространственно-временной интервал),

где c скорость света, а ∆r ∆t и . — обозначают разности пространственных и временных координат соответственно между событиями Выбор знаков для s ² выше соответствует пространственному соглашению (−++++) . Обозначение типа Δ r ² означает (Δ r ) ² . Причины ​ ² называется интервалом, а не s , это то, что s ² может быть положительным, нулевым или отрицательным.

Пространственно-временные интервалы можно разделить на три различных типа в зависимости от того, является ли временное разделение ( c ² Δ т ² ) или пространственное разделение ( Δ r ² ) из двух событий большее: времяподобное, светоподобное или пространственноподобное.

Определенные типы мировых линий называются геодезическими пространства-времени — прямые линии в случае плоского пространства-времени Минковского и их ближайший эквивалент в искривленном пространстве-времени общей теории относительности. В случае чисто времениподобных путей геодезические — это (локально) пути наибольшего разделения (пространственно-временной интервал), измеренные вдоль пути между двумя событиями, тогда как в евклидовом пространстве и римановых многообразиях геодезические — это пути кратчайшего расстояния между двумя точками. . Понятие геодезической становится центральной в общей теории относительности , поскольку геодезическое движение можно рассматривать как «чистое движение» ( движение по инерции ) в пространстве-времени, то есть свободное от каких-либо внешних влияний.

Ковариантная производная

Основная статья: Ковариантная производная

Ковариантная производная является обобщением производной по направлению из векторного исчисления. Как и производная по направлению, ковариантная производная представляет собой правило, которое принимает в качестве входных данных: (1) вектор u (вдоль которого берется производная), определенный в точке P , и (2) векторное поле v , определенный в окрестности P . Результатом является вектор, также в P. точке Основное отличие от обычной производной по направлению состоит в том, что ковариантная производная должна в определенном точном смысле быть независимой от способа ее выражения в системе координат.

Параллельный транспорт

Учитывая ковариантную производную, можно определить параллельный транспорт вектора v в точке P вдоль кривой γ, начиная с P . Для каждой точки x из γ параллельная транспортировка v в x будет функцией x и может быть записана как v ( x ) , где v (0) = v . Функция v определяется требованием, чтобы ковариантная производная v ( x ) вдоль γ была равна 0. Это аналогично тому факту, что постоянная функция — это та, производная которой постоянно равна 0.

Символы Кристоффеля

Основная статья: символы Кристоффеля

Уравнение для ковариантной производной можно записать с помощью символов Кристоффеля. теории относительности Эйнштейна Символы Кристоффеля находят частое использование в общей , где пространство-время представлено искривленным 4-мерным многообразием Лоренца со связностью Леви-Чивита . Уравнения поля Эйнштейна , которые определяют геометрию пространства-времени в присутствии материи, содержат тензор Риччи . Поскольку тензор Риччи получен из тензора кривизны Римана, который можно записать в терминах символов Кристоффеля, вычисление символов Кристоффеля имеет важное значение. После определения геометрии траектории частиц и световых лучей рассчитываются путем решения геодезических уравнений , в которых явно появляются символы Кристоффеля.

Геодезика

Основная статья: Геодезика в общей теории относительности

В общей теории относительности обобщает геодезическая понятие «прямой линии» на искривленное пространство-время . Важно отметить, что мировая линия частицы, свободная от всех внешних, негравитационных сил, представляет собой особый тип геодезической. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.

В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленной геометрии пространства-времени, где источником кривизны является тензор энергии-импульса (представляющий, например, материю). Так, например, путь планеты, вращающейся вокруг звезды, представляет собой проекцию геодезической искривленной 4-мерной геометрии пространства-времени вокруг звезды на 3-мерное пространство.

Кривая является геодезической, если касательный вектор кривой в любой точке равен параллельному переносу касательного вектора базовой точки.

Тензор кривизны

Основная статья: тензор кривизны Римана

Римана Тензор кривизны R ^р _σμν математически говорит нам, насколько сильно искривлена ​​любая данная область пространства. В плоском пространстве этот тензор равен нулю.

Сжатие тензора создает еще два математических объекта:

1. Тензор Риччи : R _σν возникает из-за необходимости в теории Эйнштейна тензора кривизны только с двумя индексами. Он получается усреднением определенных участков тензора кривизны Римана.
2. Скалярная кривизна : R , простейшая мера кривизны, присваивает каждой точке пространства одно скалярное значение. Он получается усреднением тензора Риччи.

Тензор кривизны Римана можно выразить через ковариантную производную.

Тензор Эйнштейна G ранга 2 — это тензор , определенный над псевдоримановыми многообразиями . В безиндексной записи он определяется как

$\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {g} R,$

где R — тензор Риччи , g — метрический тензор и R — скалярная кривизна . Он используется в уравнениях поля Эйнштейна .

Тензор энергии-напряжения

Основная статья: Тензор энергии-напряжения

Контравариантные компоненты тензора энергии-импульса

Тензор энергии-импульса (иногда тензор напряжения-энергии-импульса или тензор энергии-импульса ) — тензорная величина в физике , которая описывает плотность и поток энергии в и импульса , пространстве-времени обобщая тензор напряжений ньютоновской физики. Это атрибут материи , излучения и негравитационных силовых полей . Тензор энергии-импульса является источником гравитационного поля в уравнениях поля Эйнштейна общей теории относительности , точно так же, как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации . Поскольку этот тензор имеет 2 индекса (см. следующий раздел), тензор кривизны Римана необходимо сжать в тензор Риччи, также с 2 индексами.

Уравнение Эйнштейна

Основная статья: уравнения поля Эйнштейна

Уравнения поля Эйнштейна ( EFE ) или уравнения Эйнштейна набор из 10 уравнений Альберта Эйнштейна, общей теории относительности описывают фундаментальное взаимодействие гравитации которые в результате пространства- искривления времени материей энергией и представляют собой . Впервые опубликовано Эйнштейном в 1915 году. В качестве тензорного уравнения EFE приравнивает локальную кривизну пространства-времени (выраженную тензором Эйнштейна ) с локальной энергией и импульсом внутри этого пространства-времени (выраженными тензором энергии-напряжения ).

Уравнения поля Эйнштейна можно записать в виде

$G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },$

где G _µν – тензор Эйнштейна , а T _µν – тензор энергии-импульса .

Это означает, что кривизна пространства (представленная тензором Эйнштейна) напрямую связана с наличием материи и энергии (представленной тензором энергии-импульса).

Шварцшильда и

Основная статья: метрика Шварцшильда

В относительности Эйнштейна теории общей ( метрика Шварцшильда также вакуум Шварцшильда или решение Шварцшильда ) является решением уравнений поля Эйнштейна , которое описывает гравитационное поле вне сферической массы, при условии, что электрический заряд массы, угловой момент массы и универсальная космологическая постоянная равны нулю. Решение является полезным приближением для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты , включая Землю и Солнце. Решение названо в честь Карла Шварцшильда , который впервые опубликовал решение в 1916 году, незадолго до своей смерти.

Согласно теореме Биркгофа , метрика Шварцшильда является наиболее общим симметричным сферически - вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна . или Черная дыра Шварцшильда статическая черная дыра — это черная дыра , не имеющая заряда или углового момента . Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда, и ее нельзя отличить от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме как по ее массе.

См. также

• Дифференцируемое многообразие
• Символ Кристофера
• Риманова геометрия
• Фигурное исчисление
• Дифференциальная геометрия и топология
• Список тем дифференциальной геометрии
• Общая теория относительности
• Калибровочная теория гравитации
• Общие ковариантные преобразования
• Выводы преобразований Лоренца.

Ссылки

• ПАМ Дирак (1996). Общая теория относительности . Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-01146-Х .
• Хайнбокель, Дж. Х. (2001), Введение в тензорное исчисление и механику сплошной среды , Trafford Publishing, ISBN  1-55369-133-4 .

• Иванов А.Б. (2001) [1994], «Вектор» , Математическая энциклопедия , EMS Press .
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN  0-7167-0344-0 .
• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7 .
• Р.П. Фейнман; ФБ Моринго; РГ Вагнер (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-62734-5 .
• Эйнштейн, А. (1961). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8 .