Математика распределения

Математика распределения описывает математические принципы и алгоритмы справедливого распределения идентичных предметов между сторонами с разными правами. Такие принципы используются для распределения мест в парламентах между федеральными штатами или политическими партиями . См. «Распределение (политика)» для более конкретных принципов и вопросов, связанных с распределением, а также «Распределение по странам» для практических методов, используемых во всем мире.

С математической точки зрения метод пропорционального распределения — это просто метод округления дробей до целых чисел. Как бы просто это ни звучало, каждый метод округления страдает одним или несколькими парадоксами . Математическая теория распределения стремится решить, каких парадоксов можно избежать или, другими словами, каких свойств можно ожидать от метода распределения.

Математическая теория распределения была изучена еще в 1907 году математиком Агнером Крарупом Эрлангом . Позднее она была детально разработана математиком Мишелем Балински и экономистом Пейтоном Янгом . ^[1]^[2]^[3] Помимо его применения к политическим партиям, ^[4] это также применимо к распределению статей справедливой стоимости , когда агенты имеют разные права . ^[5]^[6] Это также актуально для планирования рабочей силы, где рабочие места должны распределяться пропорционально характеристикам трудового резерва, для статистики , где округленные процентные значения должны в сумме составлять 100%. ^[7]^[8] и к проблемам банкротства . ^[9]

Определения

Вход

Входными данными для метода распределения являются:

Положительное целое число $h$ представляющее общее количество элементов для распределения. Его также называют размером палаты , поскольку во многих случаях предметом распределения являются места в палате представителей.
Положительное целое число $n$ представляющее количество агентов , которым должны быть распределены элементы. Например, это могут быть федеральные земли или политические партии .
Вектор чисел $(t_{1},\ldots ,t_{n})$ представление прав - $t_{i}$ представляет собой право агента $i$ , то есть количество предметов, к которым $i$ имеет право (из общего числа $h$ ). Эти права часто нормируются таким образом, что $\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$ . Альтернативно, их можно нормализовать так, чтобы их сумма была равна $h$ ; в этом случае права называются квотами и обозначаются $q_{i}$ , где $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ и $\sum _{i=1}^{n}q_{i}=h$ . Альтернативно, дан вектор популяций $(p_{1},\ldots ,p_{n})$ ; здесь право агента $i$ является $t_{i}=p_{i}/\sum _{j=1}^{n}p_{j}$ .

Выход

Выходные данные представляют собой вектор целых чисел $a_{1},\ldots ,a_{n}$ с $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h$ , распределением называемое $h$ , где $a_{i}$ — количество элементов, выделенных агенту i .

Для каждого агента $i$ , реальное число $q_{i}:=t_{i}\cdot h$ называется квотой $i$ и обозначает точное количество предметов, которые следует передать $i$ . В общем, «справедливое» распределение – это такое распределение, при котором каждое распределение $a_{i}$ максимально приближен к квоте $q_{i}$ .

Метод распределения может возвращать набор векторов распределения (другими словами: это многозначная функция ). Это необходимо, поскольку в некоторых случаях нет справедливого способа отличить два возможных решения. Например, если $h=101$ (или любое другое нечетное число) и $t_{1}=t_{2}=1/2$ , то (50,51) и (51,50) являются одинаково разумными решениями, и не существует математического способа выбрать одно из другого. Хотя такие связи на практике крайне редки, теория должна их учитывать (на практике, когда метод распределения возвращает несколько выходных данных, один из них может быть выбран с помощью некоторых внешних правил приоритета или путем подбрасывания монеты , но это выходит за рамки математической теории пропорционального распределения).

Метод распределения обозначается многозначной функцией $M(\mathbf {t} ,h)$ ; конкретный $M$ -решение — однозначная функция $f(\mathbf {t} ,h)$ который выбирает одно распределение из $M(\mathbf {t} ,h)$ .

Метод частичного распределения – это метод распределения для конкретных фиксированных значений $n$ и $h$ ; это многозначная функция $M^{*}(\mathbf {t} )$ который принимает только $n$ -векторы.

Варианты

Иногда входные данные также содержат вектор целых чисел. $r_{1},\ldots ,r_{n}$ представляющие минимальные требования - $r_{i}$ представляет наименьшее количество элементов, которые агент $i$ должен получать независимо от своего права. Таким образом, существует дополнительное требование к выводу: $a_{i}\geq r_{i}$ для всех $i$ .

Если агентами являются политические партии, эти числа обычно равны 0, поэтому этот вектор опускается. Но когда агентами являются штаты или округа, эти числа часто положительны, чтобы обеспечить представительство всех. Они могут быть одинаковыми для всех агентов (например, 1 для штатов США, 2 для округов Франции) или разными (например, в Канаде или Европейском парламенте).

Иногда встречается и вектор максимальных требований , но он встречается реже.

Основные требования

Существуют базовые свойства, которым должен удовлетворять любой разумный метод распределения. Разные авторы дали им разные имена: имена слева взяты из Пукельсхайма; ^[10]^: 75 Имена в скобках справа — от Балинского и Янга. ^[1]

Анонимность (= Симметрия ) означает, что распределение не зависит от имен или индексов агентов. Формально, если $\mathbf {t'}$ $\mathbf {t'}$ это любая перестановка $\mathbf {t}$ $\mathbf {t}$ , то распределения в $M(\mathbf {t'} ,h)$ $M(\mathbf {t'},h)$ являются в точности соответствующими перестановками распределений в $M(\mathbf {t} ,h)$ $M(\mathbf {t},h)$ .
- Это требование имеет смысл, когда нет минимальных требований или когда требования одинаковы; если они не совпадают, то анонимность должна сохраняться при условии соблюдения требований.
Сбалансированность (= Balance ) означает, что если два агента имеют равные права, то их распределение должно отличаться не более чем на 1: $t_{i}=t_{j}$ подразумевает $a_{i}\geq a_{j}-1$ .
Согласование (= Слабая монотонность популяции ) означает, что агент со строго более высоким правом получает как минимум столько же элементов: $t_{i}>t_{j}$ подразумевает $a_{i}\geq a_{j}$ .
Порядочность (= однородность ) означает, что масштабирование вектора прав не меняет результат. Формально, $M(c\cdot \mathbf {t} ,h)=M(\mathbf {t} ,h)$ для каждой константы c (это автоматически выполняется, если входные данные метода пропорционального распределения нормализованы).
Точность (= Слабая пропорциональность ) означает, что если существует идеальное решение, то его необходимо выбрать. Формально для нормализованного $\mathbf {t}$ $\mathbf {t}$ , если квота $q_{i}=t_{i}\cdot h$ $q_{i}=t_{i}\cdot h$ каждого агента $i$ $я$ целое число, то $M(\mathbf {t} ,h)$ $M(\mathbf {t},h)$ должен содержать уникальный вектор $(q_{1},\ldots ,q_{n})$ $(q_{1},\ldots,q_{n})$ . Другими словами, если h -распределение $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ точно пропорциональна $\mathbf {t}$ $\mathbf {t}$ , то это должен быть уникальный элемент $M(\mathbf {t} ,h)$ $M(\mathbf {t},h)$ .
- Высокая точность ^[11]^: 13 означает, что точность также сохраняется «в пределе». То есть, если последовательность векторов прав сходится к целочисленному вектору квоты $(q_{1},\ldots ,q_{n})$ , то единственным вектором размещения во всех элементах последовательности будет $(q_{1},\ldots ,q_{n})$ . Чтобы увидеть отличие от слабой точности, обратите внимание на следующее правило. (а) Дайте каждому агенту его квоту, округленную в меньшую сторону, $\lfloor q_{i}\rfloor$ ; (б) итеративно передать оставшиеся места крупнейшим партиям. Это правило является слабо точным, но не сильно точным. Например, предположим, что h = 6, и рассмотрим последовательность векторов квот (4+1/ k , 2-1/ k ). Вышеприведенное правило дает распределение (5,1) для всех k , хотя пределом при k→∞ является целочисленный вектор (4,2).
- Сильная пропорциональность ^[1] означает, что, кроме того, если $\mathbf {a'} \in M(\mathbf {t} ,h')$ , и $h<h'$ , и существует некоторое h -распределение $\mathbf {a}$ это точно пропорционально $\mathbf {a} '$ , то это должен быть уникальный элемент $M(\mathbf {t} ,h)$ . Например, если одно решение в $M(\mathbf {t} ,6)$ есть (3,3), то единственное решение в $M(\mathbf {t} ,4)$ должно быть (2,2). ^{[ почему? ]}
Полнота означает, что если какое-то распределение $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ возвращается для сходящейся последовательности векторов прав, тогда $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ также возвращается для их предельного вектора. Другими словами, набор $\{\mathbf {t} |\mathbf {a} \in M(\mathbf {t} ,h)\}$ $\{\mathbf {t} |\mathbf {a} \in M(\mathbf {t},h)\}$ - набор векторов прав, для которых $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ - возможное раскладывание - топологически замкнуто . Неполный метод можно «завершить», добавив распределение $\mathbf {a}$ $\mathbf {a}$ любому ограниченному праву тогда и только тогда, когда оно принадлежит каждому праву в последовательности. Завершение симметричного и пропорционального метода распределения является полным, симметричным и пропорциональным. ^[1]^{: Положение 2.2}
- Полнота нарушается методами, применяющими правило внешнего разделения, как это происходит на практике во многих странах. Правило разрешения конфликтов применяется только в предельном случае, поэтому оно может нарушить полноту.
- Полнота и слабая точность вместе подразумевают сильную точность. Если полный и слаботочный метод модифицируется путем добавления соответствующего правила разрешения конфликтов, то полученное правило перестает быть полным, но остается строго точным. ^[11]^: 13

Другие соображения

Пропорциональность распределения можно измерить соотношением мест к голосам и индексом Галлахера . Пропорциональность распределения вместе с избирательным порогом влияет на политическую раздробленность и барьеры для входа в политическую конкуренцию. ^[12]

Общие методы распределения

Существует множество методов распределения, и их можно разделить на несколько подходов.

Методы наибольшего остатка начинаются с вычисления вектора квот, округленного в меньшую сторону, то есть $\lfloor q_{1}\rfloor ,\ldots ,\lfloor q_{n}\rfloor$ $\lfloor q_{1}\rfloor,\ldots,\lfloor q_{n}\rfloor$ . Если сумма этих округленных значений равна точно $h$ $ч$ , то этот вектор возвращается как уникальное распределение. Обычно сумма меньше $h$ $ч$ . В этом случае оставшиеся предметы распределяются между агентами согласно их остаткам. $q_{i}-\lfloor q_{i}\rfloor$ : агент с наибольшим остатком получает одно место, затем агент со вторым по величине остатком получает одно место и так далее, пока все элементы не будут распределены. Существует несколько вариантов метода LR, в зависимости от того, какая квота используется:
- Простая квота, также называемая заячьей квотой , представляет собой $t_{i}h$ . Использование LR с квотой Хэра приводит к методу Гамильтона .
- Квота Хагенбаха-Бишоффа , также называемая точной квотой Дропа, составляет $t_{i}\cdot (h+1)$ . Квоты в этом методе больше, поэтому осталось меньше элементов. Теоретически возможно, что сумма округленных квот составит $h+1$ который больше, чем $h$ , но на практике такое случается редко.
- Имперская квота $t_{i}\cdot (h+2)$ . Эта квота встречается реже, поскольку существует более высокая вероятность того, что сумма округленных квот окажется больше, чем $h$ .
Методы делителя вместо использования фиксированного множителя в квоте (например, $h$ или $h+1$ ), выберите множитель такой, чтобы сумма округленных квот была в точности равна $h$ , поэтому не осталось элементов для распределения. Формально, $M(\mathbf {t} ,h):=\{\mathbf {a} |a_{i}=\operatorname {round} (t_{i}\cdot H){\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h{\text{ for some real number }}H\}.$ Методы делителей различаются методом округления. Метод делителя параметризуется функцией делителя. $d(k)$ который указывает для каждого целого числа $k\geq 0$ , действительное число в интервале $[k,k+1]$ . Это означает, что все числа в $[k,d(k)]$ следует округлить до $k$ , и все числа в $[d(k),k+1]$ следует округлить до $k+1$ . Функция округления обозначается $\operatorname {round} ^{d}(x)$ и возвращает целое число $k$ такой, что $d(k-1)\leq x\leq d(k)$ . Число $d(k)$ само по себе может округляться как в большую, так и в меньшую сторону, поэтому функция округления является многозначной. Например, метод Адамса использует $d(k)=k$ , что соответствует округлению в большую сторону; Метод Д'Ондта/Джефферсона использует $d(k)=k+1$ , что соответствует округлению в меньшую сторону; и метод Вебстера/Сент-Лаге использует $d(k)=k+0.5$ , что соответствует округлению до ближайшего целого числа. Метод делителей также можно вычислять итеративно: первоначально $a_{i}$ установлено на 0 для всех сторон. Затем на каждой итерации следующее место выделяется партии, которая максимизирует соотношение ${\frac {t_{i}}{d(a_{i})}}$ .
Методы рангового индекса параметризуются функцией $r(t,a)$ который уменьшается в $a$ . Распределение рассчитывается итеративно. Изначально поставил $a_{i}$ до 0 для всех сторон. Затем на каждой итерации выделяйте следующее место агенту, который максимизирует $r(t_{i},a_{i})$ . Методы делителей являются частным случаем методов рангового индекса: метод делителей с функцией делителя. $d(a)$ эквивалентен методу индекса ранга с индексом ранга $r(t,a)=t/d(a)$ .
Методы, основанные на оптимизации, направлены на достижение для каждого экземпляра «насколько возможно справедливого» распределения. Распределение является «справедливым», если $a_{i}=q_{i}$ для всех агентов i ; в этом случае мы говорим, что «несправедливость» распределения равна 0. Если это равенство нарушается, можно определить меру «полной несправедливости» и попытаться минимизировать ее. Можно минимизировать сумму уровней несправедливости или максимальный уровень несправедливости. Каждый критерий оптимизации приводит к разным правилам оптимального распределения .

Соблюдение квоты

Точная квота агента $i$ является $q_{i}=t_{i}\cdot h$ . Основное требование к методу распределения заключается в том, что он распределяет каждому агенту $i$ его квота $q_{i}$ если это целое число; в противном случае ему следует выделить целое число, близкое к точной квоте, то есть либо его меньшую квоту, либо его нижнюю квоту. $\lfloor q_{i}\rfloor$ или его верхняя квота $\lceil q_{i}\rceil$ . ^[13] Мы говорим, что метод распределения -

Удовлетворяет более низкой квоте , если $a_{i}\geq \lfloor q_{i}\rfloor$ для всех $i$ (это справедливо тогда и только тогда, когда $a_{i}+1>q_{i}$ ).
Удовлетворяет верхней квоте , если $a_{i}\leq \lceil q_{i}\rceil$ для всех $i$ (это справедливо тогда и только тогда, когда $a_{i}-1<q_{i}$ ).
Удовлетворяет обеим квотам , если выполняются оба вышеуказанных условия (это справедливо тогда и только тогда, когда ${\frac {q_{i}}{a_{i}+1}}<1<{\frac {q_{i}}{a_{i}-1}}$ ).

Метод наибольшего остатка Гамильтона по своей конструкции удовлетворяет как нижней, так и верхней квоте. Это не относится к методам делителей. ^[1]^{: Положения 6.2, 6.3, 6.4, 6.5.}

Все методы делителей удовлетворяют обеим квотам при наличии двух агентов;
Метод Вебстера — единственный метод делителей, удовлетворяющий обеим квотам на 3 агента;
Метод Адамса — единственный метод делителей, удовлетворяющий верхней квоте для любого числа агентов;
Метод Джефферсона — единственный метод делителей, удовлетворяющий меньшей квоте для любого числа агентов;
Ни один метод делителя одновременно не нарушает верхнюю квоту для одного агента и нижнюю квоту для другого агента.

Следовательно, ни один метод делителя не удовлетворяет как верхней, так и нижней квоте для любого количества агентов. Уникальность Джефферсона и Адамса сохраняется даже в гораздо более широком классе методов рангового индекса . ^[14]

Это можно рассматривать как недостаток методов делителей, но также можно считать недостатком критерия квоты: ^[1]^: 129

« Например, дать D 26 мест вместо 25 в таблице 10.1 означало бы занять место от одного из более мелких штатов A, B или C. как в абсолютном, так и в относительном выражении - тогда государство D наказывается получением на единицу меньше нижней квоты. Можно придумать аналогичные примеры, когда какое-то государство может разумно получить больше, чем его верхняя квота. Можно утверждать, что оставаться в пределах квоты на самом деле не является. совместима с идеей пропорциональности вообще, поскольку она допускает гораздо большую вариативность в представленности на душу населения в меньших штатах, чем в более крупных государствах ».

При моделировании Монте-Карло метод Вебстера с очень высокой вероятностью удовлетворяет обеим квотам. Более того, метод Весбтера — единственный метод деления, который удовлетворяет почти квоте : ^[1]^{: Thm.6.2} нет никаких агентов $i,j$ такое, что перемещение сиденья из $i$ к $j$ приблизит их обоих к своим квотам:

$q_{i}-(a_{i}-1)~<~a_{i}-q_{i}~~{\text{ and }}~~(a_{j}+1)-q_{j}~<~q_{j}-a_{j}$ .

Метод Джефферсона можно модифицировать для удовлетворения обеих квот, в результате чего получается метод Квоты-Джефферсона. ^[13] Более того, любой метод делителя можно модифицировать для удовлетворения обеих квот. ^[15] Это дает метод Квоты-Вебстера, метод Квоты-Хилла и т. д. Это семейство методов часто называют методами квататона . ^[14] поскольку они удовлетворяют как квотам, так и монотонности дома .

Минимизация парного неравенства

Один из способов оценить методы распределения — определить, минимизируют ли они степень неравенства между парами агентов. Очевидно, что неравенство должно учитывать различные права: если $a_{i}/t_{i}=a_{j}/t_{j}$ тогда с агентами обращаются «равно» (в отношении их прав); в противном случае, если $a_{i}/t_{i}>a_{j}/t_{j}$ тогда агент $i$ является предпочтительным, и если $a_{i}/t_{i}<a_{j}/t_{j}$ тогда агент $j$ является предпочтительным. Однако, поскольку существует 16 способов переставить равенство $a_{i}/t_{i}=a_{j}/t_{j}$ , соответственно, существует много способов определения неравенства. ^[1]^{: 100–102}

$|a_{i}/t_{i}-a_{j}/t_{j}|$ . Метод Вебстера — это уникальный метод распределения, при котором для каждой пары агентов $i$ и $j$ , эта разница минимизируется (т.е. перемещение сиденья из $i$ к $j$ или наоборот, разница не будет меньше).
$a_{i}-(t_{i}/t_{j})a_{j}$ для $a_{i}/t_{i}\geq a_{j}/t_{j}$ Это приводит к методу Адамса.
$a_{i}(t_{j}/t_{i})-a_{j}$ для $a_{i}/t_{i}\geq a_{j}/t_{j}$ . Это приводит к методу Джефферсона.
$|t_{i}/a_{i}-t_{j}/a_{j}|$ . Это приводит к методу Дина.
$\left|{\frac {a_{i}/t_{i}}{a_{j}/t_{j}}}-1\right|$ . Это приводит к методу Хантингтона-Хилла.

Этот анализ был проведен Хантингтоном в 1920-х годах. ^[16]^[17]^[18] Некоторые из возможностей не приводят к устойчивому решению. Например, если мы определим неравенство как $|a_{i}/a_{j}-t_{i}/t_{j}|$ , то существуют случаи, когда при любом распределении перемещение места от одного агента к другому может уменьшить их парное неравенство. Есть пример с 3 штатами с населением (737 534 329 человек) и 16 местами. ^[1]^{: Предложение 3.5}

Предвзятость в сторону крупных/мелких агентов

Когда агентами являются федеральные штаты , особенно важно избегать предвзятости между крупными и малыми штатами. Существует несколько способов формального измерения этой предвзятости. Все измерения приводят к выводу, что метод Джефферсона смещен в пользу крупных государств, метод Адамса смещен в пользу малых государств, а метод Вебстера является наименее смещенным методом делителей.

Свойства согласованности

Свойства согласованности распределения — это свойства, которые характеризуют метод , а не конкретное распределение. Каждое свойство согласованности сравнивает результаты определенного метода на разных входных данных. Было изучено несколько таких свойств.

Монотонность государства и населения означает, что если право агента увеличивается, его распределение не должно уменьшаться. Название происходит от ситуации, когда агентами являются федеральные штаты , чьи права определяются их населением. Нарушение этого свойства называется парадоксом населения . Существует несколько вариантов этого свойства. Один вариант — парный ПМ — реализуется исключительно методами делителей. То есть метод пропорционального распределения является попарным PM тогда и только тогда, когда он является методом делителей. ^[1]^{: Thm.4.3}

Когда $n\geq 4$ и $h\geq n+3$ , ни один метод частичного распределения не удовлетворяет парному ПМ, нижней квоте и верхней квоте. ^[1]^{: Thm.6.1} В сочетании с предыдущими утверждениями это означает, что ни один метод делителей не удовлетворяет обеим квотам.

Монотонность дома означает, что при общем количестве мест $h$ увеличивается, ни один агент не теряет места. Нарушение этого свойства называется парадоксом Алабамы . Это считалось особенно важным в первые дни существования США, когда размер конгресса увеличивался каждые десять лет. Хаус-монотонность слабее, чем попарно-ПМ. Все индексно-ранговые методы (следовательно, все методы делителей) являются дома-монотонными - это ясно следует из итеративной процедуры. Помимо методов делителей, существуют и другие монотонные методы, некоторые из которых также удовлетворяют обеим квотам. Например, метод квот Балинского и Янга по построению удовлетворяет монотонности дома и верхней квоте, и можно доказать, что он также удовлетворяет и нижней квоте. ^[13] Его можно обобщить: существует общий алгоритм, который дает все методы распределения, которые являются монотонными и удовлетворяют обеим квотам. Однако все эти методы, основанные на квотах (Quota-Jefferson, Quota-Hill и т. д.), могут нарушать парный PM: есть примеры, в которых один агент увеличивает численность населения, но теряет места. ^[1]^{: Раздел 7}

Единообразие (также называемое согласованностью ^[19]) означает, что если мы возьмем некоторое подмножество агентов $1,\ldots ,k$ и применить тот же метод к их совместному распределению $h_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}$ , то результатом будет вектор $(a_{1},\ldots ,a_{k})$ . Все методы рангового индекса (следовательно, все методы делителей) едины, поскольку они распределяют места агентам заранее определенным методом, определяемым $r(t,a)$ , и этот порядок не зависит от наличия или отсутствия других агентов. Более того, каждый унифицированный метод, который также является анонимным и сбалансированным, должен быть методом рангового индекса. ^[1]^{: Thm.8.3}

Каждый унифицированный метод, который также является анонимным , слабо точным и согласованным (= $t_{i}>t_{j}$ подразумевает $a_{i}\geq a_{j}$ ) должен быть методом делителя. ^[1]^{: Thm.8.4} При этом среди всех анонимных методов: ^[14]

Метод Джефферсона — единственный унифицированный метод, удовлетворяющий более низкой квоте;
Метод Адамса — единственный унифицированный метод, удовлетворяющий верхней квоте;
Метод Вебстера — единственный унифицированный метод, близкий к квоте;
Ни один единый метод не удовлетворяет обеим квотам. В частности, метод Гамильтона и метод квот не являются единообразными. Однако метод квот является уникальным методом, который удовлетворяет обеим квотам в дополнение к монотонности дома и «согласованности квот», что является более слабой формой единообразия.

Поощрение коалиций

Когда агентами являются политические партии, они часто разделяются или сливаются. То, как такое разделение/слияние повлияет на распределение, повлияет на политическую фрагментацию . Предположим, что определенный метод распределения дает двум агентам $i,j$ некоторый $a_{i},a_{j}$ мест соответственно, а затем эти два агента образуют коалицию, и метод вновь активируется.

Метод распределения всегда поощряет коалиции , если коалиция двух партий получает по крайней мере $a_{i}+a_{j}$ мест (другими словами, он защищен от раскола - партия не может получить место путем разделения).
Метод распределения всегда способствует расколу, если коалиция получает не более $a_{i}+a_{j}$ места (другими словами, он защищен от слияний - две партии не могут получить место путем слияния).

Среди методов делителей: ^[1]^{: Thm.9.1, 9.2, 9.3}

Метод Джефферсона — это уникальный метод делителей, устойчивых к расщеплению;
Метод Адамса — это уникальный метод делителей, защищенный от слияния;
Метод Вебстера не является ни защитой от раскола, ни защиты от слияния, но он «нейтрален к коалиции»: когда голоса распределяются случайным образом (с равномерными остатками), коалиция с одинаковой вероятностью получит место или потеряет место. ^[1]^{: Предложение 9.4}

Поскольку это разные методы, ни один метод делителей не дает каждой коалиции $i,j$ точно $a_{i}+a_{j}$ сиденья. Более того, эта уникальность может быть распространена на гораздо более широкий класс методов рангового индекса . ^[14]

Более слабое свойство, называемое «коалиционной стабильностью», состоит в том, что каждая коалиция $i,j$ должен получить между $a_{i}+a_{j}-1$ и $a_{i}+a_{j}+1$ сиденья; таким образом, партия может получить не более одного места путем слияния/разделения.

Метод Гамильтона коалиционно устойчив. ^[20]^{: Thm.2}^[14]^{: Приложение}
Метод делителя с делителем $d$ является коалиционно устойчивым тогда и только тогда, когда $d(a_{1}+a_{2})\leq d(a_{1})+d(a_{2})\leq d(a_{1}+a_{2}+1)$ ; это справедливо для всех пяти стандартных методов делителей. ^[20]^{: Thm.1}

Более того, каждый метод, удовлетворяющий обеим квотам, «почти коалиционно устойчив» — он дает каждой коалиции между $a_{i}+a_{j}-2$ и $a_{i}+a_{j}+2$ сиденья. ^[14]

Сводная таблица

В следующей таблице приведены результаты уникальности для классов методов распределения. Например, в верхней левой ячейке указано, что метод Джефферсона является уникальным методом делителей, удовлетворяющим правилу нижней квоты.

Уникально удовлетворяет Среди	Меньшая квота	Верхняя квота	Рядом с квотой	Монотонность дома	Единообразие	Население Монотонное	Сплитстойкий	Устойчивость к слиянию
Правила делителя	Джефферсон	Адамс	Вебстер	Любой	Любой	Любой	Джефферсон	Адамс
Правила индексации рангов	Джефферсон	Адамс	Вебстер	Правила делителя	Любой	Правила делителя	Джефферсон	Адамс
Правила квот	Любой	Любой	Любой	Никто	Никто	Никто
Правила делителя с ограничением квоты	Да	Да	Да	Да	Никто	Никто

Реализации

Демонстрация нескольких распространенных правил распределения на Javascript

См. также

Пропорциональное представительство
Многоатрибутивное пропорциональное представительство. ^[21]
Распределение при наличии ошибок в подсчетах численности населения. ^[22]
Пропорциональное разрезание торта с различными льготами
Справедливое распределение предметов

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .
^ Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (2001). Справедливое представительство: достижение идеала «один человек — один голос» (2-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Издательство Брукингского института. ISBN 0-8157-0111-Х .
^ Балинский, МЛ; Янг, HP (1 января 1994 г.). «Глава 15 Распределение» . Справочники по исследованию операций и науке управления . 6 : 529–560. дои : 10.1016/S0927-0507(05)80096-9 . ISBN 9780444892041 . ISSN 0927-0507 .
^ КОТТЕРЕТ Дж. М.; С, ЭМЕРИ (1973). ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ .
^ Чакраборти, Митхун; Шмидт-Крепелин, Ульрике; Суксомпонг, Варут (01 декабря 2021 г.). «Последовательность выбора и монотонность в взвешенном честном дележе» . Искусственный интеллект . 301 : 103578. arXiv : 2104.14347 . дои : 10.1016/j.artint.2021.103578 . ISSN 0004-3702 . S2CID 233443832 .
^ Чакраборти, Митхун; Сегал-Халеви, Эрель; Суксомпонг, Варут (28 июня 2022 г.). «Пересмотр понятий взвешенной справедливости для неделимых предметов» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 36 (5): 4949–4956. arXiv : 2112.04166 . дои : 10.1609/aaai.v36i5.20425 . ISSN 2374-3468 .
^ Диаконис, Перси; Фридман, Дэвид (1 июня 1979 г.). «Об округлении процентов» . Журнал Американской статистической ассоциации . 74 (366а): 359–364. дои : 10.1080/01621459.1979.10482518 . ISSN 0162-1459 .
^ Балинский, ML ; Деманж, Г. (1 ноября 1989 г.). «Аксиоматический подход к пропорциональности между матрицами» (PDF) . Математика исследования операций . 14 (4): 700–719. дои : 10.1287/moor.14.4.700 . ISSN 0364-765X .
^ Чока, Питер; Герингс, П. Жан-Жак (1 января 2016 г.). «Децентрализованный клиринг в финансовых сетях (RM/16/005-пересмотренный-)» . Меморандум об исследовании .
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б Паломарес, Антонио; Пукельсхайм, Фридрих; Рамирес, Викториано (01 сентября 2016 г.). «Целое и его части: О теореме связности Балинского и Янга» . Математические социальные науки . 83 : 11–19. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2016.06.001 . ISSN 0165-4896 .
^ Таллок, Гордон. «Входные барьеры в политику». Американский экономический обзор 55.1/2 (1965): 458–466.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Балинский, МЛ; Янг, HP (1 августа 1975 г.). «Квотный метод распределения» . Американский математический ежемесячник . 82 (7): 701–730. дои : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Балинский, МЛ; Янг, HP (1 сентября 1978 г.). «Стабильность, коалиции и расколы в системах пропорционального представительства*» . Американский обзор политической науки . 72 (3): 848–858. дои : 10.2307/1955106 . ISSN 0003-0554 . JSTOR 1955106 . S2CID 144161027 .
^ Тем не менее, Джонатан В. (1 октября 1979 г.). «Класс новых методов распределения Конгресса» . SIAM Journal по прикладной математике . 37 (2): 401–418. дои : 10.1137/0137031 . ISSN 0036-1399 .
^ Хантингтон, Э.В. (1928). «Распределение представителей в Конгрессе» . Труды Американского математического общества . 30 (1): 85–110. дои : 10.2307/1989268 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1989268 .
^ Хантингтон, Эдвард В. (1 сентября 1921 г.). «Новый метод распределения представителей» . Ежеквартальные публикации Американской статистической ассоциации . 17 (135): 859–870. дои : 10.1080/15225445.1921.10503487 . ISSN 1522-5445 . S2CID 129746319 .
^ Хантингтон, Эдвард В. (1 апреля 1921 г.). «Математическая теория распределения представителей» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 7 (4): 123–127. Бибкод : 1921PNAS....7..123H . дои : 10.1073/pnas.7.4.123 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 1084767 . ПМИД 16576591 .
^ Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/ 978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б Балинский, МЛ; Янг, HP (1 февраля 1979 г.). «Критерии пропорционального представительства» . Исследование операций . 27 (1): 80–95. дои : 10.1287/опре.27.1.80 . ISSN 0030-364X .
^ Ланг, Жером; Сковрон, Петр (01 октября 2018 г.). «Многоатрибутивное пропорциональное представительство» . Искусственный интеллект . 263 : 74–106. arXiv : 1509.03389 . дои : 10.1016/j.artint.2018.07.005 . ISSN 0004-3702 . S2CID 11079872 .
^ Спенсер, Брюс Д. (1 декабря 1985 г.). «Статистические аспекты справедливого распределения» . Журнал Американской статистической ассоциации . 80 (392): 815–822. дои : 10.1080/01621459.1985.10478188 . ISSN 0162-1459 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (1982). Справедливое представительство: достижение идеала «Один человек – один голос» . Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. ISBN 0-300-02724-9 .

[2] Балинский, Мишель Л.; Янг, Х. Пейтон (2001). Справедливое представительство: достижение идеала «один человек — один голос» (2-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Издательство Брукингского института. ISBN 0-8157-0111-Х .

[3] Балинский, МЛ; Янг, HP (1 января 1994 г.). «Глава 15 Распределение» . Справочники по исследованию операций и науке управления . 6 : 529–560. дои : 10.1016/S0927-0507(05)80096-9 . ISBN 9780444892041 . ISSN 0927-0507 .

[4] КОТТЕРЕТ Дж. М.; С, ЭМЕРИ (1973). ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ .

[5] Чакраборти, Митхун; Шмидт-Крепелин, Ульрике; Суксомпонг, Варут (01 декабря 2021 г.). «Последовательность выбора и монотонность в взвешенном честном дележе» . Искусственный интеллект . 301 : 103578. arXiv : 2104.14347 . дои : 10.1016/j.artint.2021.103578 . ISSN 0004-3702 . S2CID 233443832 .

[6] Чакраборти, Митхун; Сегал-Халеви, Эрель; Суксомпонг, Варут (28 июня 2022 г.). «Пересмотр понятий взвешенной справедливости для неделимых предметов» . Материалы конференции AAAI по искусственному интеллекту . 36 (5): 4949–4956. arXiv : 2112.04166 . дои : 10.1609/aaai.v36i5.20425 . ISSN 2374-3468 .

[7] Диаконис, Перси; Фридман, Дэвид (1 июня 1979 г.). «Об округлении процентов» . Журнал Американской статистической ассоциации . 74 (366а): 359–364. дои : 10.1080/01621459.1979.10482518 . ISSN 0162-1459 .

[8] Балинский, ML ; Деманж, Г. (1 ноября 1989 г.). «Аксиоматический подход к пропорциональности между матрицами» (PDF) . Математика исследования операций . 14 (4): 700–719. дои : 10.1287/moor.14.4.700 . ISSN 0364-765X .

[9] Чока, Питер; Герингс, П. Жан-Жак (1 января 2016 г.). «Децентрализованный клиринг в финансовых сетях (RM/16/005-пересмотренный-)» . Меморандум об исследовании .

[:4-10] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Методы пропорционального распределения: делить и округлять» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 71–93, doi : 10.1007 /978-3-319-64707-4_4 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:12-11] Jump up to: ^а ^б Паломарес, Антонио; Пукельсхайм, Фридрих; Рамирес, Викториано (01 сентября 2016 г.). «Целое и его части: О теореме связности Балинского и Янга» . Математические социальные науки . 83 : 11–19. doi : 10.1016/j.mathsocsci.2016.06.001 . ISSN 0165-4896 .

[12] Таллок, Гордон. «Входные барьеры в политику». Американский экономический обзор 55.1/2 (1965): 458–466.

[:1-13] Jump up to: ^а ^б ^с Балинский, МЛ; Янг, HP (1 августа 1975 г.). «Квотный метод распределения» . Американский математический ежемесячник . 82 (7): 701–730. дои : 10.1080/00029890.1975.11993911 . ISSN 0002-9890 .

[:2-14] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Балинский, МЛ; Янг, HP (1 сентября 1978 г.). «Стабильность, коалиции и расколы в системах пропорционального представительства*» . Американский обзор политической науки . 72 (3): 848–858. дои : 10.2307/1955106 . ISSN 0003-0554 . JSTOR 1955106 . S2CID 144161027 .

[15] Тем не менее, Джонатан В. (1 октября 1979 г.). «Класс новых методов распределения Конгресса» . SIAM Journal по прикладной математике . 37 (2): 401–418. дои : 10.1137/0137031 . ISSN 0036-1399 .

[16] Хантингтон, Э.В. (1928). «Распределение представителей в Конгрессе» . Труды Американского математического общества . 30 (1): 85–110. дои : 10.2307/1989268 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1989268 .

[17] Хантингтон, Эдвард В. (1 сентября 1921 г.). «Новый метод распределения представителей» . Ежеквартальные публикации Американской статистической ассоциации . 17 (135): 859–870. дои : 10.1080/15225445.1921.10503487 . ISSN 1522-5445 . S2CID 129746319 .

[18] Хантингтон, Эдвард В. (1 апреля 1921 г.). «Математическая теория распределения представителей» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 7 (4): 123–127. Бибкод : 1921PNAS....7..123H . дои : 10.1073/pnas.7.4.123 . ISSN 0027-8424 . ПМЦ 1084767 . ПМИД 16576591 .

[19] Пукельсхайм, Фридрих (2017), Пукельсхайм, Фридрих (редактор), «Обеспечение согласованности системы: согласованность и парадоксы» , Пропорциональное представительство: методы пропорционального распределения и их применение , Cham: Springer International Publishing, стр. 159–183, doi : 10.1007/ 978-3-319-64707-4_9 , ISBN 978-3-319-64707-4 , получено 1 сентября 2021 г.

[:3-20] Jump up to: ^а ^б Балинский, МЛ; Янг, HP (1 февраля 1979 г.). «Критерии пропорционального представительства» . Исследование операций . 27 (1): 80–95. дои : 10.1287/опре.27.1.80 . ISSN 0030-364X .

[21] Ланг, Жером; Сковрон, Петр (01 октября 2018 г.). «Многоатрибутивное пропорциональное представительство» . Искусственный интеллект . 263 : 74–106. arXiv : 1509.03389 . дои : 10.1016/j.artint.2018.07.005 . ISSN 0004-3702 . S2CID 11079872 .

[22] Спенсер, Брюс Д. (1 декабря 1985 г.). «Статистические аспекты справедливого распределения» . Журнал Американской статистической ассоциации . 80 (392): 815–822. дои : 10.1080/01621459.1985.10478188 . ISSN 0162-1459 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]