Математика трехфазной электроэнергии

Один цикл напряжения трехфазной системы, обозначенный от 0 до 360 ° (2π радиан) по оси времени. Нарисованная линия представляет изменение мгновенного напряжения (или тока) во времени. Этот цикл повторяется с частотой , которая зависит от энергосистемы.

В электротехнике переменные трехфазные электроэнергетические системы имеют как минимум три проводника, по которым подаются напряжения , смещенные во времени на одну треть периода. Трехфазная система может быть организована в виде треугольника (∆) или звезды (Y) (в некоторых регионах также обозначается звездой, поскольку символически она похожа на букву «Y»). Система «звезда» позволяет использовать два разных напряжения со всех трех фаз , например, система 230/400 В, которая обеспечивает 230 В между нейтралью (центральный концентратор) и любой из фаз и 400 В между любыми двумя фазами. Схема системы «треугольник» обеспечивает только одно напряжение, но она имеет большую избыточность, поскольку может продолжать нормально работать с одной из трех питающих обмоток в автономном режиме, хотя и при 57,7% общей мощности. Гармонический ток в нейтрали может стать очень большим, если подключены нелинейные нагрузки.

Определения

В топологии соединения звездой (звезда) с последовательностью вращения L1 – L2 – L3 изменяющиеся во времени мгновенные напряжения могут быть рассчитаны для каждой фазы A, C, B соответственно по формуле:

$V_{L1-N}=V_{P}\sin \left(\theta \right)\,\!$

$V_{L2-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {4}{3}}\pi \right)$

$V_{L3-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {2}{3}}\pi \right)$

где:

$V_{P}$ пиковое напряжение,

$\theta =2\pi ft\,\!$ фазовый угол в радианах

$t$ это время в секундах

$f$ частота в циклах в секунду и

напряжения L1-N, L2-N и L3-N относятся к точке соединения звездой.

Диаграммы

На изображениях ниже показано, как систему из шести проводов, подающих три фазы от генератора, можно заменить всего тремя. Также показан трехфазный трансформатор.

• 
  Простейший шестипроводный трехфазный генератор переменного тока, в котором каждая фаза использует отдельную пару проводов передачи.
• 
  Элементарный трехпроводной трехфазный генератор переменного тока, показывающий, что фазы могут разделять только три провода передачи.
• 
  Каждая фаза трехфазного трансформатора имеет свою пару обмоток с общим сердечником.

Сбалансированные нагрузки

Как правило, в электроэнергетических системах нагрузки распределяются по фазам настолько равномерно, насколько это практически возможно. Обычно сначала обсуждают сбалансированную систему, а затем описывают эффекты несбалансированных систем как отклонения от элементарного случая.

Постоянная передача мощности

Важным свойством трехфазной мощности является то, что мгновенная мощность, доступная для резистивной нагрузки, $\scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {V^{2}}{R}}$, всегда постоянен. Действительно, пусть

${\begin{aligned}P_{Li}&={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}\\P_{TOT}&=\sum _{i}P_{Li}\end{aligned}}$

Чтобы упростить математику, мы определяем безразмерную мощность для промежуточных вычислений: $\scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R$

$p=\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}$

Следовательно (заменив обратно):

$P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}.$

Поскольку мы устранили $\theta$ мы видим, что полная мощность не меняется со временем. Это важно для обеспечения бесперебойной работы больших генераторов и двигателей.

Обратите также внимание, что использование среднеквадратического напряжения $V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}$, выражение для $P_{TOT}$ выше принимает следующую более классическую форму:

$P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{R}}$.

Нагрузка не обязательно должна быть резистивной для достижения постоянной мгновенной мощности, поскольку, пока она сбалансирована или одинакова для всех фаз, ее можно записать как

$Z=|Z|e^{j\varphi }$

так что пиковый ток

$I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}$

для всех фаз и мгновенные токи

$I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)$

$I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)$

$I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)$

Теперь мгновенные мощности в фазах равны

$P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)$

$P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)$

$P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)$

Используя формулы вычитания угла :

$P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]$

$P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]$

$P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]$

которые в сумме дают полную мгновенную мощность

$P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}$

Поскольку три члена, заключенные в квадратные скобки, представляют собой трехфазную систему, их сумма равна нулю, и общая мощность становится

$P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi$

или

$P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi$

демонстрируя вышеуказанное утверждение.

Опять же, используя среднеквадратичное напряжение $V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}$, $P_{TOT}$ можно записать в обычном виде

$P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{Z}}\cos \varphi$.

Нет нейтрального тока

В случае равных нагрузок на каждой из трех фаз полезный ток в нейтрали не течет. Нейтральный ток представляет собой инвертированную векторную сумму линейных токов. См. законы цепи Кирхгофа .

${\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\end{aligned}}$

Определим безразмерный ток, $i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}$:

${\begin{aligned}i&=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)+\sin \left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\&=0\end{aligned}}$

Поскольку мы показали, что нейтральный ток равен нулю, мы видим, что удаление нейтрального сердечника не окажет никакого влияния на цепь, при условии, что система сбалансирована. Такие соединения обычно используются только тогда, когда нагрузка на трех фазах является частью одного и того же оборудования (например, трехфазного двигателя), поскольку в противном случае коммутация нагрузок и небольшой дисбаланс могут вызвать большие колебания напряжения.

Несбалансированные системы

На практике системы редко имеют идеально сбалансированные нагрузки, токи, напряжения и импедансы во всех трех фазах. Анализ несбалансированных случаев значительно упрощается за счет использования техники симметричных составляющих . Несбалансированная система анализируется как суперпозиция трех сбалансированных систем, каждая из которых имеет положительную, отрицательную или нулевую последовательность сбалансированных напряжений.

При указании размеров проводов в трехфазной системе нам необходимо знать только величину фазного и нейтрального токов. Ток нейтрали можно определить путем сложения трех фазных токов в виде комплексных чисел и последующего преобразования координат из прямоугольных в полярные. Если трехфазные среднеквадратические токи (RMS) $I_{L1}$, $I_{L2}$, и $I_{L3}$, нейтральный среднеквадратичный ток равен:

$I_{L1}+I_{L2}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+jI_{L2}\sin \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+I_{L3}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \right)+jI_{L3}\sin \left({\frac {4}{3}}\pi \right)$

который решает

$I_{L1}-I_{L2}{\frac {1}{2}}-I_{L3}{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left(I_{L2}-I_{L3}\right)$

Полярная величина этого представляет собой квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой частей, что сводится к

${\sqrt {I_{L1}^{2}+I_{L2}^{2}+I_{L3}^{2}-I_{L1}I_{L2}-I_{L1}I_{L3}-I_{L2}I_{L3}}}$

Нелинейные нагрузки

При линейных нагрузках нейтраль проводит ток только из-за дисбаланса между фазами. Устройства, в которых используются выпрямительные конденсаторы (например, импульсные источники питания для компьютеров, офисного оборудования и т.п.), вносят гармоники третьего порядка. Токи третьей гармоники синфазны на каждой из фаз питания и, следовательно, будут суммироваться в нейтрали, что может привести к тому, что ток нейтрали в системе звезда превысит фазные токи.

Вращающееся магнитное поле

Любая многофазная система за счет смещения во времени токов в фазах позволяет легко создать магнитное поле, вращающееся с частотой сети. Такое вращающееся магнитное поле делает возможными многофазные асинхронные двигатели . Действительно, когда асинхронные двигатели должны работать от однофазной энергии (которая обычно распределяется в домах), двигатель должен содержать некоторый механизм для создания вращающегося поля, иначе двигатель не сможет генерировать крутящий момент в состоянии покоя и не запустится. Поле, создаваемое однофазной обмоткой, может обеспечить энергией уже вращающийся двигатель, но без вспомогательных механизмов двигатель не разгонится с места.

Вращающееся магнитное поле постоянной амплитуды требует, чтобы все три фазных тока были равны по величине и точно смещались по фазе на одну треть цикла. Несбалансированная работа приводит к нежелательным последствиям для двигателей и генераторов.

Преобразование в другие фазовые системы

При условии, что два сигнала напряжения имеют хотя бы некоторое относительное смещение по оси времени, отличное от кратного полупериоду, любой другой многофазный набор напряжений может быть получен с помощью массива пассивных трансформаторов . Такие массивы позволят равномерно балансировать многофазную нагрузку между фазами исходной системы. Например, сбалансированную двухфазную мощность можно получить из трехфазной сети, используя два специально сконструированных трансформатора с отводами на 50% и 86,6% первичного напряжения. Это Scott T соединение создает настоящую двухфазную систему с разницей во времени между фазами 90°. Другим примером является создание систем с более высоким порядком фаз для больших выпрямительных систем, чтобы обеспечить более плавный выход постоянного тока и уменьшить гармонические токи в источнике питания.

Когда требуется трехфазное питание, но у поставщика электроэнергии имеется только однофазное питание, можно использовать фазовый преобразователь для выработки трехфазной энергии из однофазного источника питания. Мотор -генератор часто используется в промышленных целях.

Системные измерения

В трехфазной системе необходимо как минимум два датчика для измерения мощности при отсутствии нейтрали или три преобразователя при наличии нейтрали. Теорема Блонделя утверждает, что количество необходимых измерительных элементов на один меньше, чем количество проводников с током.

См. также

• Чарльз Протеус Стейнмец
• Галилео Феррарис
• Джон Хопкинсон
• Михаил Доливо-Добровольский
• Никола Тесла
• Многофазная система
• Трехфазная электроэнергия
• Преобразование Y-Δ

Ссылки

• Стивенсон, Уильям Д. младший (1975). Элементы анализа энергетических систем . Серия McGraw-Hill по электротехнике и электронике (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-061285-4 .