Y-D преобразование

Эта статья о применении математического метода в электротехнике. О самой математической технике см. YΔ- и ΔY-преобразования . Чтобы узнать об устройстве, преобразующем трехфазную электроэнергию, см. Трансформатор «треугольник» . Чтобы узнать о применении в статистической механике, см. уравнение Янга – Бакстера . Чтобы узнать о торговой марке региональной авиакомпании Delta Air Lines, см. Delta Connection .

В электротехнике преобразование Y -Δ , также называемое «звезда-дельта» и известное под многими другими названиями, представляет собой математический метод, упрощающий анализ электрической сети . Название происходит от формы электрических схем , которые выглядят соответственно как буква Y и греческая заглавная буква Δ . Эта теория преобразования схем была опубликована Артуром Эдвином Кеннелли в 1899 году. Он широко используется при анализе трехфазных электрических цепей.

Преобразование Y-Δ можно рассматривать как частный случай преобразования «звезда» для трех резисторов . В математике преобразование Y-Δ играет важную роль в теории круговых плоских графов .

Имена

Иллюстрация преобразования в его T-Π-представлении.

Преобразование Y-Δ известно под множеством других названий, в основном основанных на двух задействованных формах, перечисленных в любом порядке. Букву Y , записываемую как «звезда» , также можно назвать «Т» или «звезда» ; Δ пи , обозначаемая как дельта , также может называться треугольником , Π (обозначается как ) или сеткой . Таким образом, общие названия преобразования включают звезда-треугольник или дельта-звезда , звезда-треугольник , звезда-сетка или T-Π .

Базовое преобразование Y-Δ

Цепи Δ и Y с метками, которые используются в этой статье.

Преобразование используется для установления эквивалентности сетей с тремя терминалами. Если три элемента заканчиваются в общем узле и ни один из них не является источником, узел исключается путем преобразования импедансов. Для эквивалентности импеданс между любой парой терминалов должен быть одинаковым для обеих сетей. Приведенные здесь уравнения действительны как для комплексных, так и для действительных импедансов. Комплексное сопротивление — это величина, измеряемая в Омах , которая представляет сопротивление в виде положительных действительных чисел обычным способом, а также представляет реактивное сопротивление в виде положительных и отрицательных мнимых значений .

Уравнения преобразования Δ в Y

Общая идея состоит в том, чтобы вычислить импеданс $R_{\text{Y}}$ в конечном узле цепи Y с сопротивлениями $R'$, $R''$ к соседним узлам в Δ-цепи путем

$R_{\text{Y}}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}$

где $R_{\Delta }$ все импедансы в цепи Δ. Это дает конкретную формулу

${\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{2}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\\[3pt]R_{3}&={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}$

Уравнения преобразования Y в Δ

Общая идея состоит в том, чтобы вычислить импеданс $R_{\Delta }$ в цепи Δ на

$R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\text{opposite}}}}$

где $R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}$ представляет собой сумму произведений всех пар импедансов в цепи Y и $R_{\text{opposite}}$ - импеданс узла в цепи Y, который находится напротив края с $R_{\Delta }$. Таким образом, формулы для отдельных ребер имеют вид

${\begin{aligned}R_{\text{a}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\[3pt]R_{\text{b}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\[3pt]R_{\text{c}}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}$

Или, если использовать проводимость вместо сопротивления:

${\begin{aligned}Y_{\text{a}}&={\frac {Y_{3}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{b}}&={\frac {Y_{3}Y_{1}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\\[3pt]Y_{\text{c}}&={\frac {Y_{1}Y_{2}}{\sum Y_{\text{Y}}}}\end{aligned}}$

Обратите внимание, что общая формула преобразования Y в Δ с использованием адмиттанса аналогична формуле преобразования Δ в Y с использованием сопротивления.

Доказательство существования и единственности преобразования

Возможность преобразования можно показать как следствие теоремы суперпозиции для электрических цепей . Краткое доказательство, а не выведенное как следствие более общего преобразования звездной сетки , может быть дано следующим образом. Эквивалентность заключается в утверждении, что для любых внешних напряжений ( $V_{1},V_{2}$ и $V_{3}$), применяя в трех узлах ( $N_{1},N_{2}$ и $N_{3}$), соответствующие токи ( $I_{1},I_{2}$ и $I_{3}$) совершенно одинаковы как для схемы Y, так и для схемы Δ, и наоборот. В этом доказательстве мы начинаем с заданных внешних токов в узлах. Согласно теореме суперпозиции, напряжения можно получить, изучая суперпозицию результирующих напряжений в узлах следующих трех задач, применяемых в трех узлах с током:

1. ${\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{1}-I_{2}\right),0$
2. $0,{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right),-{\frac {1}{3}}\left(I_{2}-I_{3}\right)$ и
3. $-{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right),0,{\frac {1}{3}}\left(I_{3}-I_{1}\right)$

Эквивалентность можно легко показать, используя законы цепи Кирхгофа , которые $I_{1}+I_{2}+I_{3}=0$. Теперь каждая задача относительно проста, поскольку она включает в себя только один идеальный источник тока. Чтобы получить абсолютно одинаковые выходные напряжения в узлах для каждой задачи, эквивалентные сопротивления в двух цепях должны быть одинаковыми, это можно легко найти, воспользовавшись основными правилами последовательного и параллельного построения цепей :

$R_{3}+R_{1}={\frac {\left(R_{\text{c}}+R_{\text{a}}\right)R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}},\quad {\frac {R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{\text{a}}}{R_{\text{c}}}}.$

Хотя обычно шести уравнений более чем достаточно, чтобы выразить три переменные ( $R_{1},R_{2},R_{3}$) через три другие переменные( $R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}$), здесь легко показать, что эти уравнения действительно приводят к приведенным выше выражениям.

Фактически теорема суперпозиции устанавливает связь между значениями сопротивлений, а теорема единственности гарантирует единственность такого решения.

Упрощение сетей

Резистивные сети между двумя терминалами теоретически можно упростить до одного эквивалентного резистора (в более общем плане то же самое относится и к импедансу). Последовательные и параллельные преобразования являются основными инструментами для этого, но для сложных сетей, таких как показанный здесь мост, их недостаточно.

Преобразование Y-Δ можно использовать для исключения одного узла за раз и создания сети, которую можно дополнительно упростить, как показано.

Преобразование мостовой резисторной сети с использованием преобразования Y-Δ для исключения узла D дает эквивалентную сеть, которую можно легко упростить в дальнейшем.

Обратное преобразование Δ-Y, добавляющее узел, часто также удобно, чтобы подготовить почву для дальнейшего упрощения.

Преобразование мостовой резисторной сети с использованием Δ-Y-преобразования также дает эквивалентную сеть, которую можно легко упростить в дальнейшем.

Любую двухполюсную сеть, представленную плоским графом, можно свести к одному эквивалентному резистору с помощью последовательности последовательных, параллельных преобразований Y-Δ и Δ-Y. Однако существуют неплоские сети, которые невозможно упростить с помощью этих преобразований, например, регулярная квадратная сетка, обернутая вокруг тора , или любого члена семейства Петерсена .

Теория графов

В теории графов преобразование Y-Δ означает замену подграфа Y графа эквивалентным подграфом Δ. Преобразование сохраняет количество ребер в графе, но не количество вершин или количество циклов . Два графа называются Y-Δ эквивалентными , если один можно получить из другого серией преобразований Y-Δ в любом направлении. Например, семейство Петерсена Y-Δ представляет собой класс эквивалентности .

Демонстрация

Уравнения преобразования Δ-нагрузки в Y-нагрузку

Цепи Δ и Y с метками, которые используются в этой статье.

Связать $\left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}$ от Δ до $\left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}$ от Y сравнивается импеданс между двумя соответствующими узлами. Импеданс в любой конфигурации определяется так, как если бы один из узлов был отключен от цепи.

Сопротивление между N ₁ и N ₂ при N ₃ отключенном по Δ:

${\begin{aligned}R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)&=R_{\text{c}}\parallel (R_{\text{a}}+R_{\text{b}})\\[3pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{\text{c}}}}+{\frac {1}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}}}}}\\[3pt]&={\frac {R_{\text{c}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}\right)}{R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}}}\end{aligned}}$

Для упрощения пусть $R_{\text{T}}$ быть суммой $\left\{R_{\text{a}},R_{\text{b}},R_{\text{c}}\right\}$.

$R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}$

Таким образом,

$R_{\Delta }\left(N_{1},N_{2}\right)={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}$

Соответствующее сопротивление между N ₁ и N ₂ в Y простое:

$R_{\text{Y}}\left(N_{1},N_{2}\right)=R_{1}+R_{2}$

следовательно:

$R_{1}+R_{2}={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}$   (1)

Повторение для $R(N_{2},N_{3})$:

$R_{2}+R_{3}={\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}$   (2)

и для $R\left(N_{1},N_{3}\right)$:

$R_{1}+R_{3}={\frac {R_{\text{b}}\left(R_{\text{a}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}}}.$   (3)

Отсюда значения $\left\{R_{1},R_{2},R_{3}\right\}$ может быть определена путем линейной комбинации (сложения и/или вычитания).

Например, сложение (1) и (3), а затем вычитание (2) дает

${\begin{aligned}R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}&={\frac {R_{\text{c}}(R_{\text{a}}+R_{\text{b}})}{R_{\text{T}}}}+{\frac {R_{\text{b}}(R_{\text{a}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}-{\frac {R_{\text{a}}(R_{\text{b}}+R_{\text{c}})}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow 2R_{1}&={\frac {2R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\\[3pt]{}\Rightarrow R_{1}&={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}.\end{aligned}}$

Для полноты:

$R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}$ (4)

$R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}$ (5)

$R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}$ (6)

Уравнения преобразования Y-нагрузки в Δ-нагрузку

Позволять

$R_{\text{T}}=R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}$.

Мы можем записать уравнения Δ для Y как

$R_{1}={\frac {R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}$   (1)

$R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}$   (2)

$R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}}{R_{\text{T}}}}.$   (3)

Умножение пар уравнений дает

$R_{1}R_{2}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}}{R_{\text{T}}^{2}}}$   (4)

$R_{1}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}$   (5)

$R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}$   (6)

и сумма этих уравнений равна

$R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}^{2}+R_{\text{a}}R_{\text{b}}^{2}R_{\text{c}}+R_{\text{a}}^{2}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}^{2}}}$   (7)

Фактор $R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}$ с правой стороны, оставляя $R_{\text{T}}$ в числителе, сокращая с помощью $R_{\text{T}}$ в знаменателе.

${\begin{aligned}R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}&={}{\frac {\left(R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}\right)\left(R_{\text{a}}+R_{\text{b}}+R_{\text{c}}\right)}{R_{\text{T}}^{2}}}\\&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}\end{aligned}}$ (8)

Обратите внимание на сходство между (8) и {(1), (2), (3)}

Разделить (8) на (1)

${\begin{aligned}{\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}&={}{\frac {R_{\text{a}}R_{\text{b}}R_{\text{c}}}{R_{\text{T}}}}{\frac {R_{\text{T}}}{R_{\text{b}}R_{\text{c}}}}\\&={}R_{\text{a}},\end{aligned}}$

какое уравнение для $R_{\text{a}}$. Разделив (8) на (2) или (3) (выражения для $R_{2}$ или $R_{3}$) дает остальные уравнения.

Преобразование Δ в Y практического генератора

При анализе сбалансированных трехфазных энергосистем обычно вместо этого анализируется эквивалентная пофазная (или однофазная) цепь из-за ее простоты. Для этого используются эквивалентные звездные соединения для генераторов , трансформаторов , нагрузок и двигателей . Обмотки статора практического трехфазного генератора, соединенного треугольником, показанного на следующем рисунке, можно преобразовать в эквивалентный генератор, соединенный звездой, используя шесть следующих формул: :

Практичный генератор, подключенный по схеме дельта/треугольник/пи. Показанные величины представляют собой векторные напряжения и комплексные импедансы. Нажмите на изображение, чтобы развернуть его.

${\begin{aligned}&Z_{\text{s1Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s2Y}}={\dfrac {Z_{\text{s1}}\,Z_{\text{s2}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&Z_{\text{s3Y}}={\dfrac {Z_{\text{s2}}\,Z_{\text{s3}}}{Z_{\text{s1}}+Z_{\text{s2}}+Z_{\text{s3}}}}\\[2ex]&V_{\text{s1Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}-{\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}\right)Z_{\text{s1Y}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}-{\dfrac {V_{\text{s1}}}{Z_{\text{s1}}}}\right)Z_{\text{s2Y}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}=\left({\dfrac {V_{\text{s3}}}{Z_{\text{s3}}}}-{\dfrac {V_{\text{s2}}}{Z_{\text{s2}}}}\right)Z_{\text{s3Y}}\end{aligned}}$

В результате сеть выглядит следующим образом. Нейтральный узел эквивалентной сети является фиктивным, как и векторные напряжения между фазой и нейтралью. Во время преобразования линейные векторные токи и линейные (или междуфазные или междуфазные) векторные напряжения не изменяются.

Эквивалентный практический генератор, подключенный по схеме звезда/звезда/тройник. Нажмите на изображение, чтобы развернуть его.

Если реальный дельта-генератор сбалансирован, то есть внутренние векторные напряжения имеют одинаковую величину и сдвинуты по фазе на 120° между собой, а три комплексных импеданса одинаковы, то предыдущие формулы сводятся к следующим четырем:

${\begin{aligned}&Z_{\text{sY}}={\dfrac {Z_{\text{s}}}{3}}\\&V_{\text{s1Y}}={\dfrac {V_{\text{s1}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s2Y}}={\dfrac {V_{\text{s2}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\\[2ex]&V_{\text{s3Y}}={\dfrac {V_{\text{s3}}}{{\sqrt {3}}\,\angle \pm 30^{\circ }}}\end{aligned}}$

где для последних трех уравнений используется первый знак (+), если последовательность фаз положительная/ abc , или второй знак (-), если последовательность фаз отрицательная/ acb .

См. также

• Преобразование звездной сетки
• Сетевой анализ (электрические цепи)
• Электрическая сеть , трехфазная мощность , многофазные системы на примерах соединений Y и Δ.
• Двигатель переменного тока для обсуждения метода запуска Y-Δ.

Библиография

• Уильям Стивенсон, Элементы анализа энергосистем, 3-е изд., МакГроу Хилл, Нью-Йорк, 1975 г., ISBN   0-07-061285-4

Внешние ссылки

• Преобразование звезда-треугольник : знания о резистивных цепях и резисторах.
• Калькулятор преобразования Звезда-Треугольник