Преобразование эквивалентного импеданса

Линейный сетевой анализ
Элементы
Компоненты
Последовательные и параллельные цепи
Преобразование импеданса
Теоремы о генераторе	Сетевые теоремы
Методы сетевого анализа
Двухпортовые параметры

Эквивалентное сопротивление – это эквивалентная схема электрической сети из импедансных элементов. который обеспечивает одинаковое сопротивление между всеми парами клемм как и данная сеть. В этой статье описываются математические преобразования между некоторыми пассивными импеданса , цепями линейного обычно встречающимися в электронных схемах.

Существует ряд очень хорошо известных и часто используемых эквивалентных схем в линейном анализе сетей . К ним относятся резисторы, включенные последовательно , резисторы, включенные параллельно , а также расширение последовательных и параллельных цепей для конденсаторов , катушек индуктивности и общих импедансов. Также хорошо известны Нортона и Тевенена схемы эквивалентного генератора тока и напряжения соответственно, а также преобразование Y-Δ . Ни один из них здесь подробно не обсуждается; следует ознакомиться с отдельными связанными статьями.

Число эквивалентных схем, в которые может быть преобразована линейная сеть, не ограничено. Даже в самых тривиальных случаях это можно увидеть, например, спросив, сколько различных комбинаций параллельно включенных резисторов эквивалентны данному комбинированному резистору. Количество последовательных и параллельных комбинаций, которые могут быть сформированы, растет экспоненциально с увеличением количества резисторов n . Численными методами было обнаружено, что для больших n размер набора составляет примерно 2,53. ^н и аналитически строгие границы задаются последовательностью Фарея Фибоначчи чисел . Эта статья никогда не сможет быть всеобъемлющей, но возможны некоторые обобщения. Вильгельм Кауэр нашел преобразование, которое могло бы породить все возможные эквиваленты данного рационального, пассивный, линейный, однопортовый , или, другими словами, любое заданное двухполюсное сопротивление. Также часто встречаются преобразования 4-полюсных, особенно 2-портовых сетей, а также возможны преобразования еще более сложных сетей.

Огромный масштаб темы эквивалентных схем подчеркивается в истории, рассказанной Сидни Дарлингтоном . По словам Дарлингтона, большое количество эквивалентных схем было найдено Рональдом М. Фостером после его и Джорджа Кэмпбелла статьи 1920 года о недиссипативных четырехпортовых схемах. В ходе этой работы они рассмотрели способы соединения четырех портов между собой с помощью идеальных трансформаторов. и максимальная передача мощности. Они нашли ряд комбинаций, которые могли бы иметь практическое применение, и обратились в патентный отдел AT&T с просьбой запатентовать их. Патентный отдел ответил, что бессмысленно просто патентовать некоторые схемы, если конкурент может использовать эквивалентную схему, чтобы обойти патент; им следует запатентовать все из них или не заморачиваться. Поэтому Фостер приступил к подсчету каждого из них. Он получил огромную сумму — 83 539 эквивалентов (577 722, если включить разные соотношения выходов). Их было слишком много, чтобы их можно было запатентовать, поэтому вместо этого информация была опубликована в открытом доступе, чтобы помешать конкурентам AT&T запатентовать их в будущем.

2-полюсные, 2-элементные сети

Одиночный импеданс имеет две клеммы для подключения к внешнему миру, поэтому его можно описать как сеть с двумя клеммами или сетью с одним портом . Несмотря на простое описание, ограничений на количество сеток нет. и, следовательно, сложность и количество элементов, которые может иметь импедансная сеть. 2-элементный тип сети распространены в схемотехнике; фильтры, например, часто представляют собой LC сети печатных схем -типа, а разработчики отдают предпочтение сетям RC -типа, поскольку индукторы менее просты в изготовлении. Преобразования проще и легче найти, чем для трехэлементных сетей. Одноэлементные сети можно рассматривать как частный случай двухэлементных сетей. Преобразования, описанные в этом разделе, можно использовать в некоторых трехэлементных сетях, заменив элемент Z _n сетью элементов . Однако это ограничивается заменой максимум двух импедансов; остальное не будет свободным выбором. Все уравнения преобразования, приведенные в этом разделе, принадлежат Отто Зобелю .

3-элементные сети

Одноэлементные сети бывают тривиальными и двухэлементными, двухполюсники - это либо два элемента последовательно, либо два элемента параллельно, что тоже тривиально. Наименьшее количество нетривиальных элементов равно трем, и возможны два нетривиальных преобразования двухэлементного типа, одно из которых является одновременно обратным преобразованием и топологическим двойственным преобразованием другого.

Описание	Сеть	Преобразование уравнений	Преобразованная сеть
Трансформация 1.1 Преобразование 1.2 является обратным этому преобразованию.		$p_{1}=1+m_{1}\ ,$  $p_{2}=m_{1}(1+m_{1})\ ,$  $p_{3}=(1+m_{1})^{2}\ .$
Трансформация 1.2 Обратное преобразование и топологическое двойственное преобразованию 1.1.		$p_{1}={\frac {{m_{1}}^{2}}{1+m_{1}}}\ ,$  $p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,$  $p_{3}=\left({\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\right)^{2}\ .$
Пример 1. Пример Трансформации 1.2. Уменьшенный размер индуктора имеет практические преимущества.		$m_{1}=0.5\ ,$  $p_{1}=\textstyle {\frac {1}{6}}\ ,$ $p_{2}=\textstyle {\frac {1}{3}}\ ,$ $p_{3}=\textstyle {\frac {1}{9}}\ .$

4-элементные сети

Существует четыре нетривиальных 4-элементных преобразования для сетей 2-элементного типа. Два из них являются обратными трансформациями двух других, а два — двойственными двум другим. Дальнейшие преобразования возможны в частном случае, когда Z ₂ делается того же типа элемента, что и Z ₁ , то есть когда сеть сводится к одноэлементному виду. Число возможных сетей продолжает расти по мере увеличения количества элементов. Для всех записей в следующей таблице определено:

$q_{1}:=1+m_{1}+m_{2}\,\!$ , $q_{2}:={\sqrt {{q_{1}}^{2}-4m_{1}m_{2}}}\,\!$ , $q_{3}:={\frac {(1+m_{1})(1+m_{2})}{(m_{1}-m_{2})^{2}}}$ ,	$q_{4}:={\frac {q_{2}-q_{1}+2m_{2}}{2q_{2}}}$ , $q_{5}:={\frac {q_{2}+q_{1}-2m_{2}}{2q_{2}}}$ .

Описание	Сеть	Преобразование уравнений	Преобразованная сеть
Трансформация 2.1 Преобразование 2.2 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.3 является топологическим двойником этого преобразования.		$p_{1}={\frac {q_{1}+q_{2}}{2q_{5}}}\ ,$ $p_{2}={\frac {q_{1}-q_{2}}{2q_{4}}}\ ,$ $p_{3}={\frac {m_{2}}{q_{5}}}\ ,$ $p_{4}={\frac {m_{2}}{q_{4}}}\ .$
Трансформация 2.2 Преобразование 2.1 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.4 является топологическим двойником этого преобразования.		$p_{1}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{2})}}\ ,$ $p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,$ $p_{3}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{1})}}\ ,$ $p_{4}={\frac {m_{2}}{1+m_{2}}}\ .$
Трансформация 2.3 Преобразование 2.4 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.1 является топологическим двойником этого преобразования.		$p_{1}={\frac {q_{4}(q_{1}+q_{2})}{2m_{2}}}\ ,$ $p_{2}={\frac {q_{5}(q_{1}-q_{2})}{2m_{2}}}\ ,$ $p_{3}=q_{4}\ ,$ $p_{4}=q_{5}\ .$
Трансформация 2.4 Преобразование 2.3 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.2 является топологическим двойником этого преобразования.		$p_{1}=1+m_{1}\ ,$ $p_{2}=m_{1}q_{3}(1+m_{1})\ ,$ $p_{3}=1+m_{2}\ ,$ $p_{4}=m_{1}q_{3}(1+m_{2})\ .$
Пример 2. Пример Трансформации 2.2.		$m_{1}=3\ ,$ $m_{2}=1\ ,$ $q_{3}=2\ ,$ $p_{1}=\textstyle {\frac {1}{4}}\ ,$ $p_{2}=\textstyle {\frac {3}{4}}\ ,$ $p_{3}=\textstyle {\frac {1}{8}}\ ,$ $p_{4}=\textstyle {\frac {1}{2}}\ .$

2-полюсные, n -элементные, 3-элементные сети

Рис. 1. Простой пример сети импедансов с использованием резисторов только для наглядности. Однако анализ сетей с другими импедансными элементами осуществляется по тем же принципам. Показаны две сетки с номерами в кружках. Сумма импедансов вокруг каждой сетки, p, будет формировать диагональ элементов матрицы Z _pp . Импеданс ветвей, общих для двух сеток p и q, будет формировать записи — Z _pq . Z _pq , p≠q, всегда будет иметь знак минус при условии, что токи в контуре определены в одном и том же направлении (обычно против часовой стрелки) и сетка не содержит идеальных трансформаторов или взаимных индукторов.

С простыми сетями, состоящими всего из нескольких элементов, можно справиться, формулируя сетевые уравнения «вручную» с применением простых сетевых теорем, таких как законы Кирхгофа . Эквивалентность между двумя сетями доказывается путем непосредственного сравнения двух наборов уравнений и приравнивания коэффициентов . Для больших сетей требуются более мощные методы. Обычный подход состоит в том, чтобы начать с представления сети импедансов в виде матрицы . Этот подход хорош только для рациональных сети. Любая сеть, включающая распределенные элементы , например, линия передачи , не может быть представлена ​​конечной матрицей. Обычно n -сетка сети требуется матрица размера n x n Для представления . Например, матрица для трехячеистой сети может выглядеть так:

$\mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}$

Элементы матрицы выбираются так, чтобы матрица образовывала систему линейных уравнений относительно напряжений и токов сетки (как определено для анализа сетки ):

$\mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]}$

Пример диаграммы на рисунке 1, например, можно представить в виде матрицы импеданса следующим образом:

$\mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}$

и связанная с ней система линейных уравнений имеет вид

${\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

В самом общем случае каждая ветвь Z _p сети может состоять из трех элементов так, что

$Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}$

где L , R и C представляют собой индуктивность , сопротивление и емкость соответственно, а s — комплексной частоты. оператор $\scriptstyle s=\sigma +i\omega$.

Это общепринятый способ представления общего импеданса, но для целей этой статьи математически удобнее иметь дело с D эластичностью , обратной величиной емкости C . В этих терминах общий импеданс ветви можно представить как

$sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!$

Аналогично, каждая запись матрицы импеданса может состоять из суммы трех элементов. Следовательно, матрицу можно разложить на три матрицы размера n x n , по одной для каждого из трех типов элементов:

$s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]}$

Желательно, чтобы матрица [ Z ] представляла импеданс Z ( s ). Для этого петля одной из ячеек разрезается, а Z ( s ) — импеданс, измеренный между разрезанными таким образом точками. Обычно предполагается, что порт внешнего подключения находится в сетке 1 и, следовательно, подключен через вход матрицы Z ₁₁ , хотя было бы вполне возможно сформулировать это с помощью подключений к любым желаемым узлам. В последующем обсуждении Z ( s ) взято через Z ₁₁ предполагается, что . Z ( s ) можно вычислить из [ Z ] по

$Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}$

где z ₁₁ — дополнение к Z ₁₁ и | Я | является определителем [ Z ].

Для приведенного выше примера сети:

$|\mathbf {Z} |=(R_{1}+R_{2})(R_{2}+R_{3})-{R_{2}}^{2}=R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\ ,$

$z_{11}=Z_{22}=R_{2}+R_{3}\ ,$ и,

$Z(s)=R_{1}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}\ .$

Правильность этого результата легко проверить более прямым методом последовательного и параллельного подключения резисторов. Однако такие методы быстро становятся утомительными и громоздкими с ростом размера и сложности анализируемой сети.

Записи [ R ], [ L ] и [ D ] не могут быть установлены произвольно. Чтобы [ Z ] мог реализовать импеданс Z ( s ), тогда [ R ],[ L ] и [ D ] все должны быть положительно определенными матрицами . Даже тогда реализация Z ( s ) будет, вообще говоря, содержать идеальные преобразователи внутри сети. Найти только те преобразования, которые не требуют взаимных индуктивностей или идеальных трансформаторов, является более сложной задачей. Аналогично, если начать с «другого конца» и указать выражение для Z ( s ), это опять-таки нельзя сделать произвольно. Чтобы быть реализованным как рациональный импеданс, Z ( s ) должен быть положительно-действительным . Условие положительно-действительного (PR) является одновременно необходимым и достаточным. но могут быть практические причины для отказа от некоторых топологий .

Общее преобразование импеданса для поиска эквивалентных рациональных однопортовых из данного экземпляра [ Z ] принадлежит Вильгельму Кауэру . Группа вещественных аффинных преобразований

$\mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]}$

где

$\mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}$

инвариантен в Z ( s ). То есть все преобразованные сети эквивалентны согласно данному здесь определению. Если Z ( s ) для исходной заданной матрицы реализуема, то есть удовлетворяет условию PR, то все преобразованные сети, созданные в результате этого преобразования, также будут удовлетворять условию PR.

3- и 4-полюсные сети

Рис. 2. 4-клеммная сеть, соединенная портами (вверху), имеет равные и противоположные токи в каждой паре клемм. Нижняя сеть не соответствует условию порта и не может рассматриваться как двухпортовая. Однако его можно рассматривать как несбалансированный 3-портовый, разделив один из терминалов на три общих терминала, совместно используемых всеми портами.

При обсуждении 4-полюсных сетей сетевой анализ часто проводится с точки зрения 2-портовых сетей, которые охватывают широкий спектр практически полезных схем. «2-портовый», по сути, относится к способу подключения сети к внешнему миру: терминалы попарно подключены к источнику или нагрузке. Можно взять точно такую ​​же сеть и подключить ее к внешней схеме таким образом, чтобы она больше не работала как 2-портовая. Эта идея продемонстрирована на рисунке 2.

Эквивалентные несбалансированные и сбалансированные сети. Импеданс последовательных элементов в симметричной версии составляет половину соответствующего импеданса несимметричной версии.

Рис. 3. Чтобы быть сбалансированной, сеть должна иметь одинаковое сопротивление в каждой «ветви» цепи.

Сеть с 3 терминалами также может использоваться как 2-портовая. Для этого один из терминалов подключается совместно с одним терминалом обоих портов. Другими словами, один терминал был разделен на два терминала, и сеть фактически была преобразована в сеть с 4 терминалами. Эта топология известна как несбалансированная топология и противоположна сбалансированной топологии. Сбалансированная топология требует, как показано на рисунке 3, чтобы импеданс, измеренный между клеммами 1 и 3, был равен импедансу, измеренному между 2 и 4. Это пары клемм, не образующие порты: случай, когда пары клемм, образующих порты, имеют равные значения. импеданс называется симметричным . Строго говоря, любая сеть, не удовлетворяющая условию балансировки, является несбалансированной, но этот термин чаще всего относится к 3-полюсной топологии, описанной выше и на рисунке 3. Преобразование несбалансированной 2-портовой сети в сбалансированную сеть обычно довольно просто. : все последовательно соединенные элементы разделены пополам, причем одна половина перемещается в общую ветвь. Преобразование из сбалансированной в несбалансированную топологию часто возможно с помощью обратного преобразования, но в некоторых случаях определенные топологии невозможно преобразовать таким способом. Например, см. обсуждение решеточных преобразований ниже.

Примером преобразования сети с 3 терминалами, которое не ограничивается 2 портами, является преобразование Y-Δ . Это особенно важное преобразование для нахождения эквивалентных импедансов. Его важность обусловлена ​​тем фактом, что общий импеданс между двумя терминалами не может быть определен исключительно путем расчета последовательных и параллельных комбинаций, за исключением определенного ограниченного класса сети. В общем случае требуются дополнительные преобразования. Преобразование Y-Δ, его обратное преобразование Δ-Y и n -концевые аналоги этих двух преобразований ( преобразования звезда-многоугольник ) представляют собой минимальные дополнительные преобразования, необходимые для решения общего случая. Последовательная и параллельная топология, по сути, представляют собой двухполюсные версии звездообразной и многоугольной топологии. Распространенной простой топологией, которую невозможно решить с помощью последовательных и параллельных комбинаций, является входное сопротивление мостовой сети (за исключением особого случая, когда мост находится в балансе). Остальные преобразования в этом разделе можно использовать только с 2 портами.

Решетчатые преобразования

Симметричные двухпортовые сети можно преобразовать в решетчатые сети с помощью теоремы Бартлетта о бисекции . Этот метод ограничен симметричными сетями, но он включает в себя множество топологий, обычно встречающихся в фильтрах, аттенюаторах и эквалайзерах . Топология решетки по своей сути сбалансирована, несбалансированного аналога решетки не существует, и для нее обычно требуется больше компонентов, чем для преобразованной сети.

Некоторые общие сети преобразованы в решетки (X-сети)
Описание	Сеть	Преобразование уравнений	Преобразованная сеть
Трансформация 3.1 Преобразование Т-сети в решетчатую сеть.		$Z_{\mathrm {A} }=Z_{1}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{1}+2Z_{2}\ .\!$
Трансформация 3.2 Преобразование Π-сети в решетчатую сеть.		$Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+2Z_{2}}}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{2}\ .$
Трансформация 3.3 Преобразование сети Bridged-T в решетчатую сеть.		$Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{0}}{Z_{1}+2Z_{0}}}\ ,\!$ $Z_{\mathrm {B} }=Z_{0}+2Z_{2}\ .\!$

Обратные преобразования от решетки к несбалансированной топологии не всегда возможны с точки зрения пассивных компонентов. Например, это преобразование:

Описание	Сеть	Преобразованная сеть
Трансформация 3.4 Преобразование решетчатого фазового эквалайзера в Т-цепь.

невозможно реализовать с помощью пассивных компонентов из-за возникающих в преобразованной схеме отрицательных значений. Однако это можно реализовать, если, например, в этой схеме разрешены взаимные индуктивности и идеальные трансформаторы . Другая возможность состоит в том, чтобы разрешить использование активных компонентов, которые позволили бы отрицательные импедансы непосредственно в качестве компонентов схемы. реализовать

Иногда такое преобразование может оказаться полезным не для целей фактического построения преобразованной схемы, а скорее для того, чтобы помочь понять, как работает исходная схема. Следующая схема в мостовой Т-топологии представляет собой модификацию Т-образного фильтра на основе m средней серии . Схема принадлежит Хендрику Боде, который утверждает, что добавление мостового резистора подходящего номинала устранит паразитное сопротивление шунтирующего индуктора. Действие этой схемы становится ясным, если ее преобразовать в Т-топологию – в этой форме в шунтирующей ветви имеется отрицательное сопротивление, которое можно сделать равным положительному паразитному сопротивлению дросселя.

Описание	Сеть	Преобразованная сеть
Трансформация 3.5 Преобразование секции фильтра нижних частот мостового типа в Т-образную секцию.

Любая симметричная сеть может быть преобразована в любую другую симметричную сеть тем же методом, то есть путем сначала преобразования в промежуточную форму решетки (опущена для ясности в приведенном выше примере преобразования) и из формы решетки в требуемую целевую форму. Как и в примере, это обычно приводит к отрицательным элементам, за исключением особых случаев.

Устранение резисторов

Теорема Сидни Дарлингтона утверждает, что любая PR-функция Z ( s ) может быть реализована как двухполюсник без потерь, оканчивающийся положительным резистором R. То есть, независимо от того, сколько резисторов присутствует в матрице [ Z ], представляющей цепь импеданса , можно найти преобразование, которое полностью реализует сеть как сеть типа LC только с одним резистором на выходном порту (который обычно представляет собой нагрузку). Для реализации заданного отклика не требуются никакие резисторы в сети. Следовательно, всегда можно уменьшить 2-полюсные сети 3-элементного типа до 2-портовых сетей 2-элементного типа (LC) при условии, что выходной порт подключен к сопротивлению требуемого значения.

Устранение идеальных трансформаторов

Элементарное преобразование, которое можно выполнить с помощью идеальных трансформаторов и какого-либо другого элемента импеданса, заключается в смещении импеданса на другую сторону трансформатора. Во всех следующих преобразованиях r — коэффициент трансформации трансформатора.

Описание	Сеть	Преобразованная сеть
Трансформация 4.1 Последовательное сопротивление через понижающий трансформатор.
Трансформация 4.2 Шунтируйте сопротивление через понижающий трансформатор.
Трансформация 4.3 Шунтирующая и последовательная цепь импеданса через повышающий трансформатор.

Эти преобразования применимы не только к отдельным элементам; через трансформатор можно пропустить целые сети. Таким образом трансформатор можно переместить по сети в более удобное место.

Дарлингтон предлагает эквивалентное преобразование, которое может полностью исключить идеальный преобразователь. Этот метод требует, чтобы трансформатор находился рядом (или мог быть перемещен рядом) с L-цепью с одинаковыми импедансами. Преобразование во всех вариантах приводит к тому, что сеть «L» смотрит в противоположную сторону, то есть топологически зеркально отражается.

Описание	Сеть	Преобразованная сеть
Трансформация 5.1 Устранение понижающего трансформатора.
Трансформация 5.2 Устранение повышающего трансформатора.
Пример 3. Пример преобразования 5.1.

Пример 3 показывает, что результатом является Π-сеть, а не L-сеть. Причина этого в том, что шунтирующий элемент имеет большую емкость, чем требуется для преобразования, поэтому после применения преобразования ее часть все еще остается. Если бы вместо этого избыток находился в элементе, ближайшем к трансформатору, с этим можно было бы справиться, сначала переместив избыток на другую сторону трансформатора, прежде чем выполнять преобразование.

Библиография

• Бартлетт, AC , «Расширение свойств искусственных линий», Phil. Маг. , том 4 , с. 902, ноябрь 1927 г.
• Белевич В. , «Краткое содержание истории теории цепей», Труды IRE , том 50 , выпуск 5, стр. 848–855, май 1962 г.
• Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и деятельность Вильгельма Кауэра (1900–1945)» , Труды четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем , Перпиньян, июнь 2000 г.
• Фостер, Рональд М .; Кэмпбелл, Джордж А. , «Сети с максимальной выходной мощностью для телефонных подстанций и цепей ретрансляторов» , Труды Американского института инженеров-электриков , том 39 , выпуск 1, стр. 230–290, январь 1920 г.
• Дарлингтон, С. , «История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов», IEEE Trans. Схемы и системы , том 31 , стр. 3–13, 1984.
• Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , The English Universities Press Ltd, 1961.
• Хан, Самин Ахмед, «Последовательности Фэри и резисторные сети» , Труды Индийской академии наук (математические науки) , том 122 , выпуск 2, стр. 153–162, май 2012 г.
• Зобель, О.Дж. , Теория и проектирование однородных и составных фильтров электрических волн , Технический журнал Bell System, Vol. 2 (1923), стр. 1–46.