Положительно-действительная функция

Положительно-действительные функции , часто сокращаемые до PR-функции или PRF , представляют собой разновидность математической функции, впервые возникшей при синтезе электрических сетей . Это комплексные функции Z ( s ) комплексной переменной s . считается Рациональная функция обладающей свойством PR, если она имеет положительную действительную часть, является аналитической в правой половине комплексной плоскости и принимает действительные значения на действительной оси.

В символах определение таково:

{\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \Re (s)>0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \Im (s)=0\end{aligned}}

В анализе электрических сетей Z ( s ) представляет собой выражение импеданса , а s — комплексную частотную переменную, часто выражаемую как ее действительная и мнимая части;

s=\sigma +i\omega \,\!

в каких терминах может быть сформулировано условие PR;

{\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \sigma >0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \omega =0\end{aligned}}

Важность условия PR для сетевого анализа заключается в условии реализуемости. Z ( s ) реализуется как однополюсный рациональный импеданс тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию PR. Реализуемость в этом смысле означает, что импеданс может быть построен из конечного (следовательно, рационального) числа дискретных идеальных пассивных линейных элементов ( резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов в электрической терминологии). ^{[ 1 ]}

Определение

Термин положительно-действительная функция первоначально был определен ^{[ 1 ]} Отто Брюне для описания любой функции Z ( s ), которая ^{[ 2 ]}

рационально , (частное двух многочленов )
реально, когда s реально
имеет положительную действительную часть, когда s имеет положительную действительную часть

Многие авторы строго придерживаются этого определения, открыто требуя рациональности. ^{[ 3 ]} или ограничивая внимание рациональными функциями, по крайней мере, в первую очередь. ^{[ 4 ]} Однако аналогичное, более общее условие, не ограничивающееся рациональными функциями, ранее рассматривалось Кауэром: ^{[ 1 ]} и некоторые авторы приписывают этому типу состояния термин позитивно-реальный , тогда как другие считают его обобщением основного определения. ^{[ 4 ]}

История

Условие было впервые предложено Вильгельмом Кауэром (1926). ^{[ 5 ]} который определил, что это необходимое условие. Отто Брюне (1931) ^{[ 2 ]}^{[ 6 ]} ввел термин «положительно-действительный» для обозначения этого условия и доказал, что оно одновременно необходимо и достаточно для реализуемости.

Характеристики

Сумма двух функций PR – это PR.
Комбинацией . двух функций PR является PR В частности, если Z ( s ) является PR, то такими же являются и 1/ Z ( s ) и Z (1/ s ).
Все нули и полюсы функции ПР находятся в левой полуплоскости или на ее границе мнимой оси.
Любые полюса и нули на мнимой оси простые (имеют кратность единица).
Любые полюса на мнимой оси имеют вещественные строго положительные вычеты , и аналогично в любых нулях на мнимой оси функция имеет действительную строго положительную производную.
В правой полуплоскости минимальное значение действительной части функции PR находится на мнимой оси (поскольку действительная часть аналитической функции представляет собой гармоническую функцию на плоскости и, следовательно, удовлетворяет принципу максимума ).
Для рациональной функции PR число полюсов и количество нулей отличаются не более чем на единицу.

Обобщения

Иногда делается несколько обобщений с целью охарактеризовать функции иммитанса более широкого класса пассивных линейных электрических сетей.

Иррациональные функции

Импеданс Z ( s ) сети, состоящей из бесконечного числа компонентов (например, полубесконечная лестница ), не обязательно должен быть рациональной функцией от s и, в частности, может иметь точки ветвления в левой половине s -плоскости. Поэтому, чтобы включить такие функции в определение PR, необходимо ослабить условие, согласно которому функция должна быть вещественной для всех действительных s , и требовать этого только тогда, когда s положительно. Таким образом, возможно иррациональная функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда

Z ( s ) аналитичен в открытой правой полуплоскости s (Re[ s ] > 0)
Z ( s ) действителен, когда s положителен и действителен
Re[ Z ( s )] ≥ 0, когда Re[ s ] ≥ 0

Некоторые авторы начинают с этого более общего определения, а затем конкретизируют его до рационального случая.

Матричные функции

Линейные электрические сети с более чем одним портом могут быть описаны матрицами импеданса или адмиттанса . Таким образом, расширив определение PR до матричных функций, можно отличить пассивные линейные многопортовые сети от тех, которые таковыми не являются. Возможно иррациональная матрица-функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда

Каждый элемент Z ( s ) аналитичен в открытой правой полуплоскости ( Re[ s ] > 0).
Каждый элемент Z ( s ) действителен, когда s положителен и действителен.
Эрмитова + часть ( Z ( s ) Z ^†( s ))/2 из Z ( s ) положительно полуопределена , когда Re[ s ] ≥ 0

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и деятельность Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г. Получено онлайн 19 сентября 2008 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Брюн, О., «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», Докторская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1931. Проверено онлайн 3 июня 2010 г.
^ Бакши, Удай; Бакши, Аджай (2008). Сетевая теория . Пуна: Технические публикации. ISBN 978-81-8431-402-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Винг, Омар (2008). Классическая теория цепей . Спрингер. ISBN 978-0-387-09739-8 .
^ Кауэр, В., «Реализация сопротивления переменному току с заданной частотной зависимостью», Архив электротехники , том 17 , стр. 355–388, 1926.
^ Брюн, О, «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», J. Math. и физ. , том 10 , стр. 191–236, 1931.

Вильгельм Кауэр (1932) Интеграл Пуассона для функций с положительной действительной частью , Бюллетень Американского математического общества 38:713–7, ссылка из проекта Евклид .
В. Кауэр (1932) «О функциях с положительной вещественной частью» , Mathematical Annals 106: 369–94.

[CauerMathisPauli-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и деятельность Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г. Получено онлайн 19 сентября 2008 г.

[Brune1931a-2] Перейти обратно: ^а ^б Брюн, О., «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», Докторская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1931. Проверено онлайн 3 июня 2010 г.

[3] Бакши, Удай; Бакши, Аджай (2008). Сетевая теория . Пуна: Технические публикации. ISBN 978-81-8431-402-1 .

[Wing-4] Перейти обратно: ^а ^б Винг, Омар (2008). Классическая теория цепей . Спрингер. ISBN 978-0-387-09739-8 .

[5] Кауэр, В., «Реализация сопротивления переменному току с заданной частотной зависимостью», Архив электротехники , том 17 , стр. 355–388, 1926.

[Brune1931b-6] Брюн, О, «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», J. Math. и физ. , том 10 , стр. 191–236, 1931.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]