Положительно-действительная функция
Положительно-действительные функции , часто сокращаемые до PR-функции или PRF , представляют собой разновидность математической функции, впервые возникшей при синтезе электрических сетей . Это комплексные функции Z ( s ) комплексной переменной s . считается Рациональная функция обладающей свойством PR, если она имеет положительную действительную часть, является аналитической в правой половине комплексной плоскости и принимает действительные значения на действительной оси.
В символах определение таково:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \Re (s)>0\\&\Im [Z(s)]= 0\quad {\text{if}}\quad \Im (s)=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b679e1065be0df6748686d6b75484b4a6b3e6d)
В анализе электрических сетей Z ( s ) представляет собой выражение импеданса , а s — комплексную частотную переменную, часто выражаемую как ее действительная и мнимая части;
в каких терминах может быть сформулировано условие PR;
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Re [Z(s)]>0\quad {\text{if}}\quad \sigma >0\\&\Im [Z(s)]=0\quad {\text{if}}\quad \omega =0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a63c1334454f7ffb9f3c4c21f4603ab4eebd23)
Важность условия PR для сетевого анализа заключается в условии реализуемости. Z ( s ) реализуется как однополюсный рациональный импеданс тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию PR. Реализуемость в этом смысле означает, что импеданс может быть построен из конечного (следовательно, рационального) числа дискретных идеальных пассивных линейных элементов ( резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов в электрической терминологии). [1]
Определение [ править ]
Термин положительно-действительная функция первоначально был определен [1] Отто Брюне для описания любой функции Z ( s ), которая [2]
- рационально , (частное двух многочленов )
- реально, когда s реально
- имеет положительную действительную часть, когда s имеет положительную действительную часть
Многие авторы строго придерживаются этого определения, открыто требуя рациональности. [3] или ограничивая внимание рациональными функциями, по крайней мере, в первую очередь. [4] Однако аналогичное, более общее условие, не ограничивающееся рациональными функциями, ранее рассматривалось Кауэром: [1] и некоторые авторы приписывают этому типу состояния термин позитивно-реальный , тогда как другие считают его обобщением основного определения. [4]
История [ править ]
Условие было впервые предложено Вильгельмом Кауэром (1926). [5] который определил, что это необходимое условие. Отто Брюне (1931) [2] [6] ввел термин «положительно-реальный» для этого условия и доказал, что оно одновременно необходимо и достаточно для реализуемости.
Свойства [ править ]
- Сумма двух функций PR – это PR.
- Комбинацией . двух функций PR является PR В частности, если Z ( s ) является PR, то такими же являются и 1/ Z ( s ) и Z (1/ s ).
- Все нули и полюсы функции ПР находятся в левой полуплоскости или на ее границе мнимой оси.
- Любые полюса и нули на мнимой оси простые (имеют кратность единица).
- Любые полюса на мнимой оси имеют вещественные строго положительные вычеты , и аналогично в любых нулях на мнимой оси функция имеет действительную строго положительную производную.
- В правой полуплоскости минимальное значение действительной части функции PR находится на мнимой оси (поскольку действительная часть аналитической функции представляет собой гармоническую функцию на плоскости и, следовательно, удовлетворяет принципу максимума ).
- Для рациональной функции PR число полюсов и количество нулей отличаются не более чем на единицу.
Обобщения [ править ]
Иногда делается несколько обобщений с целью охарактеризовать функции иммитанса более широкого класса пассивных линейных электрических сетей.
Иррациональные функции [ править ]
Импеданс Z ( s ) сети, состоящей из бесконечного числа компонентов (например, полубесконечная лестница ), не обязательно должен быть рациональной функцией от s и, в частности, может иметь точки ветвления в левой половине s -плоскости. Поэтому, чтобы включить такие функции в определение PR, необходимо ослабить условие, согласно которому функция должна быть вещественной для всех действительных s , и требовать этого только тогда, когда s положительно. Таким образом, возможно иррациональная функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда
- Z ( s ) аналитичен в открытой правой полуплоскости s (Re[ s ] > 0)
- Z ( s ) действителен, когда s положителен и действителен
- Re[ Z ( s )] ≥ 0, когда Re[ s ] ≥ 0
Некоторые авторы начинают с этого более общего определения, а затем конкретизируют его до рационального случая.
Матричные функции [ править ]
Линейные электрические сети с более чем одним портом могут быть описаны матрицами импеданса или адмиттанса . Таким образом, расширив определение PR до матричных функций, можно отличить пассивные линейные многопортовые сети от тех, которые таковыми не являются. Возможно иррациональная матрица-функция Z ( s ) является PR тогда и только тогда, когда
- Каждый элемент Z ( s ) аналитичен в открытой правой полуплоскости ( Re[ s ] > 0).
- Каждый элемент Z ( s ) действителен, когда s положителен и действителен.
- Эрмитова + часть ( Z ( s ) Z † ( s ))/2 из Z ( s ) положительно полуопределена , когда Re[ s ] ≥ 0
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и деятельность Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды четырнадцатого международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г. Получено онлайн 19 сентября 2008 г.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Брюн, О., «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», Докторская диссертация, Массачусетский технологический институт, 1931. Проверено онлайн 3 июня 2010 г.
- ^ Бакши, Удай; Бакши, Аджай (2008). Сетевая теория . Пуна: Технические публикации. ISBN 978-81-8431-402-1 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Винг, Омар (2008). Классическая теория цепей . Спрингер. ISBN 978-0-387-09739-8 .
- ^ Кауэр, В., «Реализация сопротивления переменному току с заданной частотной зависимостью», Архив электротехники , том 17 , стр. 355–388, 1926.
- ^ Брюн, О, «Синтез конечной двухполюсной сети, полное сопротивление ведущей точки которой является заданной функцией частоты», J. Math. и физ. , том 10 , стр. 191–236, 1931.
- Вильгельм Кауэр (1932) Интеграл Пуассона для функций с положительной действительной частью , Бюллетень Американского математического общества 38:713–7, ссылка из проекта Евклид .
- В. Кауэр (1932) «О функциях с положительной действительной частью» , Mathematical Annals 106: 369–94.