Точка ветвления

В математической области комплексного анализа точкой ветвления называется многозначной функции такая точка, что если функция $n$ -оцененный (имеет $n$ значений) в этой точке все ее окрестности содержат точку, имеющую более $n$ ценности. ^[1] Многозначные функции строго изучаются с использованием римановых поверхностей , и формальное определение точек ветвления использует это понятие.

Точки ветвления делятся на три широкие категории: алгебраические точки ветвления, трансцендентные точки ветвления и логарифмические точки ветвления. Алгебраические точки ветвления чаще всего возникают из функций, в которых существует неоднозначность при извлечении корня, например, при решении уравнения $w^{2}=z$ для $w$ как функция $z$ . Здесь точкой ветвления является начало координат, поскольку аналитическое продолжение любого решения вокруг замкнутого цикла, содержащего начало координат, приведет к другой функции: существует нетривиальная монодромия . Несмотря на алгебраическую точку ветвления, функция $w$ корректно определена как многозначная функция и в соответствующем смысле непрерывна в начале координат. В этом состоит отличие от трансцендентных и логарифмических точек ветвления, то есть точек, в которых многозначная функция обладает нетривиальной монодромией и существенной особенностью . В геометрической теории функций безоговорочное использование термина « точка ветвления» обычно означает первый, более ограничительный вид: алгебраические точки ветвления. ^[2] В других областях комплексного анализа неквалифицированный термин может также относиться к более общим точкам ветвления трансцендентального типа.

Алгебраические точки ветвления

Позволять $\Omega$ быть связным открытым множеством в комплексной плоскости $\mathbb {C}$ и $f:\Omega \to \mathbb {C}$ функция голоморфная . Если $f$ не является постоянным, то множество точек критических $f$ , то есть нули производной $f'(z)$ , не имеет предельной точки в $\Omega$ . Таким образом, каждая критическая точка $z_{0}$ из $f$ лежит в центре диска $B(z_{0},r)$ не содержащий никакой другой критической точки $f$ в его закрытии.

Позволять $\gamma$ быть границей $B(z_{0},r)$ , взятый с его положительной направленностью. Число витков $f(\gamma )$ относительно точки $f(z_{0})$ – целое положительное число, ветвления индексом называемое $z_{0}$ . Если индекс ветвления больше 1, то $z_{0}$ называется ветвления точкой $f$ , и соответствующее критическое значение $f(z_{0})$ называется (алгебраической) точкой ветвления . Эквивалентно, $z_{0}$ является точкой ветвления, если существует голоморфная функция $\phi$ определено в окрестностях $z_{0}$ такой, что $f(z)=\phi (z)(z-z_{0})^{k}+f(z_{0})$ для целого числа $k>1$ .

Обычно человека это не интересует. $f$ себя, а в своей обратной функции . Однако обратной голоморфной функции в окрестности точки ветвления по существу не существует, и поэтому приходится определять ее в многозначном смысле как глобальную аналитическую функцию . Часто злоупотребляют языком и ссылаются на точку ветвления. $w_{0}=f(z_{0})$ из $f$ как точка ветвления глобальной аналитической функции $f^{-1}$ . Более общие определения точек ветвления возможны для других видов многозначных глобальных аналитических функций, например тех, которые определяются неявно . Единая основа для работы с такими примерами представлена ниже на языке римановых поверхностей . В частности, в этой более общей картине точками ветвления можно считать и полюсы порядка больше 1.

В терминах обратной глобальной аналитической функции $f^{-1}$ , точки ветвления — это те точки, вокруг которых существует нетривиальная монодромия. Например, функция $f(z)=z^{2}$ имеет точку ветвления $z_{0}=0$ . Обратная функция – это квадратный корень $f^{-1}(w)=w^{1/2}$ , который имеет точку ветвления в $w_{0}=0$ . Действительно, обходя замкнутый цикл $w=e^{i\theta }$ , каждый начинается с $\theta =0$ и $e^{i0/2}=1$ . Но после обхода цикла $\theta =2\pi$ , у одного есть $e^{2\pi i/2}=-1$ . Таким образом, вокруг этого цикла, охватывающего начало координат, существует монодромия.

Трансцендентные и логарифмические точки ветвления

Предположим, что g — глобальная аналитическая функция, определенная на проколотом диске вокруг z ₀ . Тогда g имеет трансцендентную точку ветвления , если z ₀ является существенной особенностью g , такой что аналитическое продолжение функционального элемента один раз вокруг некоторой простой замкнутой кривой, окружающей точку z _0, дает другой функциональный элемент. ^[3]

Примером трансцендентной точки ветвления является начало координат многозначной функции.

g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,

для некоторого целого числа k > 1. Здесь группа монодромии обхода вокруг начала координат конечна. Аналитическое продолжение по k полным кругам возвращает функцию к исходной.

Если группа монодромии бесконечна, т. е. невозможно вернуться к исходному функциональному элементу путем аналитического продолжения вдоль кривой с ненулевым числом витков около z ₀ , то точка z ₀ называется логарифмической точкой ветвления . ^[4] Это называется так потому, что типичным примером этого явления является точка ветвления комплексного логарифма в начале координат. Пройдя один раз против часовой стрелки по простой замкнутой кривой, окружающей начало координат, комплексный логарифм увеличивается на 2 $π$ i . Обходя петлю с числом витков w , логарифм увеличивается на 2 $π$ i w, а группа монодромии представляет собой бесконечную циклическую группу. $\mathbb {Z}$ .

Логарифмические точки ветвления являются частными случаями трансцендентных точек ветвления.

Соответствующего понятия ветвления для трансцендентных и логарифмических точек ветвления не существует, поскольку соответствующая накрывающая риманова поверхность не может быть аналитически продолжена до покрытия самой точки ветвления. Поэтому такие покрытия всегда неразветвлены.

Примеры

0 — точка ветвления функции квадратного корня . Предположим , w = z ^1/2, а z начинается с 4 и движется по окружности радиуса изменяется , 4 в комплексной плоскости с центром в 0. Зависимая переменная w находясь в зависимости от z непрерывным образом. Когда z сделает один полный круг, снова переходя от 4 обратно к 4, w сделает один полукруг, переходя от положительного квадратного корня из 4, т. е. из 2, к отрицательному квадратному корню из 4, т. е. — 2.
0 также является точкой ветвления натурального логарифма . Поскольку е ⁰ то же самое, что и е ^{2 $π$ я}, и 0, и 2 $π$ i входят в число кратных значений ln(1). Когда z движется по окружности радиуса 1 с центром в точке 0, w = ln( z ) меняется от 0 до 2 $π$ i .
В тригонометрии , поскольку tan( $π$ /4) и tan (5 $π$ /4) оба равны 1, два числа $π$ /4 и 5 $π$ /4 входят в число кратных значений arctan(1). Мнимые единицы i и − i являются точками ветвления арктангенса функции arctan( z ) = (1/2 i )log[( i − z )/( i + z )]. В этом можно убедиться, заметив, что производная ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 + z ²) имеет простые полюса в этих двух точках, поскольку знаменатель в этих точках равен нулю.
Если производная ƒ ' функции ƒ имеет простой полюс в точке a , то ƒ имеет точку логарифмического ветвления в точке a . Обратное неверно, поскольку функция ƒ ( z ) = z ^а для иррационального α есть логарифмическая точка ветвления, а его производная сингулярна, но не является полюсом.

Срезы ветвей

Грубо говоря, точки ветвления — это точки, в которых сходятся различные листы многозначной функции. Ветви функции — это различные листы функции. Например, функция w = z ^1/2 имеет две ветви: одну, где квадратный корень идет со знаком плюс, а другую — со знаком минус. — Разрез ветки это кривая на комплексной плоскости, позволяющая определить одну аналитическую ветвь многозначной функции на плоскости за вычетом этой кривой. Разрезы ветвей обычно, но не всегда, выполняются между парами точек ветвления.

Разрезы ветвей позволяют работать с набором однозначных функций, «склеенных» по разрезу ветвей вместо многозначной функции. Например, чтобы сделать функцию

F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,

однозначная, делается разрез вдоль отрезка [0, 1] на действительной оси, соединяющий две точки ветвления функции. Ту же идею можно применить к функции √ z ; но в этом случае нужно понимать, что точка в бесконечности является подходящей «другой» точкой ветвления для соединения с 0, например, вдоль всей отрицательной действительной оси.

Устройство для обрезки ветвей может показаться произвольным (и это так и есть); но это очень полезно, например, в теории специальных функций. Инвариантное объяснение явления ветвления развито в теории римановой поверхности (которой оно исторически является источником) и, в более общем плане, в ветвления и монодромии теории алгебраических функций и дифференциальных уравнений .

Комплексный логарифм

Типичным примером разреза ветки является комплексный логарифм. Если комплексное число представлено в полярной форме z = r e ^{я я}, то логарифм z равен

\ln z=\ln r+i\theta .\,

Однако существует очевидная двусмысленность в определении угла θ : добавление к θ любого целого числа, кратного 2 $π,$ даст другой возможный угол. Ветвь логарифма — это непрерывная функция L ( z ), дающая логарифм z для всех z в связном открытом множестве на комплексной плоскости. В частности, в дополнении любого луча от начала до бесконечности существует ветвь логарифма: разрез ветки . Обычным выбором ветвления является отрицательная действительная ось, хотя этот выбор во многом зависит от удобства.

Логарифм имеет скачок 2 $π$ i при пересечении разреза. Логарифм можно сделать непрерывным, склеив вместе счетное множество копий, называемых листами , комплексной плоскости по разрезу ветки. На каждом листе стоимость бревна отличается от его основного значения кратно 2π $i$ . Эти поверхности склеены друг с другом вдоль среза ветки уникальным способом, чтобы сделать логарифм непрерывным. Каждый раз, когда переменная обходит начало координат, логарифм перемещается на другую ветвь.

Континуум полюсов

Одна из причин того, что разрезы ветвей являются общей чертой комплексного анализа, заключается в том, что разрез ветвей можно рассматривать как сумму бесконечного числа полюсов, расположенных вдоль линии в комплексной плоскости с бесконечно малыми вычетами. Например,

f_{a}(z)={1 \over z-a}

— функция с простым полюсом в точке z = a . Интегрируем по местоположению полюса:

u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over z-a}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)

определяет функцию u ( z ) с разрезом от −1 до 1. Разрез ветки можно перемещать, поскольку линию интегрирования можно смещать без изменения значения интеграла до тех пор, пока линия не проходит через точку z .

Римановы поверхности

Определено понятие точки ветвления для голоморфной функции ƒ: X → Y от компактной связной римановой поверхности X к компактной римановой поверхности Y (обычно сфере Римана ). Если она не является постоянной, функция ƒ будет отображением покрытия своего образа во всех точках, кроме конечного числа. Точки X , где ƒ не может быть покрытием, являются точками ветвления ƒ, а образ точки ветвления под ƒ называется точкой ветвления.

Для любой точки P ∈ X и Q = ƒ( P ) ∈ Y существуют голоморфные локальные координаты z для X вблизи P и w для Y вблизи Q, в терминах которых функция ƒ( z ) задается выражением

w=z^{k}

для некоторого целого числа k . Это целое число называется индексом ветвления P . Обычно индекс ветвления равен единице. Но если индекс ветвления не равен единице, то P по определению является точкой ветвления, а Q — точкой ветвления.

Если Y — это просто сфера Римана, а Q находится в конечной части Y , то нет необходимости выбирать специальные координаты. Индекс ветвления можно рассчитать явно по интегральной формуле Коши . Пусть γ — простая спрямляемая петля в X вокруг P . Индекс ветвления ƒ в точке P равен

e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.

Этот интеграл представляет собой количество оборотов ƒ(γ) вокруг Q. точки Как и выше, P — точка ветвления, а Q — точка ветвления, если e _P > 1.

Алгебраическая геометрия

В контексте алгебраической геометрии понятие точек ветвления может быть обобщено на отображения между произвольными алгебраическими кривыми . Пусть ƒ: X → Y — морфизм алгебраических кривых. Возвращая рациональные функции на Y рациональным функциям на X , K ( X ) становится полевым расширением K к ( Y ). Степень ƒ определяется как степень этого расширения поля [ K ( X ): K ( Y )], и ƒ называется конечным, если степень конечна.

Предположим, что ƒ конечно. Для точки P ∈ X индекс ветвления e _P определяется следующим образом. Пусть Q = ƒ( P ) и пусть t — локальный параметр униформизации в P ; то есть t — регулярная функция, определенная в окрестности Q с t ( Q ) = 0, дифференциал которой не равен нулю. Оттягивание t назад на ƒ определяет регулярную функцию на X . Затем

e_{P}=v_{P}(t\circ f)

где v _P — нормирование в локальном кольце регулярных функций в P . То есть e _P — это порядок, до которого $t\circ f$ исчезает в P. точке Если e _P > 1, то говорят, что ƒ разветвлен в P . В этом случае Q называется точкой ветвления.

Примечания

^ Дас, Шантану (2011), «Концепции понимания дробных дифференциаций» , Функциональное дробное исчисление , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 213–269, doi : 10.1007/978-3-642-20545-3_5 , ISBN 978-3-642-20544-6 , получено 27 апреля 2022 г. (стр. 6)
^ Альфорс 1979
^ Solomentsev 2001 ; Markushevich 1965
^ «Логарифмическая точка ветвления — Математическая энциклопедия» . www.энциклопедияofmath.org . Проверено 11 июня 2019 г.

Ссылки

Абловиц, Марк Дж.; Фокас, Атанассиос С. (2003), Комплексные переменные: введение и применение , Кембриджские тексты по прикладной математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-53429-1
Альфорс, Л.В. (1979), Комплексный анализ , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000657-7
Арфкен, Великобритания; Вебер, HJ (2000), Математические методы для физиков (5-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-059825-0
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , МР 0463157 , OCLC 13348052
Маркушевич А.И. (1965), Теория функций комплексной переменной. Том. I , Перевод и редакция Ричарда А. Сильвермана, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall Inc., MR 0171899
Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Точка ветвления» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[1] Дас, Шантану (2011), «Концепции понимания дробных дифференциаций» , Функциональное дробное исчисление , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 213–269, doi : 10.1007/978-3-642-20545-3_5 , ISBN 978-3-642-20544-6 , получено 27 апреля 2022 г. (стр. 6)

[2] Альфорс 1979

[3] Solomentsev 2001 ; Markushevich 1965

[4] «Логарифмическая точка ветвления — Математическая энциклопедия» . www.энциклопедияofmath.org . Проверено 11 июня 2019 г.

[1]

[2]

[3]

[4]