Локальный параметр

В геометрии комплексных алгебраических кривых кривой локальным параметром C в гладкой точке P является мероморфная функция на C , имеющая простой нуль в точке P. Это понятие можно обобщить на кривые, определенные над полями, отличными от $\mathbb {C}$ (или схемы ), поскольку локальное кольцо в гладкой точке P алгебраической кривой C (определенной над алгебраически замкнутым полем ) всегда является кольцом дискретного нормирования . ^[1] Эта оценка покажет способ подсчитать порядок (в точке P ) рациональных функций (которые являются естественными обобщениями мероморфных функций в некомплексной области), имеющих нуль или полюс P. в

Локальные параметры, как следует из названия, используются в основном для правильного подсчета кратностей локальным способом.

Введение

Если C — комплексная алгебраическая кривая, посчитайте кратности нулей и полюсов мероморфных функций, определенных на ней. ^[2] Однако при обсуждении кривых, определенных в полях, отличных от $\mathbb {C}$ , если нет доступа к возможностям комплексного анализа, необходимо найти замену, чтобы определить кратности нулей и полюсов рациональных функций, определенных на таких кривых. В этом последнем случае скажем, что росток регулярной функции $f$ исчезает в $P\in C$ если $f\in m_{P}\subset {\mathcal {O}}_{C,P}$ . Это находится в полной аналогии с комплексным случаем, когда максимальный идеал локального кольца в точке P фактически соответствует росткам голоморфных функций, исчезающих в точке P .

Функция оценки на ${\mathcal {O}}_{C,P}$ дается

\operatorname {ord} _{P}(f)=\max\{d=0,1,2,\ldots :f\in m_{P}^{d}\};

Эту оценку можно естественным образом распространить на K ( C ) (которое является полем рациональных функций C), поскольку это частных поле ${\mathcal {O}}_{C,P}$ . Следовательно, идея иметь простой нуль в точке P теперь завершена: это будет рациональная функция $f\in K(C)$ так, что его зародыш попадает в $m_{P}^{d}$ , где d не более 1.

Это имеет алгебраическое сходство с концепцией униформизирующего параметра (или просто униформизатора ), встречающейся в контексте колец дискретного нормирования в коммутативной алгебре ; параметр униформизации для DVR ( R, m ) — это просто генератор максимального идеала m . Связь возникает из-за того, что локальный параметр P будет параметром, унифицирующим для цифрового видеорегистратора ( ${\mathcal {O}}_{C,P}$ , $m_{P}$ ), откуда такое название.

Определение

Пусть C — алгебраическая кривая, определенная над алгебраически замкнутым полем K , и пусть K ( C ) — поле рациональных функций C. поля Оценка ) , на K ( C соответствующая гладкой точке $P\in C$ определяется как $\operatorname {ord} _{P}(f/g)=\operatorname {ord} _{P}(f)-\operatorname {ord} _{P}(g)$ , где $\operatorname {ord} _{P}$ – обычное нормирование на локальном кольце ( ${\mathcal {O}}_{C,P}$ , $m_{P}$ ). Локальным параметром C является в точке P функция $t\in K(C)$ такой, что $\operatorname {ord} _{P}(t)=1$ .

Ссылки

^ Дж. Х. Сильверман (1986). Арифметика эллиптических кривых . Спрингер. п. 21
^ Р. Миранда (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Американское математическое общество. п. 26

[1] Дж. Х. Сильверман (1986). Арифметика эллиптических кривых . Спрингер. п. 21

[2] Р. Миранда (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Американское математическое общество. п. 26

[1]

[2]