Критическая точка (математика)

В математике критическая точка — это аргумент функции функции , у которой производная равна нулю (или не определена, как указано ниже).Значение функции в критической точке равно критическое значение . ^[1]

Более конкретно, когда речь идет о функциях действительной переменной , критическая точка, также известная как стационарная точка , — это точка в области определения функции, где производная функции равна нулю (или где функция не дифференцируема ). ^[2] Аналогично, при работе с комплексными переменными критическая точка — это точка в области определения функции, где ее производная равна нулю (или функция не является голоморфной ). ^[3]^[4] Аналогично, для функции нескольких действительных переменных критическая точка — это значение в ее области определения, где градиента норма равна нулю (или не определена). ^[5]

Такое определение распространяется на дифференцируемые отображения между ⁠ $\mathbb {R} ^{m}$ ⁠ и ⁠ $\mathbb {R} ^{n},$ ⁠ критической точкой в данном случае является точка, в которой ранг матрицы Якоби не является максимальным. Он распространяется дальше на дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями , как точки, в которых ранг матрицы Якоби уменьшается. В этом случае критические точки еще называют точками бифуркации .В частности, если $C$ — плоская кривая , определяемая неявным уравнением $f (x, y) = 0$ , критическими точками проекции на $ось x$ , параллельной оси $y$ , являются точки, где касательная к $C$ параллельны $оси y$ , то есть точки, в которых ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$ .Другими словами, критическими точками являются те, к которым теорема о неявной функции не применима.

Критическая точка функции одной переменной

Критическая точка функции одной действительной переменной f $(x) —$ значение $x0 это$ в области f $,$ где $f$ не дифференцируема или ее производная равна 0 (т.е. $f'(x_{0})=0$ ). ^[2] Критическая величина – это изображение $под f$ критической точки . Эти концепции можно визуализировать с помощью графика f $,$ : в критической точке график имеет горизонтальную касательную если вы вообще можете ее назначить.

Обратите внимание, что для дифференцируемой функции критическая точка совпадает с стационарной точкой .

Хотя это легко визуализируется на графике (который представляет собой кривую), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки кривой в некотором направлении ( подробное Ниже определение см. ). Если $g (x, y)$ — дифференцируемая функция двух переменных, то $g (x, y) = 0$ — неявное уравнение кривой. Критической точкой такой кривой для проекции, параллельной $оси y$ (отображение $(x, y) \to x$ ), является точка кривой, где ${\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.$ Это означает, что касательная кривой параллельна оси $y$ и что в этой точке g не определяет неявную функцию от $x$ до $y$ (см. теорему о неявной функции ). Если $(x 0, y 0)$ является такой критической точкой, то $x 0$ является соответствующим критическим значением . критическую точку еще называют точкой бифуркации , поскольку, как правило, при $изменении x$ имеются две ветви кривой на стороне $x0 Такую$ и ноль на другой стороне.

этих определений следует, что функция $f (x)$ имеет критическую точку $x0 y0$ значением $с критическим Из$ тогда и только тогда, когда $(x0 дифференцируемая, y0 параллельной)$ является критической точкой ее графика для проекции, $x$ -ось, с тем же критическим значением y ₀ . Если $f$ не дифференцируема в точке $x0 из -$ того, что касательная становится параллельной $оси y$ , то $снова x0$ является критической точкой $f$ , но теперь $(x0 за, y0 является)$ критической точкой ее графика для проекции параллельно $Y.$ оси

Например, критические точки единичной окружности уравнения $x^{2}+y^{2}-1=0$ равны (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной $оси x$ , и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного $оси y$ . Если рассматривать верхний полукруг как график функции $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$ тогда $x = 0$ является критической точкой с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а $x = \pm1$ являются критическими точками с критическим значением 0 из-за того, что производная не определена.

Примеры

Функция $f(x)=x^{2}+2x+3$ дифференцируема всюду с производной $f'(x)=2x+2.$ Эта функция имеет единственную критическую точку −1, поскольку это уникальное число $x 0,$ для которого $2x+2=0.$ Эта точка является минимумом f $глобальным$ . Соответствующее критическое значение равно $f(-1)=2.$ График $f$ представляет собой вогнутую вверх параболу , критическая точка — это абсцисса вершины, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение — это ордината вершины и может быть представлено пересечением этой касательной линии и $ось$ у.
Функция $f(x)=x^{2/3}$ определен для всех $x$ и дифференцируем при $x \neq 0$ с производной $f'(x)={\tfrac {2x^{-1/3}}{3}}.$ Поскольку $f$ не дифференцируема в точке $x = 0$ и $f'(x)\neq 0$ в противном случае это единственная критическая точка. График функции $f$ имеет в этой точке точку возврата с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение равно $f(0)=0.$
Функция абсолютного значения $f(x)=|x|$ дифференцируема всюду, кроме критической точки $x = 0$ , где она имеет глобальную точку минимума с критическим значением 0.
Функция $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ не имеет критических точек. Точка $x = 0$ не является критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции.

Расположение критических точек

По теореме Гаусса-Люкаса все критические точки полиномиальной функции на комплексной плоскости находятся внутри выпуклой оболочки корней . функции Таким образом, для полиномиальной функции, имеющей только действительные корни, все критические точки вещественны и находятся между наибольшим и наименьшим корнями.

Гипотеза Сендова утверждает, что если все корни функции лежат в единичном круге комплексной плоскости, то на единичном расстоянии от любого данного корня существует хотя бы одна критическая точка.

Критические точки неявной кривой

Критические точки играют важную роль при изучении плоских кривых, определяемых неявными уравнениями , в частности при их изображении и определении их топологии . Понятие критической точки, используемое в этом разделе, может показаться отличным от понятия из предыдущего раздела. Фактически это специализация на простом случае общего понятия критической точки, приведенного ниже .

Таким образом, мы рассматриваем кривую $C,$ определяемую неявным уравнением $f(x,y)=0$ , где $f$ — дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный полином . Точки кривой — это точки евклидовой плоскости которых , декартовы координаты удовлетворяют уравнению. Есть две стандартные проекции $\pi _{y}$ и $\pi _{x}$ , определяемый $\pi _{y}((x,y))=x$ и $\pi _{x}((x,y))=y,$ которые отображают кривую на оси координат . Их называют проекцией, параллельной оси Y , и проекцией, параллельной оси X соответственно.

Точка $С$ является критической для $\pi _{y}$ , если касательная к $C$ существует и параллельна оси y . В этом изображения случае $\pi _{y}$ критическая точка и касательная — это одна и та же точка оси x , называемая критическим значением . Таким образом, точка $C$ является критической для $\pi _{y}$ если его координаты являются решением системы уравнений :

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

Отсюда следует, что данное определение является частным случаем общего определения критической точки, которое приведено ниже .

Определение критической точки для $\pi _{x}$ похож. Если $C$ — график функции $y=g(x)$ , то $(x, y)$ является критическим для $\pi _{x}$ тогда и только тогда, когда $x$ является критической точкой $g$ и что критические значения одинаковы.

Некоторые авторы определяют критические точки C $для$ как точки, критические либо $\pi _{x}$ или $\pi _{y}$ , хотя они зависят не только от $C$ , но и от выбора осей координат. От авторов зависит также, считать ли особые точки критическими. Фактически особые точки — это точки, которые удовлетворяют

f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0

,

и, таким образом, являются решениями любой системы уравнений, характеризующих критические точки. Согласно этому более общему определению, критические точки для $\pi _{y}$ являются именно теми точками, к которым теорема о неявной функции не применима.

Использование дискриминанта

Когда кривая $C$ является алгебраической, то есть когда она определяется двумерным многочленом $f$ , тогда дискриминант является полезным инструментом для вычисления критических точек.

Здесь мы рассматриваем только проекцию $\pi _{y}$ ; Аналогичные результаты применимы и к $\pi _{x}$ поменяв местами $x$ и $y$ .

Позволять $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ быть дискриминантом f $,$ рассматриваемым как многочлен от $y$ с коэффициентами, которые являются полиномами от $x$ . Таким образом, этот дискриминант представляет собой многочлен от $x$ , который имеет критические значения $\pi _{y}$ среди своих корней.

Точнее, простой корень из $\operatorname {Disc} _{y}(f)$ является либо критическим значением $\pi _{y}$ такой соответствующей критической точкой является точка, которая не является ни особой, ни точкой перегиба, или $x$ координата асимптоты , которая параллельна $оси y$ и касается «на бесконечности» точки перегиба (асимптота перегиба).

Кратный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам или асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.

Несколько переменных

Для функции нескольких действительных переменных точка $P$ (то есть набор значений входных переменных, который рассматривается как точка в ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$ ⁠ ) имеет решающее значение , если это точка, в которой градиент равен нулю или не определен. ^[5] Критические значения — это значения функции в критических точках.

Критическая точка (где функция дифференцируема) может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом , либо седловой точкой . Если функция по крайней мере дважды непрерывно дифференцируема, различные случаи можно различить, рассматривая собственные значения матрицы Гессе вторых производных.

Критическая точка, в которой матрица Гессиана невырождена, называется невырожденной , а знаки собственных значений гессиана определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной гессиан — это просто вторая производная , рассматриваемая как матрица размера 1 × 1, которая является невырожденной тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка является локальным максимумом или локальным минимумом в зависимости от знака второй производной, которая положительна для локального минимума и отрицательна для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критическая точка обычно является точкой перегиба , но также может быть точкой волнистости , которая может быть локальным минимумом или локальным максимумом.

Для функции $n$ переменных число отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индексом критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен $n$ или, что то же самое, если матрица Гессе отрицательно определена ; это локальный минимум, если индекс равен нулю или, что то же самое, если матрица Гессе положительно определена . Для остальных значений индекса невырожденной критической точкой является седловая точка , то есть точка, которая является максимумом в одних направлениях и минимумом в других.

Приложение к оптимизации

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы непрерывной функции встречаются в критических точках. Поэтому для нахождения локальных максимумов и минимумов дифференцируемой функции теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. Для этого требуется решение системы уравнений , что может оказаться сложной задачей. Обычные численные алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что все экстремумы найдены.В частности, при глобальной оптимизации эти методы не могут подтвердить, что результат действительно является глобальным оптимальным.

Когда минимизируемая функция представляет собой многомерный полином , критические точки и критические значения являются решениями системы полиномиальных уравнений , а современные алгоритмы решения таких систем предоставляют конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.

Критическая точка дифференцируемого отображения

Учитывая дифференцируемое отображение ⁠ $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},$ ⁠ критические точки f $—$ это точки ⁠ $\mathbb {R} ^{m},$ ⁠ где ранг матрицы Якоби функции $f$ не является максимальным. ^[6] Образ критической точки при $f$ называется критической величиной. Точка в дополнении множества критических значений называется регулярным значением . Теорема Сарда утверждает, что множество критических значений гладкого отображения имеет нулевую меру .

Некоторые авторы ^[7] дайте немного другое определение: критическая точка f $—$ это точка ⁠ $\mathbb {R} ^{m}$ ⁠ где ранг Якобиана матрицы $f$ меньше $n$ . Согласно этому соглашению, все точки являются критическими, когда $m < n$ .

Эти определения распространяются на дифференциальные отображения между дифференцируемыми многообразиями следующим образом. Позволять $f:V\to W$ быть дифференциальным отображением между двумя многообразиями $V$ и $W$ соответствующих размерностей $m$ и $n$ . В окрестности точки $p$ точки $V$ и $f (p)$ . карты являются диффеоморфизмами $\varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}$ и $\psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.$ Точка $p$ является критической для $f,$ если $\varphi (p)$ имеет решающее значение для $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ Это определение не зависит от выбора карт, поскольку отображения переходов являются диффеоморфизмами, их матрицы якоби обратимы и умножение на них не меняет ранга матрицы якобиана $\psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.$ Если $M$ — гильбертово многообразие (не обязательно конечномерное), а $—$ вещественнозначная функция, то мы говорим, что $p$ — критическая точка $f$ , если $f$ является не субмерсией f в $p$ . ^[8]

Приложение к топологии

Критические точки имеют основополагающее значение для изучения топологии многообразий вещественных алгебраических и многообразий . ^[1] В частности, они являются основным инструментом теории Морса и теории катастроф .

Связь между критическими точками и топологией проявляется уже на более низком уровне абстракции. Например, пусть $V$ быть подмногообразием $\mathbb {R} ^{n},$ и $P$ — точка снаружи $V.$ Квадрат расстояния до $P$ точки $V$ является дифференциальным отображением, в котором каждая компонента связности $V$ содержит хотя бы критическую точку, в которой расстояние минимально. Отсюда следует, что число компонент связности $V$ ограничено сверху числом критических точек.

В случае вещественных алгебраических многообразий это наблюдение, связанное с теоремой Безу, позволяет нам ограничить количество компонент связности функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Проблемы математического анализа . Демидовец Борис П., Бараненков Г. Москва(ИС): Москва. 1964. ISBN 0846407612 . OCLC 799468131 . {{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталии (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. ISBN 9780495011668 . OCLC 144526840 .
^ Ларсон, Рон (2010). Исчисление . Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-е изд.). Белмонт, Калифорния: Брукс/Коул, Cengage Learning. ISBN 9780547167022 . OCLC 319729593 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Роберт А.; Эссекс, Кристофер (2009). Исчисление: Полный курс . Пирсон Прентис Холл . п. 744 . ISBN 978-0-321-54928-0 .
^ Карму, Манфредо Пердиган ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212589-7 .
^ Лафонтен, Жак (2015). Введение в дифференциальные многообразия . Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-20735-3 . ISBN 978-3-319-20734-6 .
^ Серж Ланг , Основы дифференциальной геометрии, с. 186, дои : 10.1007/978-1-4612-0541-8

[milnor-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08008-9 .

[:0-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Проблемы математического анализа . Демидовец Борис П., Бараненков Г. Москва(ИС): Москва. 1964. ISBN 0846407612 . OCLC 799468131 . {{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )

[3] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталии (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. ISBN 9780495011668 . OCLC 144526840 .

[4] Ларсон, Рон (2010). Исчисление . Эдвардс, Брюс Х., 1946- (9-е изд.). Белмонт, Калифорния: Брукс/Коул, Cengage Learning. ISBN 9780547167022 . OCLC 319729593 .

[:1-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Роберт А.; Эссекс, Кристофер (2009). Исчисление: Полный курс . Пирсон Прентис Холл . п. 744 . ISBN 978-0-321-54928-0 .

[6] Карму, Манфредо Пердиган ду (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 0-13-212589-7 .

[7] Лафонтен, Жак (2015). Введение в дифференциальные многообразия . Международное издательство Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-20735-3 . ISBN 978-3-319-20734-6 .

[8] Серж Ланг , Основы дифференциальной геометрии, с. 186, дои : 10.1007/978-1-4612-0541-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]