Теорема Гаусса – Лукаса

В комплексном анализе , разделе математики, теорема Гаусса-Люкаса дает геометрическую связь между корнями многочлена P $P$ и корнями его производной $'$ . Множество корней вещественного или комплексного многочлена — это множество точек комплексной плоскости . Теорема утверждает, что все корни $P'$ лежат внутри выпуклой оболочки корней $P$ , то есть наименьшего выпуклого многоугольника, корни $P.$ содержащего Если $P$ имеет единственный корень, то эта выпуклая оболочка представляет собой одну точку, а когда корни лежат на прямой , то выпуклая оболочка является сегментом этой прямой. Теорема Гаусса-Люкаса, названная в честь Карла Фридриха Гаусса и Феликса Лукаса, по духу похожа на теорему Ролля .

Иллюстрация теоремы Гаусса – Лукаса, показывающая эволюцию корней производных многочлена.

Официальное заявление

Если $P$ — (непостоянный) многочлен с комплексными коэффициентами, все нули P $'$ принадлежат выпуклой оболочке множества нулей $P$ . ^{[ 1 ]}

Особые случаи

Легко увидеть, что если $P(x)=ax^{2}+bx+c$ полином второй степени , ноль $P'(x)=2ax+b$ является средним значением корней $P$ . В этом случае выпуклая оболочка представляет собой отрезок с двумя корнями в качестве конечных точек, и ясно, что среднее значение корней является средней точкой отрезка.

третьей степени $Для комплексного полинома P$ ( кубическая функция ) с тремя различными нулями теорема Мардена утверждает, что нули $P'$ являются фокусами эллипса Штейнера , который представляет собой уникальный эллипс, касающийся средних точек треугольника, образованного нулями $P.$ .

четвертой степени $Для комплексного полинома P$ ( функция четвертой степени ) с четырьмя различными нулями, образующими вогнутый четырехугольник , один из нулей $P$ лежит внутри выпуклой оболочки трех других; все три нуля $P'$ лежат в двух из трех треугольников, образованных внутренним нулем $P$ и двумя другими нулями $P$ . ^{[ 2 ]}

Кроме того, если многочлен вещественной степени $n$ n имеет различных $вещественных$ нулей $x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n},$ мы видим, используя теорему Ролля , что нули производного многочлена находятся в интервале $[x_{1},x_{n}]$ что является выпуклой оболочкой множества корней.

Выпуклая оболочка корней многочлена

p_{n}x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}

особенно включает в себя пункт

-{\frac {p_{n-1}}{n\cdot p_{n}}}.

Доказательство

Доказательство

По основной теореме алгебры , $P$ является произведением линейных факторов как

P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i})

где комплексные числа $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ нулями многочлена $P$ , комплексное число $α$ — это старший коэффициент $P$ , а $n$ — степень $P.$ являются (не обязательно разными )

Для любого корня $z$ из $P'$ , если оно также является корнем $P$ , то теорема тривиально верна. В противном случае мы имеем логарифмическую производную

0={\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{|z-a_{i}|^{2}}}.

Следовательно

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}

.

Взяв их сопряженные и разделив, получим $z$ как выпуклую сумму корней $P$ :

z=\sum _{i=1}^{n}{\frac {|z-a_{i}|^{-2}}{\sum _{j=1}^{n}|z-a_{j}|^{-2}}}a_{i}

См. также

Примечания

^ Марден 1966 , Теорема (6,1).
^ Рюдингер, А. (2014). «Усиление теоремы Гаусса – Лукаса для многочленов с нулями внутри выпуклой оболочки». Препринт . arXiv : 1405.0689 . Бибкод : 2014arXiv1405.0689R .

Ссылки

Лукас, Феликс (1874). «Геометрические свойства рациональных дробей». ЧР акад. наук. Париж . 77 : 431–433.
Лукас, Феликс (1879). «О применении рациональной механики к теории уравнений» . CR Еженедельник. Заседания академии. наук. LXXXIX : 224–226. .
Марден, Моррис (1966). Геометрия полиномов . Математические обзоры и монографии. Том. 3 (2-е изд.). Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
Крейг Сморинский: MVT: самая ценная теорема . Springer, 2017, ISBN 978-3-319-52956-1, стр. 411–414.

Внешние ссылки

«Теорема Гаусса-Люкаса» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
Теорема Лукаса-Гаусса Брюса Торренса, Демонстрационный проект Вольфрама .
Теорема Гаусса-Люкаса — интерактивная иллюстрация

[FOOTNOTEMarden1966Theorem_(6,1)-1] Марден 1966 , Теорема (6,1).

[2] Рюдингер, А. (2014). «Усиление теоремы Гаусса – Лукаса для многочленов с нулями внутри выпуклой оболочки». Препринт . arXiv : 1405.0689 . Бибкод : 2014arXiv1405.0689R .

[ 1 ]

[ 2 ]