Теорема Руше

О теореме линейной алгебры см. Теорему Руше – Капелли .

Теорема Руше , названная в честь Эжена Руше , утверждает, что для любых двух функций комплексных f и g , голоморфных внутри некоторой области $K$ с замкнутым контуром $\partial K$, если | г ( z )| < | ж ( z )| на $\partial K$, то f и f + g имеют одинаковое количество нулей внутри $K$, где каждый ноль учитывается столько раз, сколько его кратность . Эта теорема предполагает, что контур $\partial K$ просто, то есть без самопересечений. Теорема Руше является простым следствием более сильной симметричной теоремы Руше, описанной ниже.

Использование

Теорему обычно используют для упрощения задачи нахождения нулей следующим образом. Учитывая аналитическую функцию, мы запишем ее как сумму двух частей, одна из которых проще и растет быстрее, чем (таким образом, доминирует) другая часть. Затем мы можем найти нули, рассматривая только доминирующую часть. Например, полином $z^{5}+3z^{3}+7$ имеет ровно 5 нулей на диске $|z|<2$ с $|3z^{3}+7|\leq 31<32=|z^{5}|$ для каждого $|z|=2$, и $z^{5}$, доминирующая часть, имеет в круге пять нулей.

Геометрическое объяснение

Поскольку z движется по замкнутой кривой C (не показано на рисунке), е ( z ) и h ( z ) будет отслеживать замкнутые кривые на комплексной плоскости (показаны синим и красным цветом). Пока кривые никогда не отклоняются слишком далеко друг от друга (мы требуем, чтобы f ( z ) остается ближе к h ( z ), чем начало координат в любой момент времени), то кривые будут оборачиваться вокруг начала координат одинаковое количество раз. Тогда по аргумента принципу е ( z ) и h ( z ) имеют одинаковое количество нулей внутри C (не показано).

Можно дать неформальное объяснение теоремы Руше.

Пусть C — замкнутая простая кривая (т. е. не самопересекающаяся). Пусть час ( z ) = ж ( z ) + г ( z ). Если f и g голоморфны внутри C , то h быть голоморфным внутри C. также должен Тогда с учетом наложенных выше условий теорема Руша в исходной (а не симметричной) форме говорит, что

Если | ж ( z )| > | час ( z ) - ж ( z )| , для каждого z в C то f и h имеют одинаковое количество нулей внутри C .

Обратите внимание, что условие | ж ( z )| > | час ( z ) - ж ( z )| означает, что для любого z расстояние от f ( z ) до начала координат больше длины h ( z ) − f ( z ), что на следующем рисунке означает, что для каждой точки синей кривой отрезок, соединяющий он в начале координат больше, чем связанный с ним зеленый сегмент. Неформально мы можем сказать, что синяя кривая f ( z ) всегда ближе к красной кривой h ( z ), чем к началу координат.

Предыдущий абзац показывает, что h ( z ) должен оборачиваться вокруг начала координат ровно столько раз, сколько f ( z ). Таким образом, индекс обеих кривых вокруг нуля одинаков, поэтому по аргумента принципу f ( z ) и h ( z ) должны иметь одинаковое количество нулей C. внутри

Один из популярных и неформальных способов подытожить этот аргумент таков: если бы человек гулял с собакой на поводке вокруг дерева так, что расстояние между человеком и деревом всегда было бы больше, чем длина поводка, затем человек и собака столько же раз обходят дерево.

Приложения

См. Также: Свойства полиномиальных корней § Границы (комплексных) полиномиальных корней

Ограничивающие корни

Рассмотрим полином $z^{2}+2az+b^{2}$ с $a>b>0$. По квадратичной формуле он имеет два нуля в точке $-a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$. Теорему Руше можно использовать, чтобы получить некоторое представление об их положении. С $$|z^{2}+b^{2}|\leq 2b^{2}<2a|z|{\text{ for all }}|z|=b,$$

Теорема Руше утверждает, что полином имеет ровно один нуль внутри круга. $|z|<b$. С $-a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ находится явно вне диска, заключаем, что нуль $-a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.

В общем, полином $f(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{0}$. Если $|a_{k}|r^{k}>\sum _{j\neq k}|a_{j}|r^{j}$ для некоторых $r>0,k\in 0:n$, то по теореме Руша полином имеет ровно $k$ корни внутри $B(0,r)$.

Аргументы такого рода могут быть полезны при поиске остатков, если применить теорему Коши о вычетах .

Основная теорема алгебры

Теорему Руше можно также использовать для краткого доказательства основной теоремы алгебры . Позволять $$p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},\quad a_{n}\neq 0$$ и выбери $R>0$ настолько велик, что: $$|a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n-1}z^{n-1}|\leq \sum _{j=0}^{n-1}|a_{j}|R^{j}<|a_{n}|R^{n}=|a_{n}z^{n}|{\text{ for }}|z|=R.$$ С $a_{n}z^{n}$ имеет $n$ нули внутри диска $|z|<R$ (потому что $R>0$), то из теоремы Руше следует, что $p$ также имеет такое же количество нулей внутри диска.

Преимущество этого доказательства перед другими состоит в том, что оно показывает не только то, что многочлен должен иметь нуль, но и то, что число его нулей равно его степени (с учетом, как обычно, кратности).

Другое применение теоремы Руше — доказательство теоремы об открытом отображении аналитических функций. Обратимся к статье за ​​доказательством.

Симметричная версия

Более сильная версия теоремы Руше была опубликована Теодором Эстерманном в 1962 году. Там написано: пусть $K\subset G$ быть ограниченной областью с непрерывной границей $\partial K$. Две голоморфные функции $f,\,g\in {\mathcal {H}}(G)$ имеют одинаковое количество корней (с учетом кратности) в $K$, если строгое неравенство $$|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|\qquad \left(z\in \partial K\right)$$ держится на границе $\partial K.$

Тогда первоначальная версия теоремы Руше следует из этой симметричной версии, примененной к функциям $f+g,f$ вместе с тривиальным неравенством $|f(z)+g(z)|\geq 0$ (на самом деле это неравенство является строгим, поскольку $f(z)+g(z)=0$ для некоторых $z\in \partial K$ будет означать $|g(z)|=|f(z)|$).

Интуитивно это утверждение можно понять следующим образом. рассматривая $-g$ вместо $g$, условие можно переписать как $|f(z)+g(z)|<|f(z)|+|g(z)|$ для $z\in \partial K$. С $|f(z)+g(z)|\leq |f(z)|+|g(z)|$ всегда выполняется согласно неравенству треугольника, это эквивалентно тому, что $|f(z)+g(z)|\neq |f(z)|+|g(z)|$ на $\partial K$, что, в свою очередь, означает, что для $z\in \partial K$ функции $f(z)$ и $g(z)$ неисчезающие и $\arg {f(z)}\neq \arg {g(z)}$.

Интуитивно, если значения $f$ и $g$ никогда не проходить через начало координат и никогда не указывать в том же направлении, что и $z$ кружит вдоль $\partial K$, затем $f(z)$ и $g(z)$ должен обернуться вокруг начала координат одинаковое количество раз.

Доказательство симметричной формы теоремы Руше.

Позволять $C\colon [0,1]\to \mathbb {C}$ — простая замкнутая кривая, образом которой является граница $\partial K$. Гипотеза подразумевает, что f не имеет корней на $\partial K$, следовательно, согласно принципу аргумента , число N _f ( K ) нулей f в K равно $${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{f\circ C}{\frac {dz}{z}}=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0),$$ т. е. номер витка замкнутой кривой $f\circ C$ вокруг происхождения; аналогично для g . Гипотеза гарантирует, что g ( z ) не является отрицательным действительным кратным f ( z ) для любого z = C ( x ), таким образом, 0 не лежит на отрезке, соединяющем f ( C ( x )) с g ( C ( х )) и $$H_{t}(x)=(1-t)f(C(x))+tg(C(x))$$ является гомотопией между кривыми $f\circ C$ и $g\circ C$ избегая происхождения. Число витков гомотопически инвариантно: функция $$I(t)=\mathrm {Ind} _{H_{t}}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{H_{t}}{\frac {dz}{z}}$$ является непрерывным и целочисленным, следовательно, постоянным. Это показывает $$N_{f}(K)=\mathrm {Ind} _{f\circ C}(0)=\mathrm {Ind} _{g\circ C}(0)=N_{g}(K).$$

См. также

• Основная теорема алгебры : каждый многочлен имеет действительный или комплексный корень.
• Теорема Гурвица (комплексный анализ) - Предел корней последовательности функций
• Теорема о рациональном корне - Связь между рациональными корнями многочлена и его крайними коэффициентами.
• Свойства корней полинома – Геометрия расположения корней полинома Страницы с краткими описаниями целей перенаправления
• Теорема Римана об отображении - Математическая теорема
• Теорема Штурма - подсчет корней многочлена на интервале

Ссылки

• Бердон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргумента в анализе и топологии . Джон Уайли и сыновья. п. 131. ИСБН  0-471-99672-6 .
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк. ISBN  978-0-387-90328-6 .
• Титчмарш, ЕС (1939). Теория функций (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 117–119 , 198–203. ISBN  0-19-853349-7 .
• Руше Э., Мемуары о серии Лагранжа , Journal de l'École Polytechnique, том 22, 1862, стр. 193-224. Теорема приведена на стр. 217. См. архивы Галлики .