Теорема об открытом отображении (комплексный анализ)

В комплексном анализе теорема об открытом отображении утверждает, что если U — область комплексной плоскости C и f : U → C — непостоянная голоморфная функция , то f — открытое отображение (т. е. оно отправляет открытые подмножества U в открытое пространство). подмножества C , и мы имеем инвариантность области определения .).

Теорема об открытом отображении указывает на резкую разницу между голоморфностью и вещественной дифференцируемостью. На вещественной прямой , например, дифференцируемая функция f ( x ) = x ² не является открытым отображением, поскольку образ открытого интервала (−1, 1) является полуоткрытым интервалом [0, 1).

Например, из теоремы следует, что непостоянная голоморфная функция не может отобразить открытый диск на часть любой прямой, вложенной в комплексную плоскость. Образы голоморфных функций могут иметь нулевую вещественную размерность (если постоянная) или две (если непостоянная), но никогда не иметь размерность 1.

Доказательство

Черные точки представляют нули g ( z ). Черные кольца представляют собой полюса. Граница открытого множества U обозначена пунктирной линией. Обратите внимание, что все полюса находятся вне открытого множества. Меньший красный диск — это B , с центром в z0 _точке .

Предположим , f : U → C — непостоянная голоморфная функция, а U — область определения комплексной плоскости. Мы должны показать, что каждая точка в f ( U ) является внутренней точкой f ( U ) , т. е. что каждая точка в f ( U ) имеет окрестность (открытый диск), которая также находится в f ( U ).

Рассмотрим произвольный w0 ₍ в f U ) . существует точка z0 _что в U такая, w0 ₍ = f ) z0 _Тогда . Поскольку U открыто, мы можем найти d > 0 такое, что замкнутый диск B вокруг z ₀ с радиусом d полностью содержится в U . Рассмотрим функцию g ( z ) знак равно f ( z ) − ш ₀ . Обратите внимание, что z ₀ является корнем функции.

Мы знаем, что g ( z ) непостоянна и голоморфна. Корни g изолированы теоремой тождества , и, уменьшая радиус диска B , мы можем гарантировать, что g ( z ) имеет только один корень в B (хотя этот единственный корень может иметь кратность больше 1).

Границей B является окружность и, следовательно, компакт , на котором | г ( z )| является положительной непрерывной функцией , поэтому теорема об экстремальных значениях гарантирует существование положительного минимума e , то есть e является минимумом | г ( z )| для z на границе B и e > 0.

Обозначим через D диск вокруг w ₀ радиусом e . открытый По теореме Руше функция g ( z ) = f ( z )−w0 будет _иметь количество корней (считаемых с кратностью) в B , что и h ( z ):= f ( z ) −w1 _w1 для то же _любого в Д. Это потому, что час ( z ) знак равно г ( z ) + ( ш ₀ - ш ₁ ), а для z на границе B , | г ( z )| ≥ е > | ш ₀ - ш ₁ |. Таким образом, для каждого w ₁ в D существует хотя бы один z ₁ в B такой, что f ( z ₁ ) = w ₁ . Это означает, что диск D содержится в f ( B ).

Образ шара B , f ( B ) является подмножеством образа U , f ( U ). Таким образом, является _w0 внутренней точкой f ( U ). Поскольку w0 _f было произвольным в f ( U ), мы знаем, что ( U ) открыта. Поскольку U было произвольным, функция f открыта.

Приложения

См. также

Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

Ссылки

Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1