Теорема тождества

В реальном анализе и комплексном анализе , разделах математики , теорема тождества для аналитических функций гласит: заданные функции f и g , аналитические в области D (открытое и связное подмножество $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$), если f = g на некотором $S\subseteq D$, где $S$ имеет точку накопления в D то f = g на D. ,

Таким образом, аналитическая функция полностью определяется своими значениями в одной открытой окрестности в D или даже в счетном подмножестве D (при условии, что оно содержит сходящуюся последовательность вместе с ее пределом). В общем случае это неверно для вещественно-дифференцируемых функций, даже для бесконечно вещественно-дифференцируемых функций . Для сравнения, аналитические функции — гораздо более жесткое понятие. Неформально иногда теорему резюмируют, говоря, что аналитические функции «жесткие» (в отличие, скажем, от «мягких» непрерывных функций).

В основе этой теоремы лежит факт разложения голоморфной функции в ее ряд Тейлора .

Предположение о связности области D необходимо. Например, если D состоит из двух непересекающихся открытых множеств , $f$ может быть $0$ на одном открытом наборе, и $1$ на другом, в то время как $g$ является $0$ на одном и $2$ на другом.

Лемма

Если две голоморфные функции $f$ и $g$ в области D договоритесь о множестве S, которое имеет точку накопления $c$ в $D$, затем $f=g$ на диске в $D$ сосредоточено в $c$.

Чтобы доказать это, достаточно показать, что $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ для всех $n\geq 0$.

Если это не так, пусть $m$ быть наименьшим неотрицательным целым числом с $f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)$. По голоморфности мы имеем следующее представление ряда Тейлора в некоторой открытой окрестности U точки $c$:

${\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{aligned}}$

По непрерывности, $h$ не равно нулю на каком-то маленьком открытом диске $B$ вокруг $c$. Но тогда $f-g\neq 0$ на проколотой площадке $B-\{c\}$. Это противоречит предположению, что $c$ является местом накопления $\{f=g\}$.

Эта лемма показывает, что для комплексного числа $a\in \mathbb {C}$, волокно $f^{-1}(a)$ является дискретным (и, следовательно, счетным) множеством, если только $f\equiv a$.

Доказательство

Определите множество, на котором $f$ и $g$ имеют такое же расширение Тейлора :

$$S=\left\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\right\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\left\{z\in D\mid \left(f^{(k)}-g^{(k)}\right)(z)=0\right\}.$$

Мы покажем $S$ непусто, открыто и закрыто . Тогда связности по $D$, $S$ должно быть все $D$, что подразумевает $f=g$ на $S=D$.

По лемме $f=g$ в диске с центром $c$ в $D$, у них есть один и тот же ряд Тейлора в $c$, так $c\in S$, $S$ непусто.

Как $f$ и $g$ голоморфны на $D$, $\forall w\in S$, ряд Тейлора $f$ и $g$ в $w$ имеют ненулевой радиус сходимости . Поэтому открытый диск $B_{r}(w)$ также лежит в $S$ для некоторых $r$. Так $S$ открыт.

По голоморфности $f$ и $g$, они имеют голоморфные производные, поэтому все $f^{(n)},g^{(n)}$ являются непрерывными. Это означает, что $\{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}$ закрыто для всех $k$. $S$ является пересечением замкнутых множеств, поэтому оно замкнуто.

Полная характеристика

Поскольку теорема тождества касается равенства двух голоморфных функций , мы можем просто рассмотреть разницу (которая остается голоморфной) и можем просто охарактеризовать, когда голоморфная функция тождественно ${\textstyle 0}$. Следующий результат можно найти в.

Претензия

Позволять ${\textstyle G\subseteq \mathbb {C} }$ обозначают непустое связное открытое подмножество комплексной плоскости.Для ${\textstyle h:G\to \mathbb {C} }$ следующие эквивалентны.

1. ${\textstyle h\equiv 0}$ на ${\textstyle G}$;
2. набор ${\textstyle G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}}$ содержит точку накопления , ${\textstyle z_{0}}$;
3. набор ${\textstyle G_{\ast }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}G_{n}}$ непусто, где ${\textstyle G_{n}:=\{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}}$.

Доказательство

Направления (1 ${\textstyle \Rightarrow }$ 2) и (1 ${\textstyle \Rightarrow }$ 3) выполняется тривиально.

Для (3 ${\textstyle \Rightarrow }$ 1) , по связности ${\textstyle G}$ достаточно доказать, что непустое подмножество, ${\textstyle G_{\ast }\subseteq G}$, является открытозамкнутым (поскольку топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда оно не имеет собственных открытозамкнутых подмножеств).Поскольку голоморфные функции бесконечно дифференцируемы, т.е. ${\textstyle h\in C^{\infty }(G)}$, ясно, что ${\textstyle G_{\ast }}$ закрыт. Чтобы продемонстрировать открытость, рассмотрите некоторые ${\textstyle u\in G_{\ast }}$.Рассмотрим открытый шар. ${\textstyle U\subseteq G}$ содержащий ${\textstyle u}$, в котором ${\textstyle h}$ имеет сходящееся разложение в ряд Тейлора с центром ${\textstyle u}$.В силу ${\textstyle u\in G_{\ast }}$, все коэффициенты этого ряда ${\textstyle 0}$, откуда ${\textstyle h\equiv 0}$ на ${\textstyle U}$.Отсюда следует, что все ${\textstyle n}$-я производная от ${\textstyle h}$ являются ${\textstyle 0}$ на ${\textstyle U}$, откуда ${\textstyle U\subseteq G_{\ast }}$.Итак, каждый ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ лежит внутри ${\textstyle G_{\ast }}$.

Навстречу (2 ${\textstyle \Rightarrow }$ 3) , зафиксировать точку накопления ${\textstyle z_{0}\in G_{0}}$.Теперь непосредственно по индукции докажем, что ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$ для каждого ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$.С этой целью позвольте ${\textstyle r\in (0,\infty )}$ быть строго меньше радиуса сходимости в степенной ряд разложения ${\textstyle h}$ вокруг ${\textstyle z_{0}}$, заданный ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k}}$. Исправьте сейчас некоторые ${\textstyle n\geq 0}$ и предположим, что ${\textstyle z_{0}\in G_{k}}$ для всех ${\textstyle k<n}$. Тогда для ${\textstyle z\in {\bar {B}}_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ манипулирование выходами разложения в степенной ряд

$$h^{(n)}(z_{0})=n!{\frac {h(z)}{(z-z_{0})^{n}}}-(z-z_{0})\underbrace {n!\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k-(n+1)}} _{=:R(z)}.$$

( 1 )

Обратите внимание, что, поскольку ${\textstyle r}$ меньше радиуса степенного ряда, легко вывести, что степенной ряд ${\textstyle R(\cdot )}$ непрерывен и, следовательно, ограничен на ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$.

Теперь, поскольку ${\textstyle z_{0}}$ является точкой накопления ${\textstyle G_{0}}$, существует последовательность точек ${\textstyle (z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ сходящийся к ${\textstyle z_{0}}$.С ${\textstyle h\equiv 0}$ на ${\textstyle G_{0}}$ и поскольку каждый ${\textstyle z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$, выражение в ( 1 ) дает

$$h^{(n)}(z_{0})=n!{\frac {h(z^{(i)})}{(z^{(i)}-z_{0})^{n}}}-(z^{(i)}-z_{0})R(z^{(i)})=0-\underbrace {(z^{(i)}-z_{0})} _{\longrightarrow _{i}0}R(z^{(i)}).$$

( 2 )

В силу ограниченности ${\textstyle R(\cdot )}$ на ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$,отсюда следует, что ${\textstyle h^{(n)}(z_{0})=0}$, откуда ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$.По индукции утверждение справедливо. КЭД

См. также

• Аналитическое продолжение
• Теорема тождества римановых поверхностей

Ссылки

• Абловиц, Марк Дж.; Фокас А.С. (1997). Комплексные переменные: Введение и приложения . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 122. ИСБН  0-521-48058-2 .