Теорема Мардена

Треугольник и его эллипс Штейнера. Нули p ( z ) — это черные точки, а нули p’ ( z ) — красные точки). Центральная зеленая точка — это ноль p "( z ) . Теорема Мардена утверждает, что красные точки — это фокусы эллипса.

В математике но теорема Мардена , названная в честь Морриса Мардена, доказанная около 100 лет назад Йоргом Зибеком, дает геометрическую связь между нулями многочлена третьей степени с комплексными коэффициентами и нулями его производной . См. также геометрические свойства корней многочленов .

Заявление

Кубический многочлен имеет три нуля в плоскости комплексных чисел, которые обычно образуют треугольник, и теорема Гаусса – Лукаса утверждает, что корни его производной лежат внутри этого треугольника. Теорема Мардена более точно определяет их расположение внутри этого треугольника:

Предположим, что нули z ₁ , z ₂ и z ₃ полинома третьей степени p ( z ) неколлинеарны. вписан единственный эллипс треугольник с вершинами z1 _{касательными} , z2 _В , z3 _: и к сторонам в их серединах эллипс Штейнера . Фокусами ' этого эллипса являются нули производной p ( z ) .

Доказательство

Это доказательство основано на упражнении из книги Фрица Карлсона «Геометрия» (на шведском языке, 1943 г.).

Доказательство

Учитывая любой $a,b\in \mathbb {C}$ с $a\neq 0$, определять $g(z)=f(az+b)$, затем $g'(z)=af'(az+b)$. Таким образом, мы имеем $$g^{-1}(0)=(f^{-1}(0)-b)/a$$

и аналогично для $g'$ и $f'$. Другими словами, путем линейной замены переменных мы можем выполнять произвольный перенос, вращение и масштабирование корней $f$ и $f'$.

Таким образом, WLOG, мы позволяем фокальным точкам эллипса Штейнера находиться на действительной оси, при $\pm c$, где $c$ это фокусное расстояние. Позволять $a,b$ — длинная и короткая полуоси, так что $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.

Пусть три корня $f$ быть $z_{j}:=x_{j}+y_{j}i$ для $j=0,1,2$.

Горизонтально растяните комплексную плоскость так, чтобы эллипс Штейнера стал кругом радиуса $b$. Это превратит треугольник в равносторонний треугольник с вершинами $\zeta _{j}={\frac {b}{a}}x_{j}+y_{j}i$.

По геометрии равностороннего треугольника, $\sum _{j}\zeta _{j}=0$, у нас есть $\sum _{j}z_{j}=0$, таким образом $f(z)=z^{3}+z\sum _{j}z_{j}z_{j+1}-z_{0}z_{1}z_{2}$ по формулам Виеты (для чистоты обозначений мы «зацикливаем» индексы, т.е. $z_{3}=z_{0}$.). Теперь осталось показать, что $3c^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}=0$,

С $0=\left(\sum _{j}z_{j}\right)^{2}=\sum _{j}z_{j}^{2}+2\sum _{j}z_{j}z_{j+1}$, осталось показать $\sum _{j}z_{j}^{2}=6c^{2}$, то есть осталось показать

$$\sum _{j}x_{j}y_{j}=0;\quad \sum _{j}x_{j}^{2}-y_{j}^{2}=6(a^{2}-b^{2})$$

По геометрии равностороннего треугольника имеем $\sum _{j}\zeta _{j}^{2}=0$, и $|\zeta _{j}|=2b$ для каждого $j$, что подразумевает

$$\sum _{j}{\frac {2b}{a}}x_{j}y_{j}=0;\quad \sum _{j}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x_{j}^{2}-y_{j}^{2}=0;\quad \sum _{j}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x_{j}^{2}+y_{j}^{2}=12b^{2}$$

что дает нужные равенства.

Дополнительные связи между положениями корней и эллипсом Штейнера

По теореме Гаусса-Люкаса корень двойной производной p "( z ) должен быть средним из двух фокусов, которые являются центральной точкой эллипса и центроидом треугольника. В частном случае, когда треугольник равносторонний (как это происходит, например, для многочлена p ( z ) = z ³ − 1 ) вписанный эллипс становится кругом, а производная от p имеет двойной корень в центре круга. И наоборот, если производная имеет двойной корень, то треугольник должен быть равносторонним ( Калман 2008а ).

Обобщения

Более общая версия теоремы, предложенная Линфилдом (1920) , применима к многочленам p ( z ) = ( z − a ) ^я ( z - б ) ^дж ( z - c ) ^к степень i + j + k которых может быть выше трех, но которые имеют только три корня a , b и c . Для таких многочленов корни производной можно найти в кратных корнях данного многочлена (корнях, показатель которых больше единицы) и в фокусах эллипса, точки касания которого с треугольником делят его стороны в соотношениях я : j , j : k и k : i .

Другое обобщение ( Пэриш (2006) ) касается n -угольников: некоторые n- угольники имеют внутренний эллипс, касающийся каждой стороны в средней точке стороны. Теорема Мардена все еще применима: фокусы этого эллипса, касающегося средней точки, являются нулями производной многочлена, нули которого являются вершинами n -угольника.

История

Йорг Зибек открыл эту теорему за 81 год до того, как о ней написал Марден. Однако Дэн Калман назвал свою статью в American Mathematical Monthly «Теорема Мардена», потому что, как он пишет: «Я называю эту теорему Мардена, потому что впервые прочитал ее в замечательной книге М. Мардена».

Марден ( 1945 , 1966 то, что сейчас известно как теорема Мардена ) приписывает Зибеку (1864) , и цитирует девять статей, включающих версию этой теоремы. Дэн Калман выиграл премию Лестера Р. Форда от Математической ассоциации Америки в 2009 году за свою статью 2008 года в American Mathematical Monthly, описывающую теорему.

См. также

• Теорема Бошера для рациональных функций

Ссылки

• Калман, Дэн (2008a), «Элементарное доказательство теоремы Мардена» , The American Mathematical Monthly , 115 (4): 330–338, doi : 10.1080/00029890.2008.11920532 , ISSN   0002-9890 , S2CID   13222698
• Калман, Дэн (2008b), «Самая чудесная теорема в математике» , Журнал онлайн-математики и ее приложений.
• Линфилд, Б.З. (1920), «Об отношении корней и полюсов рациональной функции к корням ее производной», Бюллетень Американского математического общества , 27 : 17–21, doi : 10.1090/S0002-9904-1920 -03350-1 .
• Марден, Моррис (1945), «Заметка о нулях частей дробной дроби» , Бюллетень Американского математического общества , 51 (12): 935–940, doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08470- 5
• Марден, Моррис (1966), Геометрия полиномов , Математические обзоры, том. 3, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество ; перепечатка оригинальной публикации 1949 года {{citation}}: CS1 maint: postscript ( ссылка ) ; Переиздание ПБК 2005 г. с исправлениями.
• Пэриш, Джеймс Л. (2006), «О производной вершинного полинома» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 285–288: Предложение 5
• Зибек, Йорг (1864), «О новой аналитической трактовке фокусных точек» , Журнал чистой и прикладной математики , 64 : 175–182, ISSN   0075-4102 , ссылка на доверие