Электрическое сопротивление и проводимость

Эта статья посвящена конкретным применениям проводимости и удельного сопротивления в электрических элементах. Информацию о других типах проводимости см. в разделе «Проводимость» . Общие сведения об электропроводности см. в разделе «Электрическое сопротивление и проводимость» .

«Резистивный» перенаправляется сюда. Термин, используемый применительно к сенсорным экранам, см. в разделе « Резистивный сенсорный экран» .

Электрическое сопротивление
Общие символы	р
И объединились	Ом (Ом)
В базовых единицах СИ	kg⋅m 2 ⋅s −3 ⋅A −2
Измерение	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {I}}^{-2}$

Электрическая проводимость
Общие символы	г
И объединились	Сименс (С)
В базовых единицах СИ	кг −1 ⋅m −2 ⋅s 3 ⋅A 2
Измерение	${\mathsf {M}}^{-1}{\mathsf {L}}^{-2}{\mathsf {T}}^{3}{\mathsf {I}}^{2}$

Электрическое сопротивление объекта является мерой его сопротивления потоку электрического тока . Его обратная величина равна электропроводность , измеряющая легкость прохождения электрического тока. Электрическое сопротивление имеет некоторые концептуальные параллели с механическим трением . Единицей в системе СИ электрического сопротивления является ом ( Ом ), а электропроводность измеряется в сименсах (См) (ранее называвшихся «мо», а затем обозначавшихся ℧ ).

Сопротивление объекта во многом зависит от материала, из которого он изготовлен. Объекты, изготовленные из электрических изоляторов , таких как резина, имеют тенденцию иметь очень высокое сопротивление и низкую проводимость, в то время как объекты, изготовленные из электрических проводников , таких как металлы, имеют тенденцию иметь очень низкое сопротивление и высокую проводимость. Эта связь количественно определяется удельным сопротивлением или проводимостью . Однако природа материала не является единственным фактором сопротивления и проводимости; это также зависит от размера и формы объекта, поскольку эти свойства скорее экстенсивны, чем интенсивны . Например, сопротивление провода выше, если он длинный и тонкий, и ниже, если он короткий и толстый. Все объекты сопротивляются электрическому току, за исключением сверхпроводников , сопротивление которых равно нулю.

Сопротивление R объекта определяется как отношение напряжения V на нем к току I , протекающему через него, а проводимость G является обратной величиной:

$$R={\frac {V}{I}},\qquad G={\frac {I}{V}}={\frac {1}{R}}.$$

Для самых разных материалов и условий V и I прямо пропорциональны друг другу, и поэтому R и G являются константами (хотя они будут зависеть от размера и формы объекта, материала, из которого он изготовлен, и других факторов). например, температура или напряжение ). Эта пропорциональность называется законом Ома , а материалы, удовлетворяющие ему, называются омическими материалами.

В других случаях, например, в трансформаторе , диоде или батарее , V и I не прямо пропорциональны. Соотношение V / I иногда все еще полезен и называется хордальным сопротивлением или статическим сопротивлением . он соответствует обратному наклону хорды между координат ВАХ и поскольку началом . В других ситуациях производная ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} I}}}$может быть наиболее полезным; это называется дифференциальным сопротивлением .

Введение

Гидравлическая аналогия сравнивает электрический ток, текущий по цепям, с водой, текущей по трубам. Когда труба (слева) наполнена волосами (справа), для достижения того же потока воды требуется большее давление. Проталкивание электрического тока через большое сопротивление похоже на проталкивание воды через трубу, забитую волосами: ) требуется больший толчок ( электродвижущая сила для создания того же потока ( электрического тока ) .

В гидравлической аналогии ток, текущий по проводу (или резистору ), подобен воде, текущей по трубе, а падение напряжения на проводе похоже на перепад давления , который проталкивает воду через трубу. Проводимость пропорциональна величине потока при данном давлении, а сопротивление пропорционально тому, какое давление требуется для достижения данного потока.

( Падение напряжения т. е. разница между напряжениями на одной стороне резистора и другой), а не само напряжение , обеспечивает движущую силу, проталкивающую ток через резистор. В гидравлике аналогично: расход через нее определяет не само давление, а разница давлений между двумя сторонами трубы. Например, над трубой может находиться большое давление воды, которое пытается протолкнуть воду вниз по трубе. Но под трубой может быть такое же большое давление воды, которое пытается вытолкнуть воду обратно вверх по трубе. Если эти давления равны, вода не течет. (На изображении справа давление воды под трубой равно нулю.)

Сопротивление и проводимость провода, резистора или другого элемента в основном определяются двумя свойствами:

• геометрия (форма) и
• материал

Геометрия важна, поскольку протолкнуть воду через длинную узкую трубу труднее, чем через широкую короткую трубу. Точно так же длинный и тонкий медный провод имеет более высокое сопротивление (меньшую проводимость), чем короткий и толстый медный провод.

Материалы также важны. Труба, наполненная волосами, ограничивает поток воды больше, чем чистая труба той же формы и размера. Точно так же электроны могут свободно и легко течь через медный провод, но не могут так же легко течь через стальной провод той же формы и размера, и они, по сути, вообще не могут течь через изолятор , такой как резина , независимо от его формы. Разница между медью, сталью и резиной связана с их микроскопической структурой и электронной конфигурацией и количественно определяется свойством, называемым удельным сопротивлением .

Помимо геометрии и материала, существуют и другие факторы, влияющие на сопротивление и проводимость, например температура; см . ниже .

Проводники и резисторы

75 Ом Резистор сопротивлением , обозначенный его электронным цветовым кодом (фиолетово-зеленый-черный-золотой-красный). . омметр Для проверки этого значения можно использовать

Вещества, в которых может течь электрический ток, называются проводниками . Кусок проводящего материала определенного сопротивления, предназначенный для использования в цепи, называется резистором . Проводники изготавливаются из материалов с высокой проводимостью , таких как металлы, в частности медь и алюминий. С другой стороны, резисторы изготавливаются из самых разных материалов в зависимости от таких факторов, как желаемое сопротивление, количество энергии, которую необходимо рассеять, точность и стоимость.

Закон Ома

Основная статья: Закон Ома

Вольт -амперные характеристики четырех устройств: Два резистора , диод и аккумулятор . Горизонтальная ось — падение напряжения , вертикальная ось — ток . Закон Ома выполняется, когда график представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Следовательно, два резистора являются омическими , а диод и батарея — нет.

Для многих материалов ток I через материал пропорционален напряжению V приложенному к нему :

$$I\propto V$$

в широком диапазоне напряжений и токов. Следовательно, сопротивление и проводимость объектов или электронных компонентов, изготовленных из этих материалов, постоянны. Это соотношение называется законом Ома , а материалы, подчиняющиеся ему, называются омическими материалами. Примерами омических компонентов являются провода и резисторы . График тока-напряжения омического устройства представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, с положительным наклоном .

Другие компоненты и материалы, используемые в электронике, не подчиняются закону Ома; ток не пропорционален напряжению, поэтому сопротивление меняется в зависимости от напряжения и тока через них. Их называют нелинейными или неомическими . Примеры включают диоды и люминесцентные лампы .

Связь с удельным

Основная статья: Удельное электрическое сопротивление и проводимость

Кусок резистивного материала с электрическими контактами на обоих концах.

Сопротивление данного объекта зависит прежде всего от двух факторов: из какого материала он изготовлен и его формы. Для данного материала сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения; например, толстая медная проволока имеет более низкое сопротивление, чем идентичная в остальном тонкая медная проволока. Кроме того, для данного материала сопротивление пропорционально длине; например, длинный медный провод имеет более высокое сопротивление, чем идентичный в остальном медный провод. Таким образом, сопротивление R и проводимость G проводника однородного поперечного сечения можно вычислить как

$${\begin{aligned}R&=\rho {\frac {\ell }{A}},\\[5pt]G&=\sigma {\frac {A}{\ell }}\,.\end{aligned}}$$

где $\ell$ — длина проводника, измеряемая в метрах (м), А — площадь поперечного сечения проводника, измеряемая в квадратных метрах (м). ² ), σ ( сигма ) — электропроводность, измеряемая в сименсах на метр (См·м ⁻¹ ), а ρ ( rho ) — электрическое сопротивление (также называемое удельным электрическим сопротивлением ) материала, измеряемое в ом-метрах (Ом·м). Удельное сопротивление и проводимость являются константами пропорциональности и, следовательно, зависят только от материала, из которого изготовлен провод, а не от геометрии провода. Удельное сопротивление и проводимость обратные величины : $\rho =1/\sigma$. Удельное сопротивление — это мера способности материала противостоять электрическому току.

Эта формула не точна, поскольку предполагает, что плотность тока в проводнике полностью однородна, что не всегда верно в практических ситуациях. Однако эта формула по-прежнему обеспечивает хорошее приближение для длинных тонких проводников, таких как провода.

Другая ситуация, для которой эта формула неточна, — это переменный ток (AC), поскольку скин-эффект препятствует протеканию тока вблизи центра проводника. По этой причине геометрическое сечение отличается от эффективного сечения, в котором фактически течет ток, поэтому сопротивление выше ожидаемого. Аналогично, если два проводника, находящиеся рядом друг с другом, несут переменный ток, их сопротивления увеличиваются из-за эффекта близости . На коммерческой частоте эти эффекты существенны для толстых проводников, по которым проходят большие токи, таких как шины на электрической подстанции . или большие силовые кабели с силой тока более нескольких сотен ампер.

Удельное сопротивление разных материалов сильно различается: например, проводимость тефлона составляет около 10 ³⁰ раз ниже проводимости меди. Грубо говоря, это связано с тем, что металлы имеют большое количество «делокализованных» электронов, которые не застряли в каком-либо одном месте, поэтому они могут свободно перемещаться на большие расстояния. В изоляторе, таком как тефлон, каждый электрон прочно связан с отдельной молекулой, поэтому для его отрыва требуется большая сила. Полупроводники находятся между этими двумя крайностями. Подробнее можно прочитать в статье: Удельное электросопротивление и проводимость . О растворах электролитов см. статью: Проводимость (электролитическая) .

Сопротивление меняется в зависимости от температуры. В полупроводниках удельное сопротивление также меняется под воздействием света. См. ниже .

Измерение

Основная статья: Омметр

омметр ​

Прибор для измерения сопротивления называется омметром . Простые омметры не могут точно измерять низкие сопротивления, поскольку сопротивление их измерительных проводов вызывает падение напряжения, которое мешает измерению, поэтому в более точных устройствах используется четырехконтактное считывание .

Типичные значения

См. Также: Удельное электрическое сопротивление элементов (страница данных) и Удельное электрическое сопротивление и проводимость.

Типичные значения сопротивления для выбранных объектов

Компонент	Сопротивление (Ом)
1 метр медного провода диаметром 1 мм.	0.02
1 км Воздушная линия электропередачи длиной ( типовая )	0.03
Батарея АА ( типичное внутреннее сопротивление )	0.1
Нить лампы накаливания ( типовая )	200–1000
Тело человека	1000–100,000

и

См. также: Модель слабого сигнала.

Кривая тока-напряжения неомического устройства (фиолетовый). Статическое сопротивление в точке A представляет собой обратный наклон линии B, проходящей через начало координат. Дифференциальное сопротивление в точке представляет собой обратную наклон касательной линии C. A

Кривая вольт-амперного компонента компонента с отрицательным дифференциальным сопротивлением — необычное явление, при котором кривая вольт-амперная характеристика немонотонна .

Многие электрические элементы, такие как диоды и аккумуляторы, удовлетворяют не закону Ома . Их называют неомическими или нелинейными , и их кривые ток-напряжение являются не прямыми линиями, проходящими через начало координат.

Сопротивление и проводимость все еще можно определить для неомических элементов. Однако, в отличие от омического сопротивления, нелинейное сопротивление не является постоянным, а меняется в зависимости от напряжения или тока, проходящего через устройство; т. е. его рабочая точка . Существует два типа сопротивления:

Статическое сопротивление

Также называется хордальным сопротивлением или сопротивлением постоянному току.

Это соответствует обычному определению сопротивления; напряжение, деленное на ток

$$R_{\mathrm {static} }={\frac {U}{I}}\,.$$

Это наклон линии ( хорды ) от начала координат до точки кривой. Статическое сопротивление определяет рассеиваемую мощность в электрическом компоненте. Точки на вольт-амперной кривой, расположенные во 2-м или 4-м квадрантах, для которых наклон хордальной линии отрицательный, обладают отрицательным статическим сопротивлением . Пассивные устройства, не имеющие источника энергии, не могут иметь отрицательное статическое сопротивление. Однако активные устройства, такие как транзисторы или операционные усилители, могут синтезировать отрицательное статическое сопротивление с обратной связью, и оно используется в некоторых схемах, таких как гираторы .

Дифференциальное сопротивление

Также называется динамическим , инкрементальным или малосигнальным сопротивлением.

Дифференциальное сопротивление — это производная напряжения по току; наклон кривой ток-напряжение в точке

$$R_{\mathrm {diff} }={\frac {{\mathrm {d} }U}{{\mathrm {d} }I}}\,.$$

Если кривая ток-напряжение немонотонна ( с пиками и впадинами), в некоторых областях кривая имеет отрицательный наклон, поэтому в этих областях устройство имеет отрицательное дифференциальное сопротивление . Устройства с отрицательным дифференциальным сопротивлением могут усиливать подаваемый на них сигнал и используются для изготовления усилителей и генераторов. К ним относятся туннельные диоды , диоды Ганна , диоды IMPATT , магнетронные трубки и однопереходные транзисторы .

Цепи переменного тока

Импеданс и адмиттанс

Основные статьи: Электрический импеданс и адмиттанс

Зависимость напряжения (красный) и тока (синий) от времени (горизонтальная ось) для конденсатора (вверху) и катушки индуктивности (внизу). Поскольку амплитуда тока и напряжения синусоиды одинакова, абсолютное значение импеданса . равно 1 как для конденсатора, так и для катушки индуктивности (в любых единицах измерения, которые используются на графике) С другой стороны, разность фаз между током и напряжением для конденсатора составляет -90 °; следовательно, фаза импеданса комплексная конденсатора равна -90°. Аналогично, разность фаз между током и напряжением для катушки индуктивности составляет +90°; следовательно, комплексная фаза сопротивления дросселя равна +90°.

При протекании переменного тока по цепи соотношение между током и напряжением на элементе цепи характеризуется не только соотношением их величин, но и разностью их фаз . Например, в идеальном резисторе в момент, когда напряжение достигает максимума, ток также достигает максимума (ток и напряжение колеблются синфазно). Но для конденсатора или катушки индуктивности максимальный ток возникает, когда напряжение проходит через ноль и наоборот (ток и напряжение колеблются на 90° не по фазе, см. изображение ниже). Комплексные числа используются для отслеживания фазы и величины тока и напряжения:

$${\begin{array}{cl}u(t)&=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left(U_{0}\cdot e^{j\omega t}\right)\\i(t)&=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left(I_{0}\cdot e^{j(\omega t+\varphi )}\right)\\Z&={\frac {U}{\ I\ }}\\Y&={\frac {\ 1\ }{Z}}={\frac {\ I\ }{U}}\end{array}}$$

где:

• т – время;
• u ( t ) и i ( t ) — напряжение и ток как функция времени соответственно;
• U ₀ и I ₀ обозначают амплитуду напряжения и тока соответственно;
• $\omega$ – угловая частота переменного тока;
• $\varphi$ – угол смещения;
• U и I — комплексные напряжение и ток соответственно;
• Z и Y — комплексный импеданс и адмиттанс соответственно;
• ${\mathcal {R_{e}}}$указывает действительную часть комплексного числа ; и
• $j\equiv {\sqrt {-1\ }}$ это мнимая единица .

Импеданс и адмиттанс можно выразить в виде комплексных чисел, которые можно разбить на действительную и мнимую части:

$${\begin{aligned}Z&=R+jX\\Y&=G+jB~.\end{aligned}}$$

где R — сопротивление, G — проводимость, X — реактивное сопротивление , а B — проводимость . Это приводит к комплексных чисел тождествам

$${\begin{aligned}R&={\frac {G}{\ G^{2}+B^{2}\ }}\ ,\qquad &X={\frac {-B~}{\ G^{2}+B^{2}\ }}\ ,\\G&={\frac {R}{\ R^{2}+X^{2}\ }}\ ,\qquad &B={\frac {-X~}{\ R^{2}+X^{2}\ }}\ ,\end{aligned}}$$

которые верны во всех случаях, тогда как $\ R=1/G\$ справедливо только в особых случаях постоянного тока или тока без реактивного сопротивления.

Сложный угол $\ \theta =\arg(Z)=-\arg(Y)\$— это разность фаз между напряжением и током, проходящим через компонент с Z. сопротивлением Для конденсаторов и катушек индуктивности этот угол равен ровно -90° или +90° соответственно, а X и B не равны нулю. Идеальные резисторы имеют угол 0°, поскольку X равен нулю (а значит, и B ), а Z и Y уменьшаются до R и G соответственно. Как правило, системы переменного тока проектируются так, чтобы фазовый угол был максимально близким к 0°, поскольку это снижает реактивную мощность , которая не совершает полезной работы при нагрузке. В простом случае с индуктивной нагрузкой (вызывающей увеличение фазы) для компенсации на одной частоте можно добавить конденсатор, поскольку фазовый сдвиг конденсатора отрицательный, что снова приближает фазу общего импеданса к 0 °.

Y является обратной величиной Z ( $\ Z=1/Y\$) для всех цепей, так же, как $R=1/G$ для цепей постоянного тока, содержащих только резисторы, или цепей переменного тока, для которых либо реактивное сопротивление, либо резистивность равны нулю ( X или B = 0 соответственно) (если один из них равен нулю, то для реалистичных систем оба должны быть равны нулю).

Частотная зависимость

Ключевой особенностью цепей переменного тока является то, что сопротивление и проводимость могут зависеть от частоты — явление, известное как универсальный диэлектрический отклик . Одной из причин, упомянутой выше, является скин-эффект (и связанный с ним эффект близости ). Другая причина в том, что само удельное сопротивление может зависеть от частоты (см. Модель Друде , ловушки глубоких уровней , резонансная частота , соотношения Крамерса–Кронига и т. д.).

Рассеяние энергии

Основная статья: Джоулево отопление

Прохождение тока через материал с сопротивлением создает тепло в явлении, называемом джоулевым нагревом . На этом снимке картриджный нагреватель , нагретый за счет джоулева тепла, раскален докрасна .

Резисторы (и другие элементы с сопротивлением) противодействуют прохождению электрического тока; следовательно, для пропускания тока через сопротивление требуется электрическая энергия. Эта электрическая энергия рассеивается, нагревая при этом резистор. Это называется джоулевым нагревом (в честь Джеймса Прескотта Джоуля ), также называемым омическим нагревом или резистивным нагревом .

Рассеяние электрической энергии часто нежелательно, особенно в случае потерь при передаче в линиях электропередачи . Передача высокого напряжения помогает снизить потери за счет уменьшения тока при заданной мощности.

С другой стороны, иногда бывает полезен джоулевый нагрев, например, в электроплитах и ​​других электронагревателях (также называемых резистивными нагревателями ). Другой пример: лампы накаливания используют джоулевый нагрев: нить накаливания нагревается до такой высокой температуры, что она раскаляется добела тепловым излучением (также называемым накалом ).

Формула джоулева нагрева:

$$P=I^{2}R$$

где P — мощность (энергия в единицу времени), преобразованная из электрической энергии в тепловую, R — сопротивление, а I — ток через резистор.

Зависимость от других условий

Температурная зависимость

Основная статья: Удельное электросопротивление и проводимость § Температурная зависимость

При комнатной температуре удельное сопротивление металлов обычно увеличивается с повышением температуры, тогда как удельное сопротивление полупроводников обычно уменьшается с повышением температуры. Удельное сопротивление изоляторов и электролитов может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от системы. Подробное описание поведения и объяснение см. в разделе «Электрическое сопротивление и проводимость» .

Как следствие, сопротивление проводов, резисторов и других компонентов часто меняется в зависимости от температуры. Этот эффект может быть нежелательным, вызывая сбой в работе электронной схемы при экстремальных температурах. Однако в некоторых случаях эффект находит хорошее применение. Когда целенаправленно используется сопротивление компонента, зависящее от температуры, этот компонент называется термометром сопротивления или термистором . (Термометр сопротивления изготавливается из металла, обычно платины, а термистор — из керамики или полимера.)

Термометры сопротивления и термисторы обычно используются двумя способами. Во-первых, их можно использовать в качестве термометров : измеряя сопротивление, можно определить температуру окружающей среды. Во-вторых, их можно использовать в сочетании с джоулевым нагревом (также называемым самонагревом): если через резистор протекает большой ток, температура резистора повышается и, следовательно, изменяется его сопротивление. Следовательно, эти компоненты могут использоваться для защиты цепей, подобно предохранителям , или для обратной связи в цепях, или для многих других целей. В общем, самонагрев может превратить резистор в нелинейный и гистерезисный элемент схемы. Более подробную информацию см. в разделе Термистор#Эффекты самонагревания .

Если температура T не меняется слишком сильно, линейное приближение обычно используется :

$$R(T)=R_{0}[1+\alpha (T-T_{0})]$$

где $\alpha$ называется температурным коэффициентом сопротивления , $T_{0}$ — фиксированная эталонная температура (обычно комнатная температура), а $R_{0}$ сопротивление при температуре $T_{0}$. Параметр $\alpha$— эмпирический параметр, подобранный на основе данных измерений. Поскольку линейное приближение — это всего лишь приближение, $\alpha$различна для разных эталонных температур. По этой причине обычно указывают температуру, $\alpha$ измерялся с суффиксом, например $\alpha _{15}$, и эта зависимость сохраняется только в диапазоне температур около эталонного.

Температурный коэффициент $\alpha$ обычно +3 × 10 ⁻³ K−1 равен +6 × 10 ⁻³ К-1 для металлов при температуре около комнатной. Обычно он отрицателен для полупроводников и изоляторов и имеет сильно переменную величину.

Зависимость от деформации

Основная статья: Тензодатчик

Точно так же, как сопротивление проводника зависит от температуры, сопротивление проводника зависит от деформации . При помещении проводника под напряжение (вид напряжения , приводящий к деформации в виде растяжения проводника) длина натянутого участка проводника увеличивается, а площадь его поперечного сечения уменьшается. Оба этих эффекта способствуют увеличению сопротивления напряжённого участка проводника. При сжатии (деформации в противоположном направлении) сопротивление натянутого участка проводника уменьшается. см. в обсуждении тензорезисторов . Подробную информацию об устройствах, созданных для использования этого эффекта,

Зависимость освещенности от света

Основные статьи: Фоторезистор и фотопроводимость

Некоторые резисторы, особенно сделанные из полупроводников , обладают фотопроводимостью , то есть их сопротивление изменяется, когда на них падает свет. Поэтому их называют фоторезисторами (или светозависимыми резисторами ). Это распространенный тип детектора света .

Сверхпроводимость

Основная статья: Сверхпроводимость

Сверхпроводники — это материалы, которые имеют ровно нулевое сопротивление и бесконечную проводимость, потому что они могут иметь V = 0 и I ≠ 0 . Это также означает отсутствие джоулевого нагрева или, другими словами, рассеяния электрической энергии. Следовательно, если сверхпроводящий провод превратить в замкнутый контур, ток будет течь по контуру вечно. Сверхпроводники требуют охлаждения до температуры около 4 К жидким гелием для большинства металлических сверхпроводников, таких как сплавы ниобий-олово , или охлаждения до температуры около 77 К жидким азотом для дорогих, хрупких и деликатных керамических высокотемпературных сверхпроводников . Тем не менее, существует множество технологических применений сверхпроводимости , включая сверхпроводящие магниты .

См. также

• Квант проводимости
  • Константа фон Клитцинга (обратная ей величина)
• Электрические измерения
• Контактное сопротивление
• Электрическое сопротивление и проводимость для получения дополнительной информации о физических механизмах проводимости материалов.
• Шум Джонсона – Найквиста
• Квантовый эффект Холла — стандарт высокоточных измерений сопротивления.
• Резистор
• Код РКМ
• Последовательные и параллельные цепи
• Листовое сопротивление
• Единицы электромагнетизма СИ
• Термическое сопротивление
• Делитель напряжения
• Падение напряжения

Внешние ссылки

• «Калькулятор сопротивления» . Лаборатория автомобильной электроники. Клемсонский университет. Архивировано из оригинала 11 июля 2010 года.
• «Модели электронной проводимости с использованием случайных блужданий с максимальной энтропией» . www.wolfram.com . Демонстрационный проект Wolfram.