Тензор напряжений Максвелла

Тензор напряжений Максвелла (названный в честь Джеймса Клерка Максвелла второго порядка ) представляет собой симметричный тензор в трех измерениях, который используется в классическом электромагнетизме для представления взаимодействия между электромагнитными силами и механическим импульсом . В простых ситуациях, таких как точечный заряд, свободно перемещающийся в однородном магнитном поле, легко вычислить силы, действующие на заряд, исходя из закона сил Лоренца . Когда ситуация усложняется, эта обычная процедура может стать непрактично сложной, поскольку уравнения охватывают несколько строк. Поэтому удобно собрать многие из этих членов в тензоре напряжений Максвелла и использовать тензорную арифметику для поиска ответа на поставленную задачу.

В релятивистской формулировке электромагнетизма девять компонентов тензора напряжения Максвелла появляются в отрицательном виде как компоненты электромагнитного тензора напряжения-энергии , который является электромагнитным компонентом полного тензора напряжения-энергии . Последний описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени .

Мотивация

Как показано ниже, электромагнитная сила записывается в виде $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$. Используя векторное исчисление и уравнения Максвелла , симметрию ищут в терминах, содержащих $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$, а введение тензора напряжений Максвелла упрощает результат.

Уравнения Максвелла в единицах СИ в вакууме
(для справки)

Имя	Дифференциальная форма
Закон Гаусса (в вакууме)	${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
Закон Гаусса для магнетизма	${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0$
Уравнение Максвелла – Фарадея (Закон индукции Фарадея)	${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Круговой закон Ампера (в вакууме) (с поправкой Максвелла)	${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$

1. Начнем с сил Лоренца закона .

   $${\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}$$сила на единицу объема равна

   $$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$$
2. Следующий, $\rho$ и $\mathbf {J}$ можно заменить полями $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$, используя закон Гаусса и закон цепи Ампера : $$\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B}$$
3. Производную по времени можно переписать во что-то, что можно интерпретировать физически, а именно в вектор Пойнтинга . Использование правила произведения и закона индукции Фарадея дает $${\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )$$и теперь мы можем переписать $\mathbf {f}$ как $$\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),$$затем собираем термины с $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ дает $$\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$$
4. Кажется, что термин «отсутствует» из симметрии в $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$, чего можно добиться, вставив $\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B}$ из-за закона Гаусса для магнетизма : $$\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$$Устранение завитков (которые довольно сложно вычислить), используя тождество векторного исчисления $${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,$$приводит к: $$\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$$
5. Это выражение содержит все аспекты электромагнетизма и импульса, и его относительно легко вычислить. введя тензор напряжений Максвелла Его можно записать более компактно , $$\sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).$$Все, кроме последнего срока $\mathbf {f}$ можно записать как тензорную дивергенцию тензора напряжений Максвелла, что дает: $${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,$$Как и в теореме Пойнтинга , второй член в правой части приведенного выше уравнения можно интерпретировать как производную по времени плотности импульса ЭМ поля, а первый член — это производную по времени плотности импульса массивных частиц. Таким образом, приведенное выше уравнение будет законом сохранения импульса в классической электродинамике; где вектор Пойнтинга введен $$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$$

в приведенном выше соотношении сохранения импульса ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}$ представляет собой плотность потока импульса и играет роль, аналогичную $\mathbf {S}$ в теореме Пойнтинга .

Приведенный выше вывод предполагает полное знание обоих $\rho$ и $\mathbf {J}$ (как свободные, так и ограниченные заряды и токи). Для случая нелинейных материалов (таких как магнитное железо с кривой BH) необходимо использовать нелинейный тензор напряжений Максвелла.

Уравнение

В физике — тензор напряжений Максвелла это тензор напряжений электромагнитного поля . Как получено выше, оно определяется следующим образом:

$\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}$,

где $\epsilon _{0}$ электрическая постоянная и $\mu _{0}$ магнитная постоянная , $\mathbf {E}$ это электрическое поле , $\mathbf {B}$ магнитное поле и $\delta _{ij}$ является дельтой Кронекера . С гауссовскими величинами это определяется как:

$\sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)$,

где $\mathbf {H}$ это намагничивающее поле .

Альтернативный способ выражения этого тензора:

${\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]$

где $\otimes$ — двоичное произведение , а последний тензор — единичная диада:

$\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)$

Элемент $ij$ тензора напряжений Максвелла имеет единицы импульса на единицу площади в единицу времени и дает поток импульса, параллельный $i$ось, пересекающая поверхность, нормальную к $j$й оси (в отрицательном направлении) в единицу времени.

Эти единицы также можно рассматривать как единицы силы на единицу площади (отрицательное давление), а $ij$ элемент тензора также можно интерпретировать как силу, параллельную $i$й оси страдает поверхность, нормальная к $j$й оси на единицу площади. Действительно, диагональные элементы дают напряжение (вытягивание), действующее на дифференциальный элемент площади, нормальный к соответствующей оси. В отличие от сил, возникающих из-за давления идеального газа, площадной элемент в электромагнитном поле также ощущает силу в направлении, отличном от нормального к этому элементу. Этот сдвиг задается недиагональными элементами тензора напряжений.

В магнитостатике

Если поле только магнитное (что в основном верно, например, для двигателей), некоторые члены выпадают, и уравнение в единицах СИ принимает вид:

$\sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.$

Для цилиндрических объектов, таких как ротор двигателя, это упрощается до:

$\sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.$

где $r$ - сдвиг в радиальном (наружном от цилиндра) направлении, а $t$ — сдвиг в тангенциальном (вокруг цилиндра) направлении. Это тангенциальная сила, которая вращает двигатель. $B_{r}$ - плотность потока в радиальном направлении, а $B_{t}$ – плотность потока в тангенциальном направлении.

В электростатике

В электростатике эффекты магнетизма отсутствуют. В этом случае магнитное поле исчезает, т.е. $\mathbf {B} =\mathbf {0}$, и мы получаем электростатический тензор напряжений Максвелла . Он задается в компонентной форме выражением

$\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}$

и в символической форме

${\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I}$

где $\mathbf {I}$ является подходящим тождественным тензором ${\big (}$обычно $3\times 3{\big )}$.

собственное значение

Собственные значения тензора напряжений Максвелла определяются выражением:

$\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}$

Эти собственные значения получаются путем итеративного применения леммы об определителе матрицы в сочетании с формулой Шермана-Моррисона .

Учитывая, что матрица характеристического уравнения ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$, можно записать как

${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}$

где

$V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)$

мы устанавливаем

$\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}$

Применяя лемму об определителе матрицы один раз, это дает нам

$\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}$

Повторное применение дает:

$\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}$

Из последнего множимого в правой части мы сразу видим, что $\lambda =-V$ является одним из собственных значений.

Чтобы найти обратную величину $\mathbf {U}$, используем формулу Шермана-Моррисона:

$\mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}$

Выделение $\left(-\lambda -V\right)$ члена в определителе, нам остается найти нули рациональной функции:

$\left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)$

Таким образом, как только мы решим

$-\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0$

мы получаем два других собственных значения.

См. также

• Фигурное исчисление
• Плотность энергии электрических и магнитных полей
• Вектор Пойнтинга
• Тензор электромагнитного напряжения-энергии
• Магнитное давление
• Магнитное напряжение

Ссылки

• Дэвид Дж. Гриффитс , «Введение в электродинамику», стр. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008 г.
• Джон Дэвид Джексон, «Классическая электродинамика, 3-е изд.», John Wiley & Sons, Inc., 1999 г.
• Ричард Беккер, «Электромагнитные поля и взаимодействия», Dover Publications Inc., 1964 г.