Теорема Пойнтинга

В электродинамике разработанное теорема Пойнтинга — это утверждение о сохранении энергии электромагнитных полей, британским физиком Джоном Генри Пойнтингом . ^{[ 1 ]} Он утверждает, что в данном объеме запасенная энергия изменяется со скоростью, определяемой работой, совершаемой над зарядами внутри объема, за вычетом скорости, с которой энергия покидает объем. Это строго верно только для сред, которые не являются дисперсионными , но его можно распространить на случай дисперсии. ^{[ 2 ]} Теорема аналогична теореме о работе-энергии в классической механике и математически похожа на уравнение неразрывности .

Определение

Теорема Пойнтинга утверждает, что скорость передачи энергии на единицу объема из области пространства равна скорости работы , совершаемой по распределению заряда в этой области, плюс поток энергии, покидающий эту область.

Математически:

$-{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$

где:

$-{\frac {\partial u}{\partial t}}$ – скорость изменения плотности энергии в объеме.
∇• S поток энергии из объема, определяемый дивергенцией вектора Пойнтинга S. —
J • E — скорость, с которой поля действуют на заряды в объеме ( J — плотность тока, соответствующая движению заряда, E — электрическое поле и • — скалярное произведение ).

Интегральная форма

Используя теорему о расходимости , теорему Пойнтинга можно также записать в интегральной форме:

$-{\frac {d}{dt}}\int _{V}u~\mathrm {d} V=$ $\оинт$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {S} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} V$

где

S — поток энергии, заданный вектором Пойнтинга.
$u$ – плотность энергии в объеме.
$\partial V\!$ является границей объема. Форма объема произвольная, но фиксированная для расчета.

Аналог уравнения непрерывности

В контексте электротехники теорему иногда записывают с расширенным членом плотности энергии u , как показано. ^{[ нужна ссылка ]} Эта форма напоминает уравнение неразрывности :

\nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0

,

где

ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума , а µ ₀ — проницаемость вакуума .
$\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ - плотность реактивной мощности, вызывающая нарастание электрического поля,
${\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ - плотность реактивной мощности, вызывающая нарастание магнитного поля, и
$\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$ – плотность электрической мощности , рассеиваемой силой Лоренца, действующей на носители заряда.

Вывод

Для отдельного заряда в электромагнитном поле скорость работы поля над зарядом определяется законом силы Лоренца как: ${\frac {dW}{dt}}=q\mathbf {v} \cdot \mathbf {E}$

Распространение этого на непрерывное распределение зарядов, движущихся с плотностью тока J , дает: ${\frac {dW}{dt}}=\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x$

По окружному закону Ампера : $\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ (Обратите внимание, что H и D. здесь используются формы магнитного и электрического полей Формы B и E также могут использоваться в эквивалентном выводе.) ^{[ 3 ]}

Подстановка этого значения в выражение для скорости работы дает: $\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x$

Использование векторной идентичности $\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\ (\nabla {\times }\mathbf {E} )\cdot \mathbf {H} \,-\,\mathbf {E} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {H} )$ : $\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x$

По закону Фарадея : $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ давая: $\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x$

Для продолжения вывода необходимы следующие предположения: ^{[ 2 ]}

заряды движутся в среде, которая не является дисперсионной .
полная плотность электромагнитной энергии, даже для изменяющихся во времени полей, определяется выражением $u={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )$

Это можно показать ^{[ 4 ]} что: ${\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )=2\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D}$ и ${\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B}$ и так: ${\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Возвращаясь к уравнению скорости работы, $\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~\mathrm {d} ^{3}x$

Поскольку объем произволен, его можно представить в дифференциальной форме как: $-{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}$ где $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ – вектор Пойнтинга.

Вектор Пойнтинга в макроскопических средах

В макроскопической среде электромагнитные эффекты описываются пространственно усредненными (макроскопическими) полями. Вектор Пойнтинга в макроскопической среде может быть определен самосогласованно с помощью микроскопической теории таким образом, что усредненный в пространстве микроскопический вектор Пойнтинга точно предсказывается макроскопическим формализмом. Этот результат строго справедлив в пределе малых потерь и позволяет однозначно идентифицировать форму вектора Пойнтинга в макроскопической электродинамике. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Альтернативные формы

Можно вывести альтернативные версии теоремы Пойнтинга. ^{[ 7 ]} Вместо вектора потока E × H, указано выше, можно следовать тому же стилю вывода, но вместо этого выбрать E × B , Минковского форму D × B или, возможно, D × H. как Каждый выбор по-своему представляет реакцию среды распространения: форма E × B , приведенная выше, обладает тем свойством, что реакция происходит только за счет электрических токов, тогда как форма D × H использует только (фиктивные) магнитные монопольные токи. Две другие формы (Авраам и Минковский) используют дополнительные комбинации электрических и магнитных токов для представления реакций поляризации и намагничивания среды. ^{[ 7 ]}

Модификация

Вывод этого утверждения зависит от предположения, что материалы, моделируемые уравнением, могут быть описаны набором свойств восприимчивости , которые являются линейными , изотропными , однородными и независимыми от частоты . ^{[ 8 ]} Необходимо также сделать предположение, что материалы не обладают поглощением. Модификация теоремы Пойнтинга для учета изменений включает член, обозначающий скорость неомического поглощения в материале, которую можно рассчитать с помощью упрощенного приближения, основанного на модели Друде . ^{[ 8 ]}

${\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {U}}+\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+{\mathcal {R}}_{\dashv \int }=0$

Теорема о комплексном векторе Пойнтинга

Эта форма теоремы полезна в теории антенн, где часто приходится рассматривать гармонические поля, распространяющиеся в пространстве. В этом случае, используя векторную запись, $E(t)=Ee^{j\omega t}$ и $H(t)=He^{j\omega t}$ . Тогда имеет место следующее математическое тождество:

{1 \over 2}\int _{\partial \Omega }E\times H^{*}\cdot d{\mathbf {a} }={j\omega  \over 2}\int _{\Omega }(\varepsilon EE^{*}-\mu HH^{*})dv-{1 \over 2}\int _{\Omega }EJ^{*}dv,

где $J$ это плотность тока.

Обратите внимание, что в свободном пространстве $\varepsilon$ и $\mu$ реальны, следовательно, взяв действительную часть приведенной выше формулы, она выражает тот факт, что усредненная излучаемая мощность, проходящая через $\partial \Omega$ равна работе над зарядами.

Ссылки

^ Пойнтинг, Дж. Х. (декабрь 1884 г.). «О передаче энергии в электромагнитном поле» . Философские труды Лондонского королевского общества . 175 : 343–361. дои : 10.1098/rstl.1884.0016 .
^ Jump up to: ^а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 258–267. ISBN 978-0-471-30932-1 .
^ Гриффитс, Дэвид Дж. (1989). Введение в электродинамику (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. стр. 322–324. ISBN 0-13-481367-7 .
^ Эллингсон, Стивен. «Теорема Пойнтинга» . Либретексты . Проверено 3 декабря 2021 г.
^ Сильвейринья, МГ (2010). «Вектор Пойнтинга, скорость нагрева и запасенная энергия в структурированных материалах: вывод из первых принципов». Физ. Преподобный Б. 82 : 037104. doi : 10.1103/physrevb.82.037104 .
^ Коста, Дж.Т., М.Г. Сильвейринья, А. Алу (2011). «Вектор Пойнтинга в метаматериалах с отрицательным индексом». Физ. Преподобный Б. 83 : 165120. doi : 10.1103/physrevb.83.165120 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Кинслер, П.; Фаваро, А.; Макколл М.В. (2009). «Четыре теоремы Пойнтинга» (PDF) . Европейский журнал физики . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Бибкод : 2009EJPh...30..983K . дои : 10.1088/0143-0807/30/5/007 .
^ Jump up to: ^а ^б Фриман, Ричард; Кинг, Джеймс; Лафиатис, Грегори (2019), «Основы электричества и магнетизма» , Электромагнитное излучение , Оксфорд: Oxford University Press, doi : 10.1093/oso/9780198726500.001.0001/oso-9780198726500-chapter-1#oso-9780198726500-chapter-1-displaymaths-20 , ISBN 978-0-19-872650-0 , получено 18 февраля 2022 г.

Внешние ссылки

Эрик В. Вайсштейн «Теорема Пойнтинга» из ScienceWorld – веб-ресурса Wolfram.

[Poynting-1] Пойнтинг, Дж. Х. (декабрь 1884 г.). «О передаче энергии в электромагнитном поле» . Философские труды Лондонского королевского общества . 175 : 343–361. дои : 10.1098/rstl.1884.0016 .

[Jackson-2] Jump up to: ^а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 258–267. ISBN 978-0-471-30932-1 .

[3] Гриффитс, Дэвид Дж. (1989). Введение в электродинамику (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. стр. 322–324. ISBN 0-13-481367-7 .

[4] Эллингсон, Стивен. «Теорема Пойнтинга» . Либретексты . Проверено 3 декабря 2021 г.

[Poynting_first_principles-5] Сильвейринья, МГ (2010). «Вектор Пойнтинга, скорость нагрева и запасенная энергия в структурированных материалах: вывод из первых принципов». Физ. Преподобный Б. 82 : 037104. doi : 10.1103/physrevb.82.037104 .

[6] Коста, Дж.Т., М.Г. Сильвейринья, А. Алу (2011). «Вектор Пойнтинга в метаматериалах с отрицательным индексом». Физ. Преподобный Б. 83 : 165120. doi : 10.1103/physrevb.83.165120 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[kinslerfavaromccall-7] Jump up to: ^а ^б Кинслер, П.; Фаваро, А.; Макколл М.В. (2009). «Четыре теоремы Пойнтинга» (PDF) . Европейский журнал физики . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Бибкод : 2009EJPh...30..983K . дои : 10.1088/0143-0807/30/5/007 .

[FreemanKingLafyatis-8] Jump up to: ^а ^б Фриман, Ричард; Кинг, Джеймс; Лафиатис, Грегори (2019), «Основы электричества и магнетизма» , Электромагнитное излучение , Оксфорд: Oxford University Press, doi : 10.1093/oso/9780198726500.001.0001/oso-9780198726500-chapter-1#oso-9780198726500-chapter-1-displaymaths-20 , ISBN 978-0-19-872650-0 , получено 18 февраля 2022 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ
Национальный	Израиль Соединенные Штаты