Теорема Бартлетта пополам

Теорема Бартлетта пополам — электрическая теорема сетевого анализа, приписываемая Альберту Чарльзу Бартлетту . Теорема показывает, что любую симметричную двухполюсную сеть можно преобразовать в решетчатую сеть . ^{[ 1 ]} Теорема часто появляется в теории фильтров , где решетчатую сеть иногда называют X-секцией фильтра, следуя общепринятой практике теории фильтров, когда секции именуются буквами алфавита, с которыми они похожи.

Теорема, первоначально сформулированная Бартлеттом, требовала, чтобы две половины сети были топологически симметричными. распространил эту теорему Позже Вильгельм Кауэр на применение ко всем электрически симметричным сетям. То есть физическая реализация сети не имеет никакого значения. Требуется только, чтобы его реакция в обеих половинах была симметричной. ^{[ 2 ]}

Приложения

Фильтры с решетчатой топологией не очень распространены. Причина этого в том, что для них требуется больше компонентов (особенно индукторов ), чем для других конструкций. Лестничная топология гораздо более популярна. Тем не менее, они обладают свойством быть внутренне сбалансированными , и сбалансированная версия другой топологии , такой как Т-образное сечение, может фактически использовать больше индукторов. Одним из применений являются всепроходные фильтры фазовой коррекции на симметричных линиях связи. Теорема также применяется при проектировании кварцевых фильтров на радиочастотах. Здесь лестничные топологии имеют некоторые нежелательные свойства, но общепринятая стратегия проектирования состоит в том, чтобы начинать с реализации лестничной схемы из-за ее простоты. Затем теорема Бартлетта используется для преобразования проекта на промежуточный этап в качестве шага к окончательной реализации (с использованием преобразователя для создания несбалансированной версии топологии решетки). ^{[ 3 ]}

Определение и доказательство

Определение

Начните с двухпортовой сети N с плоскостью симметрии между двумя портами . Затем разрежьте N через его плоскость симметрии, чтобы сформировать два новых идентичных двухполюсника. ⁠ 1 / 2 ⁠ N. Подключите два одинаковых генератора напряжения к двум портам N. Из симметрии ясно, что ток не будет течь ни по одной ветви, проходящей через плоскость симметрии. Импеданс, измеренный в порту N при этих обстоятельствах, будет таким же, как импеданс, измеренный, если бы все ветви, проходящие через плоскость симметрии, были разомкнуты. Следовательно, это такое же сопротивление, как сопротивление разомкнутой цепи ⁠ 1 / 2 ⁠ Н. Назовем это сопротивление $Z_{oc}$ .

Теперь рассмотрим сеть N с двумя одинаковыми генераторами напряжения, подключенными к портам, но с противоположной полярностью. Подобно тому, как в предыдущем случае суперпозиция токов через ветви в плоскости симметрии должна быть равна нулю, по аналогии и применив принцип двойственности суперпозиция напряжений между узлами в плоскости симметрии в этом случае также должна быть равна нулю. Таким образом, входное сопротивление совпадает с сопротивлением короткого замыкания ⁠ 1 / 2 ⁠ Н. Назовем это сопротивление $Z_{sc}$ .

Теорема Бартлетта пополам утверждает, что сеть N эквивалентна решетчатой сети с последовательными ветвями $Z_{sc}$ и перекрестные ветви $Z_{oc}$ . ^{[ 4 ]}

Доказательство

Рассмотрим показанную решетчатую сеть с идентичными генераторами E, подключенными к каждому порту. Из симметрии и суперпозиции ясно, что в последовательных ветвях ток не течет. $Z_{sc}$ . Таким образом, эти ответвления можно удалить и оставить цепь разомкнутой без какого-либо влияния на остальную часть цепи. В результате получается контур цепи с напряжением 2E и сопротивлением $2Z_{oc}$ подача тока в петлю;

I={\frac {2E}{2Z_{oc}}}

и входное сопротивление;

{\frac {E}{I}}=Z_{oc}

как это требуется для эквивалентности исходному двухпортовому.

Аналогичным образом, изменение направления одного из генераторов при том же аргументе приводит к образованию контура с импедансом $2Z_{sc}$ и входное сопротивление;

{\frac {E}{I}}=Z_{sc}

Напоминая, что эти конфигурации генератора являются точным способом, с помощью которого $Z_{oc}$ и $Z_{sc}$ были определены в исходной двухпортовой схеме, доказано, что решетка эквивалентна для этих двух случаев. Доказывается, что это так для всех случаев, если учесть, что все остальные входные и выходные условия могут быть выражены как линейная суперпозиция двух уже доказанных случаев.

Примеры

Можно использовать преобразование Бартлетта в обратном направлении; то есть преобразовать симметричную решетчатую сеть в некоторую другую симметричную топологию. Примеры, показанные выше, с таким же успехом можно было бы показать и наоборот. Однако, в отличие от приведенных выше примеров, результат не всегда физически реализуем с использованием линейных пассивных компонентов. Это связано с тем, что существует вероятность того, что обратное преобразование создаст компоненты с отрицательными значениями. Отрицательные величины могут быть физически реализованы только при наличии в сети активных компонентов.

Расширение теоремы

Существует расширение теоремы Бартлетта, которое позволяет симметричную фильтрующую модифицировать сеть, работающую между согласованиями с одинаковым входным и выходным импедансом, для неравных импедансов источника и нагрузки. Это пример масштабирования импеданса прототипа фильтра . Симметричная сеть разделена пополам в плоскости симметрии. Одна половина масштабируется по входному сопротивлению, а другая — по выходному сопротивлению. Форма отклика фильтра остается прежней. Это не является сетью согласования импедансов : импедансы, обращенные к сетевым портам, не имеют никакого отношения к импедансам оконечных устройств. Это означает, что сеть, разработанная по теореме Бартлетта, хотя и имеет точно предсказанный отклик фильтра, также добавляет постоянное затухание в дополнение к отклику фильтра. В сетях согласования импеданса обычным критерием проектирования является максимизация передачи мощности. Выходной отклик имеет «той же формы» относительно напряжения теоретического идеального генератора, управляющего входом. Это не то же самое по отношению к фактическому входному напряжению, которое подается теоретически идеальным генератором через сопротивление его нагрузки. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Постоянное усиление из-за разницы входного и выходного импеданса определяется выражением;

A={\frac {V_{2}}{E}}={\frac {2R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}

Обратите внимание, что это значение может быть больше единицы, то есть прирост по напряжению возможен, но мощность всегда теряется.

Ссылки

^ Бартлетт, AC, «Расширение свойств искусственных линий», Phil. Маг. , том 4 , с902, ноябрь 1927 г.
^ Белевич, В. , «Краткое содержание истории теории цепей», Труды IRE , том 50 , стр. 850, май 1962 г.
^ Визмюллер, П., Руководство по проектированию радиочастот: системы, схемы и уравнения , стр. 82–84, Artech House, 1995. ISBN 0-89006-754-6 .
^ Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , стр. 117–121, The English Universities Press Ltd, 1961.
^ Гиймен, Э.А., Синтез пассивных сетей: теория и методы, подходящие для задач реализации и аппроксимации , стр. 207, Krieger Publishing, 1977, ISBN 0-88275-481-5
^ Уильямс, А.Б., Тейлор, Ф.Дж., Справочник по проектированию электронных фильтров , 2-е изд. МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, 1988 год.

[1] Бартлетт, AC, «Расширение свойств искусственных линий», Phil. Маг. , том 4 , с902, ноябрь 1927 г.

[2] Белевич, В. , «Краткое содержание истории теории цепей», Труды IRE , том 50 , стр. 850, май 1962 г.

[3] Визмюллер, П., Руководство по проектированию радиочастот: системы, схемы и уравнения , стр. 82–84, Artech House, 1995. ISBN 0-89006-754-6 .

[4] Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , стр. 117–121, The English Universities Press Ltd, 1961.

[5] Гиймен, Э.А., Синтез пассивных сетей: теория и методы, подходящие для задач реализации и аппроксимации , стр. 207, Krieger Publishing, 1977, ISBN 0-88275-481-5

[6] Уильямс, А.Б., Тейлор, Ф.Дж., Справочник по проектированию электронных фильтров , 2-е изд. МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, 1988 год.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]