Фильтр прототипов

Фильтры-прототипы — это конструкции электронных фильтров , которые используются в качестве шаблона для создания модифицированной конструкции фильтра для конкретного применения. Они являются примером безразмерной конструкции, с помощью которой желаемый фильтр можно масштабировать или трансформировать . Чаще всего их можно увидеть в отношении электронных фильтров и особенно линейных аналоговых пассивных фильтров . Однако в принципе этот метод может быть применен к любому типу линейного фильтра или обработки сигнала , включая механические, акустические и оптические фильтры.

Фильтры должны работать на различных частотах , импедансах и полосах пропускания . Полезность фильтра-прототипа заключается в том, что все остальные фильтры могут быть получены из него путем применения коэффициента масштабирования к компонентам прототипа. Таким образом, проектирование фильтра необходимо выполнить полностью только один раз, а другие фильтры можно получить простым применением масштабного коэффициента.

Особенно полезной является возможность трансформации одной формы полосы в другую. В этом случае преобразование — это нечто большее, чем просто масштабный коэффициент. Форма полосы здесь предназначена для указания категории полосы пропускания , которой обладает фильтр. Обычными формами полос являются lowpass , highpass , полоса пропускания и полоса пропускания , но возможны и другие. В частности, фильтр может иметь несколько полос пропускания. Фактически, в некоторых случаях полосовой фильтр считается разновидностью многополосного фильтра, имеющего две полосы пропускания. Чаще всего прототип фильтра выражается как фильтр нижних частот, но возможны и другие методы.

Части этой статьи или раздела основаны на знаниях читателя о комплексного импеданса представлении конденсаторов и катушек индуктивности , а также на знании в частотной области представления сигналов .

Прототип нижних частот

Прототипом чаще всего является фильтр нижних частот с угловой частотой 3 дБ и угловой частотой ω _c ′ = 1 рад/с . Иногда частота f ′ = 1 Гц ′ = 1 используется вместо ω _c . Аналогичным образом номинальное или характеристическое сопротивление фильтра устанавливается равным R ′ = 1 Ом.

В принципе, любая ненулевая частотная точка характеристики фильтра может использоваться в качестве эталона при проектировании прототипа. Например, для фильтров с пульсациями в полосе пропускания угловая частота обычно определяется как самая высокая частота при максимальной пульсации, а не 3 дБ. Другой случай - фильтры параметров изображения (более старый метод проектирования, чем более современные фильтры сетевого синтеза ), которые используют частоту среза, а не точку 3 дБ, поскольку граница является четко определенной точкой в этом типе фильтра.

Фильтр-прототип можно использовать только для создания других фильтров того же класса. ^{[n 1]} и заказать. ^{[n 2]} Например, прототип фильтра Бесселя пятого порядка можно преобразовать в любой другой фильтр Бесселя пятого порядка, но нельзя преобразовать в фильтр Бесселя третьего порядка или фильтр Чебышева пятого порядка .

Прототип пассивного фильтра нижних частот с сосредоточенными параметрами пятого порядка и Т-топологии может иметь реактивное сопротивление :

+1jΩ -0.64jΩ +2jΩ -0.64jΩ +1jΩ  (exemplary)

Чтобы преобразовать их в 50 Ом, умножьте заданные значения на 50. Чтобы получить значение детали, преобразуйте их на желаемую частоту среза (угловую частоту).Пример: Сопротивление должно составлять 75 Ом, а угловая частота — 2 МГц.

+75jΩ -48jΩ +150jΩ -48jΩ +75jΩ6μH  1.66nF  12μH  1.66nF  6μH

Типы фильтров с регулируемой пульсацией нелегко свести в таблицу как таковые, поскольку они зависят не только от импеданса и частоты.

Масштабирование частоты

Фильтр-прототип масштабируется до необходимой частоты с помощью следующего преобразования:

$i\omega \to \left({\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\right)i\omega$

где ω _c ′ — значение частотного параметра (например, частоты среза) для прототипа, а ω _c — искомое значение. Итак, если ω _c ′ = 1, то передаточная функция фильтра преобразуется как:

$A(i\omega )\to A\left(i{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)$

Легко видеть, что для достижения этого нерезистивные компоненты фильтра должны быть преобразованы путем:

$L\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,L$ и, $C\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,C$

Масштабирование импеданса

Масштабирование импеданса всегда является масштабированием до фиксированного сопротивления. Это связано с тем, что выводы фильтра, по крайней мере номинально, считаются фиксированным сопротивлением. Чтобы выполнить это масштабирование до номинального импеданса R , каждый элемент импеданса фильтра преобразуется следующим образом:

$Z\to {\frac {R}{R'}}\,Z$

Вместо этого на некоторых элементах может быть удобнее масштабировать допуск:

$Y\to {\frac {R'}{R}}\,Y$

Легко видеть, что для достижения этого нерезистивные компоненты фильтра должны быть масштабированы как:

$L\to {\frac {R}{R'}}\,L$ и, $C\to {\frac {R'}{R}}\,C$

Масштабирование импеданса само по себе не влияет на передаточную функцию фильтра (при условии, что к оконечным импедансам применяется одинаковое масштабирование). Однако обычно масштабирование частоты и импеданса объединяют в один этап: ^[1]

$L\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R}{R'}}\,L$ и, $C\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C$

Преобразование формы полосы

В общем, форма полосы фильтра преобразуется путем замены iω там, где оно встречается в передаточной функции, на функцию iω . Это, в свою очередь, приводит к преобразованию компонентов импеданса фильтра в некоторые другие компоненты. Описанное выше масштабирование частоты представляет собой тривиальный случай преобразования формы полосы, соответствующий преобразованию нижних частот в низкочастотные.

От нижних частот до высоких частот

В этом случае требуется следующее преобразование частоты: ^[2]

${\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to {\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}$

где ω _c — точка на фильтре верхних частот, соответствующая ω _c ′ на прототипе. Передаточная функция тогда преобразуется как:

$A(i\omega )\to A\left({\frac {\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\right)$

Индукторы преобразуются в конденсаторы по закону:

$L'\to C={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,L'}}$

и конденсаторы превращаются в катушки индуктивности,

$C'\to L={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,C'}}$

величины, отмеченные штрихом, являются значением компонента в прототипе.

Переход от нижних частот к полосе пропускания

В этом случае требуемое преобразование частоты составит: ^[3]

${\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

где Q — добротность, равная обратной дробной полосе пропускания: ^[4]

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}$

Если ω ₁ и ω ₂ — нижняя и верхняя частотные точки (соответственно) полосовой характеристики, соответствующие ω _c ′ прототипа, то,

$\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,$ и $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}$

Δ ω – абсолютная полоса пропускания, ω ₀ – резонансная частота резонаторов в фильтре. Обратите внимание, что масштабирование частоты прототипа перед преобразованием нижних частот в полосовой не влияет на резонансную частоту, а вместо этого влияет на конечную полосу пропускания фильтра.

Передаточная функция фильтра преобразуется по формуле:

$A(i\omega )\to A\left(\omega _{\text{c}}'Q\left[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)$

Индукторы преобразуются в последовательные резонаторы .

$L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'Q}{\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{L'}}$

а конденсаторы превращаются в параллельные резонаторы,

$C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{C'}}$

Фильтр нижних частот до полосы пропускания

Требуемое преобразование частоты для перехода от нижних частот к полосе пропускания: ^[5]

${\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

Индукторы преобразуются в параллельные резонаторы,

$L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{L'}}$

а конденсаторы превращаются в последовательные резонаторы,

$C'\to C={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{C'}}$

Переход нижних частот в многополосный

Фильтры с несколькими полосами пропускания можно получить, применив общее преобразование:

${\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Количество резонаторов в выражении соответствует количеству требуемых полос пропускания. Фильтры нижних и верхних частот можно рассматривать как частные случаи выражения резонатора, при этом один или другой член при необходимости становится равным нулю. Полосовые фильтры можно рассматривать как комбинацию фильтра нижних и верхних частот. Несколько полосовых фильтров всегда можно выразить через многополосный фильтр. Таким образом, можно видеть, что это преобразование представляет собой общий случай для любой формы полосы, а все остальные преобразования следует рассматривать как его частные случаи.

Тот же ответ можно эквивалентным образом получить, иногда с более удобной топологией компонентов, путем преобразования в несколько полос задерживания вместо нескольких полос пропускания. Требуемое преобразование в этих случаях:

${\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Альтернативный прототип

В своем подходе к фильтрам изображений Зобель предоставил альтернативную основу для создания прототипа, который не основан на частотной области . ^[6] Таким образом, прототипы Зобеля не соответствуют какой-либо конкретной форме полосы, но они могут быть преобразованы в любую из них. Отсутствие придания особого значения какой-либо одной форме полосы делает метод более привлекательным с математической точки зрения; однако он не широко используется.

Прототип Zobel рассматривает секции фильтра, а не компоненты. То есть преобразование осуществляется по двухполюсной сети, а не по двухполюсному дросселю или конденсатору. Передаточная функция выражается через произведение последовательного импеданса Z на шунтирующий адмиттанс Y полусекции фильтра. см. в статье « Сопротивление изображения» Описание полусекций . Эта величина является безразмерной , что добавляет прототипу общности. Вообще-то ZY – комплексная величина,

$ZY=U+iV\,\!$ и поскольку U и V , вообще говоря, являются функциями ω, мы должны правильно написать:

$ZY=U(\omega )+iV(\omega )$

С помощью фильтров изображений можно получить фильтры разных классов из прототипа фильтра с константой k посредством другого вида преобразования (см. составной фильтр изображения ), причем константой k являются те фильтры, для которых Z/Y является константой. По этой причине фильтры всех классов задаются через U(ω) для константы k, которая обозначается как:

$ZY=U_{k}(\omega )+iV_{k}(\omega )$

В случае бездиссипативных сетей, т.е. без резисторов, величина V ( ω ) равна нулю и только U ( ω необходимо учитывать ). U _k ( ω ) находится в диапазоне от 0 в центре полосы пропускания до −1 на частоте среза , а затем продолжает отрицательно увеличиваться в полосе задерживания независимо от формы полосы проектируемого фильтра. Для получения требуемой формы полосы используются следующие преобразования:

Для прототипа константы k нижних частот , который масштабируется:

$R_{0}=1\,,\,\omega _{\text{c}}=1$

независимая переменная графика ответа:

$U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!$

Преобразования формы полосы из этого прототипа:

для нижних частот, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)^{2}$

для верхних частот, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}\right)^{2}$

и для полосового пропускания, $U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)^{2}$

См. также

Сноски

^ Класс фильтра — это математический класс полиномов рациональной функции , описывающих его передаточную функцию . Фильтры параметров изображения не являются рациональными и, следовательно, не имеют полиномиального класса. Такие фильтры классифицируются по типам ( к-тип , м-тип и т. д.). Тип служит именем класса для фильтров изображений и основан на топологии схемы фильтра.
^ Порядок фильтра — это порядок рациональной функции фильтра. Рациональная функция представляет собой отношение двух многочленов , а порядок функции равен порядку многочлена высшего порядка. Любой фильтр, построенный из конечного числа дискретных элементов, будет описываться рациональной функцией, и в общем случае порядок будет равен количеству реактивных элементов. используемых

Ссылки

^ Мэтью и др. , стр. 96–97.
^ Мэтью и др. , стр. 412–413.
^ Мэтью и др. , стр. 438–440.
^ Фараго, стр. 69.
^ Мэтью и др. , стр. 727–729.
^ Зобель, 1930, с. 3.

Библиография

Зобель, О.Дж., «Теория и проектирование однородных и составных фильтров электрических волн», Технический журнал Bell System , том 2 (1923), стр. 1–46.
Зобель, О.Дж., «Фильтры электрических волн», патент США № 1850146, поданный 25 ноября 1930 г., выданный 22 марта 1932 г. Дает множество полезных формул и основу для нечастотной области для определения прототипов.
Маттеи, Янг, Джонс. Микроволновые фильтры, схемы согласования импедансов и структуры связи. МакГроу-Хилл, 1964.
Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , English Universities Press, 1961.

[1] Класс фильтра — это математический класс полиномов рациональной функции , описывающих его передаточную функцию . Фильтры параметров изображения не являются рациональными и, следовательно, не имеют полиномиального класса. Такие фильтры классифицируются по типам ( к-тип , м-тип и т. д.). Тип служит именем класса для фильтров изображений и основан на топологии схемы фильтра.

[2] Порядок фильтра — это порядок рациональной функции фильтра. Рациональная функция представляет собой отношение двух многочленов , а порядок функции равен порядку многочлена высшего порядка. Любой фильтр, построенный из конечного числа дискретных элементов, будет описываться рациональной функцией, и в общем случае порядок будет равен количеству реактивных элементов. используемых

[3] Мэтью и др. , стр. 96–97.

[4] Мэтью и др. , стр. 412–413.

[5] Мэтью и др. , стр. 438–440.

[6] Фараго, стр. 69.

[7] Мэтью и др. , стр. 727–729.

[8] Зобель, 1930, с. 3.

[n 1]

[n 2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]