Прототип фильтр

Фильтры прототипа представляют собой электронные конструкции фильтров, которые используются в качестве шаблона для создания модифицированной конструкции фильтра для конкретного приложения. Они являются примером безразмерной конструкции, из которой желаемый фильтр может быть масштабирован или преобразован . Они чаще всего можно увидеть в отношении электронных фильтров и особенно линейных аналоговых пассивных фильтров . Однако в принципе метод может применяться к любому линейному фильтру или обработке сигналов , включая механические, акустические и оптические фильтры.

Фильтры необходимы для работы на многих различных частотах , импедансах и пропускной способности . Утилита прототипа фильтра исходит от свойства, что все эти другие фильтры могут быть получены из него путем применения коэффициента масштабирования к компонентам прототипа. Таким образом, конструкция фильтра необходимо выполнять только один раз в полном объеме, при этом другие фильтры получаются путем простого применения коэффициента масштабирования.

Особенно полезна способность превращаться из одной формы полосы в другую. В этом случае преобразование - это больше, чем простой масштаб. Bandform здесь предназначена для указания категории полосы пропускания , которой обладает фильтр. Обычные диапазоны - это низкие уровни , высокий уровень , полосовой проход и полосой стой , но другие возможны. В частности, для фильтра можно иметь несколько полосы пропускания. Фактически, в некоторых обработках фильтр полосового стопа считается типом нескольких фильтра с полосы пропускания, имеющим две полосы пропускания. Чаще всего прототип фильтр выражается в виде фильтра низкого уровня, но возможны другие методы.

Части этой статьи или раздела полагаются на знание читателя о сложном импедансном представлении конденсаторов и индукторов , а также на знание частотной области представления сигналов .

Прототип низкого уровня

Прототип чаще всего представляет собой фильтр низкого уровня с угловой частотой угловой частоты 3 дБ ω _c ′ = 1 рад/с . Иногда частота f ′ = 1 Гц используется вместо ω _c ′ = 1. Аналогично, номинальный или характерный импеданс фильтра устанавливается на r ′ = 1 ω.

В принципе, любая ненулевая точка частоты на ответе фильтра может использоваться в качестве эталона для проектирования прототипа. Например, для фильтров с пульсацией в полосе пропускания угловая частота обычно определяется как самая высокая частота при максимальной пульсации, а не 3 дБ. Другой случай находится в фильтрах параметров изображения (более старый метод проектирования, чем более современные фильтры синтеза сети ), которые используют частоту отсечения, а не точку 3 дБ, поскольку отсечение является четко определенной точкой в этом типе фильтра.

Фильтр прототипа может использоваться только для получения других фильтров того же класса ^{[ n 1 ]} и заказ. ^{[ N 2 ]} Например, прототип фильтра Бесселя пятого порядка может быть преобразован в любой другой фильтр Бесселя пятого порядка, но он не может быть преобразован в фильтр Бесселя третьего порядка или фильтр Chebyshev пятого порядка .

Пассивный склятый прототип прототипа низкочастотного прототипа пятого порядка и Т-топология может иметь реактив :

+1jΩ -0.64jΩ +2jΩ -0.64jΩ +1jΩ  (exemplary)

Чтобы преобразовать их в 50 Ом, умножьте заданные значения на 50. Чтобы получить значение детали конвертироваться на желаемой частоте отсечения (угловая частота). Пример: сопротивление должно быть 75 Ом, а угловая частота должна составлять 2 МГц.

+75jΩ -48jΩ +150jΩ -48jΩ +75jΩ
6μH  1.66nF  12μH  1.66nF  6μH

Типы фильтров с регулируемой волной не могут быть легко табели, как таковые, как они зависят от не только импеданса и частоты.

Частотное масштабирование

Фильтр прототипа масштабируется до частоты, требуемой при следующем преобразовании:

$i\omega \to \left({\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\right)i\omega$

где ω _c ′ является значением частотного параметра (например, частота отсечения) для прототипа, а ω _c -желаемое значение. Поэтому, если ω _c ′ = 1, то трансферная функция фильтра преобразуется как:

$A(i\omega )\to A\left(i{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)$

Можно с готовностью видеть, что для достижения этого неретинируемые компоненты фильтра должны быть преобразованы:

$L\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,L$ и, $C\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,C$

Импедансное масштабирование

Масштабирование импеданса неизменно является масштабированием до фиксированного сопротивления. Это связано с тем, что завершения фильтра, по крайней мере, номинально, считаются фиксированным сопротивлением. Чтобы выполнить это масштабирование до номинального импеданса R , каждый элемент импеданса фильтра преобразуется с помощью:

$Z\to {\frac {R}{R'}}\,Z$

Это может быть более удобным для некоторых элементов для масштабирования допуска:

$Y\to {\frac {R'}{R}}\,Y$

Можно легко видеть, что для достижения этого неретизиционные компоненты фильтра должны быть масштабированы как:

$L\to {\frac {R}{R'}}\,L$ и, $C\to {\frac {R'}{R}}\,C$

Масштабирование импеданса сама по себе не влияет на передаточную функцию фильтра (при условии, что к ним применяется то же масштабирование, применяемое к ним, то же масштабирование). Тем не менее, это обычно объединить частоту и масштабирование импеданса в один шаг: ^{[ 1 ]}

$L\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R}{R'}}\,L$ и, $C\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C$

Преобразование формы группы

В целом, форма полосы фильтра преобразуется путем замены Iω , где он происходит в трансферной функции с функцией Iω . Это, в свою очередь, приводит к преобразованию компонентов импеданса фильтра в некоторые другие компоненты (ы). Приведенное выше частотное масштабирование является тривиальным случаем преобразования формы полосы, соответствующего преобразованию низкого уровня до низкого уровня.

Низкий переход до высокого перехода

Частотное преобразование, требуемое в этом случае: ^{[ 2 ]}

${\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to {\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}$

где ω _c является точкой на высокочастотном фильтре, соответствующем ω _c ′ на прототипе. Передача затем трансформируется как:

$A(i\omega )\to A\left({\frac {\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\right)$

Индукторы превращаются в конденсаторы в соответствии с,

$L'\to C={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,L'}}$

и конденсаторы превращаются в индукторы,

$C'\to L={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c}}'\,C'}}$

Заправленные величины являются значением компонента в прототипе.

Lowpass to BandPass

В этом случае требуемая частотная преобразование: ^{[ 3 ]}

${\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

где Q является Q-фактором и равен обратном пропускной способности дробной полосы: ^{[ 4 ]}

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}$

Если ω ₁ и ω ₂ являются нижней и верхней частотой точки (соответственно) отклика полосового перехода, соответствующего ω _c ′ прототипа, то, то, то, то, то,

$\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,$ и $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}$

Δ ω - абсолютная полоса пропускания, а ω ₀ - резонансная частота резонаторов в фильтре. Обратите внимание, что масштабирование частоты прототипа до преобразования низкогопада в полосовую трансформацию не влияет на резонансную частоту, а вместо этого влияет на окончательную полосу пропускания фильтра.

Переносная функция фильтра преобразуется в соответствии с:

$A(i\omega )\to A\left(\omega _{\text{c}}'Q\left[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)$

Индукторы превращаются в серии резонаторов ,

$L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'Q}{\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{L'}}$

и конденсаторы превращаются в параллельные резонаторы,

$C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{C'}}$

Lowpass to Band Stop

Требуемое преобразование частоты для низкого уровня в полосовую стоп: ^{[ 5 ]}

${\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

Индукторы превращаются в параллельные резонаторы,

$L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{L'}}$

и конденсаторы превращаются в серии резонаторов,

$C'\to C={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{C'}}$

Низкий перепад до мультиполиста

Фильтры с несколькими полосами проходов могут быть получены путем применения общего преобразования:

${\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Количество резонаторов в выражении соответствует количеству требуемых полосы пропускания. Низкие и высокие фильтры можно рассматривать как особые случаи выражения резонатора, а один или другой термин становятся нулевыми, как это необходимо. Фильтры с полосовым стопом можно рассматривать как комбинацию низкого уровня и высокочастого фильтра. Многочисленные фильтры для полосовых стойков всегда могут быть выражены с точки зрения множественного полосового фильтра. Таким образом, можно увидеть, что это преобразование представляет собой общий случай для любой формы Band, и все другие преобразования следует рассматривать как особые случаи.

Один и тот же ответ может быть эквивалентно получен, иногда с более удобной топологией компонентов путем преобразования в несколько полос стоп вместо нескольких полос пропускания. Требуемая трансформация в этих случаях:

${\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Альтернативный прототип

В своем обработке фильтров изображений частотной Зобел предоставил альтернативную основу для построения прототипа, который не основан на области . ^{[ 6 ]} Следовательно, прототипы Zobel не соответствуют какой -либо конкретной форме полосы, но они могут быть преобразованы в любой из них. Не придавая особое значение какой -либо однополосной форме делает метод более приятным; Однако это не общее использование.

Прототип Zobel рассматривает разделы фильтров, а не компоненты. То есть преобразование осуществляется в двухпортовой сети, а не на двухместном индукторе или конденсаторе. Переносная функция выражается в терминах продукта последовательного импеданса , Z и шунтирования y от полузаличия фильтра. См. Статью импеданс изображения для описания половины сечений. Эта величина невремененная , добавляя к общности прототипа. Как правило, ZY - это сложное количество,

$ZY=U+iV\,\!$ И как U и V , оба, в целом, функции ω, мы должны правильно написать,

$ZY=U(\omega )+iV(\omega )$

С помощью фильтров изображения можно получить фильтры различных классов из прототипа постоянного фильтра k с помощью другого вида преобразования (см. Композитный фильтр изображения ), постоянный k представляет собой фильтры, для которых z/y является постоянной. По этой причине фильтры всех классов приведены в терминах u (ω) для постоянного k, который отмечается как,

$ZY=U_{k}(\omega )+iV_{k}(\omega )$

В случае сети без рассеивания, то есть нет резисторов, количество V ( ω ) равно нулю, и только u ( ω нужно учитывать ). U _K ( ω ) колеблется от 0 в центре полосы пропускания до -1 на частоте отсечения , а затем продолжает негативно увеличиваться в полосе остановки независимо от того, что форма разрабатываемого полосы фильтра. Чтобы получить необходимую форму полосы, используются следующие преобразования:

Для с низкой частотой k масштабируемого прототипа :

$R_{0}=1\,,\,\omega _{\text{c}}=1$

Независимой переменной графика ответа является,

$U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!$

Преобразования формы группы из этого прототипа:

для низкогопада, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right)^{2}$

для высокого перехода, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{\text{c}}}{i\omega }}\right)^{2}$

и для BandPass, $U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)^{2}$

Смотрите также

Сноски

^ Класс фильтра является математическим классом полиномов в рациональной функции , которая описывает ее передаточную функцию . Фильтры параметров изображения не являются рациональными и, следовательно, не имеют полиномиального класса. Такие фильтры классифицируются по типу ( K-тип , M-тип и т. Д.). Тип служит именем класса для фильтров изображений и основан на топологии цепи фильтра.
^ Порядок фильтра является порядок рациональной функции фильтра. Рациональная функция - это соотношение двух полиномов , а порядок функции - это порядок полинома высшего порядка. Любой фильтр, построенный из конечного числа дискретных элементов, будет описан рациональной функцией, и в целом порядок будет равным количеству реактивных элементов. используемых

Ссылки

^ Matthaei et al. Стр. 96-97.
^ Matthaei et al. Стр. 412-413.
^ Matthaei et al. Стр. 438-440.
^ Фараго, с.
^ Matthaei et al. Стр. 727-729.
^ Zobel, 1930, p. 3

Библиография

Zobel, OJ, «Теория и проектирование однородных и композитных электрических фильтров», Technical Journal , Vol.2 (1923), стр. 1–46.
Zobel, OJ, «Фильтры электрических волн», патент США 1 850 146, подан 25 ноября 1930 года, выпустили 22 марта 1932 года. Придает много полезных формул и нечастотную область для определения прототипов.
Matthaei, Young, Jones Microwave Filters, сетки со стороны импеданса и структуры связи McGraw-Hill 1964.
Farago, PS, введение в анализ линейных сети , английская университета Press, 1961.

[1] Класс фильтра является математическим классом полиномов в рациональной функции , которая описывает ее передаточную функцию . Фильтры параметров изображения не являются рациональными и, следовательно, не имеют полиномиального класса. Такие фильтры классифицируются по типу ( K-тип , M-тип и т. Д.). Тип служит именем класса для фильтров изображений и основан на топологии цепи фильтра.

[2] Порядок фильтра является порядок рациональной функции фильтра. Рациональная функция - это соотношение двух полиномов , а порядок функции - это порядок полинома высшего порядка. Любой фильтр, построенный из конечного числа дискретных элементов, будет описан рациональной функцией, и в целом порядок будет равным количеству реактивных элементов. используемых

[3] Matthaei et al. Стр. 96-97.

[4] Matthaei et al. Стр. 412-413.

[5] Matthaei et al. Стр. 438-440.

[6] Фараго, с.

[7] Matthaei et al. Стр. 727-729.

[8] Zobel, 1930, p. 3

[ n 1 ]

[ N 2 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]