Конструкция фильтра

«Теория фильтров» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о теории выбора партнера, см. Теорию фильтров (социология) .

Проектирование фильтра — это процесс разработки фильтра обработки сигналов , который удовлетворяет ряду требований, некоторые из которых могут противоречить друг другу. Цель состоит в том, чтобы найти реализацию фильтра, удовлетворяющую каждому из требований в приемлемой степени.

Процесс проектирования фильтра можно описать как задачу оптимизации. Определенные части процесса проектирования можно автоматизировать, но для получения хорошего результата может потребоваться опытный дизайнер.

Проектирование цифровых фильтров — сложная тема. Хотя фильтры легко понять и рассчитать, практические проблемы их проектирования и реализации значительны и являются предметом передовых исследований.

Типичные требования к проектированию

Типичными требованиями, которые могут учитываться в процессе проектирования, являются:

• Частотная характеристика
• Фазовый сдвиг или групповая задержка
• импульсный отклик
• причинный фильтр ? Требуется
• стабильный фильтр ? Требуется
• Требуется конечная (по длительности) импульсная характеристика?
• Вычислительная сложность
• Технология

Частотная функция

Требуемая частотная характеристика является важным параметром . Крутизна и сложность кривой отклика определяют порядок и осуществимость фильтра.

фильтр первого порядка Рекурсивный будет иметь только один частотно-зависимый компонент. Это означает, что крутизна частотной характеристики ограничена 6 дБ на октаву . Для многих целей этого недостаточно. Для достижения более крутых наклонов требуются фильтры более высокого порядка.

По отношению к желаемой функции частоты также может существовать сопутствующая весовая функция, которая описывает для каждой частоты, насколько важно, чтобы результирующая функция частоты приближалась к желаемой.

Типичными примерами функции частоты являются:

• Фильтр нижних частот используется для отсекания нежелательных высокочастотных сигналов.
• Фильтр верхних частот довольно хорошо пропускает высокие частоты; он полезен в качестве фильтра для отсекания нежелательных низкочастотных компонентов.
• Полосовой фильтр пропускает ограниченный диапазон частот.
• Полосовой фильтр пропускает частоты выше и ниже определенного диапазона. Очень узкий полосовой фильтр известен как режекторный фильтр.
• Всепропускающий фильтр пропускает все частоты с одинаковым усилением. Изменяется только фазовый сдвиг, который также влияет на групповую задержку.
• Дифференциатор имеет амплитудную характеристику , пропорциональную частоте.
• Фильтр нижних частот пропускает все частоты, но увеличивает или уменьшает частоты ниже полочной частоты на указанную величину.
• Полочный фильтр верхних частот пропускает все частоты, но увеличивает или уменьшает частоты выше полочной частоты на указанную величину.
• Пиковый эквалайзер создает пик или провал частотной характеристики, обычно используемый в параметрических эквалайзерах .

и

Основная статья: Групповая задержка и фазовая задержка

• Всепропускающий фильтр пропускает все частоты без изменений, но меняет фазу сигнала. Фильтры этого типа можно использовать для выравнивания групповой задержки рекурсивных фильтров. Этот фильтр также используется в эффектах фазера .
• Трансформатор Гильберта — это специальный всепропускающий фильтр, который пропускает синусоиды с неизменной амплитудой, но сдвигает фазу каждой синусоиды на ±90°.
• Фильтр дробной задержки — это всепроходной фильтр, который имеет заданную и постоянную групповую или фазовую задержку для всех частот.

Импульсная характеристика

Основная статья: Импульсная реакция

Существует прямая связь между частотной функцией фильтра и его импульсной характеристикой: первая является преобразованием Фурье второй. Это означает, что любое требование к частотной функции является требованием к импульсной характеристике, и наоборот.

Однако в некоторых приложениях импульсная характеристика фильтра может быть явной, и тогда процесс проектирования направлен на получение как можно более близкого приближения к требуемой импульсной характеристике с учетом всех других требований.

В некоторых случаях может быть даже целесообразным рассмотреть частотную функцию и импульсную характеристику фильтра, которые выбираются независимо друг от друга. Например, нам может потребоваться как конкретная частотная функция фильтра , так и чтобы результирующий фильтр имел как можно меньшую эффективную ширину в области сигнала. Последнее условие можно реализовать, рассматривая очень узкую функцию как желаемую импульсную характеристику фильтра, даже если эта функция не имеет никакого отношения к желаемой частотной функции. Целью процесса проектирования является реализация фильтра, который пытается максимально удовлетворить обе эти противоречивые цели проектирования. Примером может служить звук высокого разрешения , в котором частотная характеристика (амплитуда и фаза) для сигналов устойчивого состояния (сумма синусоид) является основным требованием фильтра, в то время как неограниченная импульсная характеристика может вызвать неожиданное ухудшение из-за временного расширения переходных сигналов.

Причинно-следственная связь

Любой фильтр, работающий в реальном времени (отклик фильтра зависит только от текущих и прошлых входов), должен быть причинно-следственным . Если в процессе проектирования создается непричинный фильтр, полученный фильтр можно сделать причинным, введя соответствующий временной сдвиг (или задержку).

Фильтры, которые не работают в режиме реального времени (например, для обработки изображений), могут быть непричинными. Некаузальные фильтры могут быть спроектированы так, чтобы иметь нулевую задержку.

Стабильность

гарантирует Стабильный фильтр , что каждый ограниченный входной сигнал дает ограниченный отклик фильтра. Фильтр, не отвечающий этому требованию, в некоторых ситуациях может оказаться бесполезным или даже вредным. Определенные подходы к проектированию могут гарантировать стабильность, например, используя только схемы прямой связи, такие как КИХ-фильтр. С другой стороны, фильтры на основе схем обратной связи имеют и другие преимущества и поэтому могут быть предпочтительными, даже если к этому классу фильтров относятся нестабильные фильтры. В этом случае фильтры должны быть тщательно спроектированы, чтобы избежать нестабильности.

Местонахождение

В некоторых приложениях нам приходится иметь дело с сигналами, которые содержат компоненты, которые можно описать как локальные явления, например импульсы или шаги, имеющие определенную продолжительность. Интуитивно говоря, следствием применения фильтра к сигналу является то, что продолжительность локальных явлений увеличивается на ширину фильтра. Это означает, что иногда важно сохранять ширину импульсной характеристики фильтра как можно меньшей.

Согласно соотношению неопределенности преобразования Фурье, произведение ширины импульсной характеристики фильтра и ширины его частотной функции должно превышать определенную константу. Это означает, что любое требование к локальности фильтра также подразумевает ограничение ширины его частотной функции. Следовательно, может оказаться невозможным одновременно удовлетворить требования к локальности функции импульсной характеристики фильтра, а также к его частотной функции. Это типичный пример противоречивых требований.

Вычислительная сложность

Общее желание любого проекта состоит в том, чтобы количество операций (сложения и умножения), необходимых для вычисления отклика фильтра, было как можно меньшим. В некоторых приложениях это желание является строгим требованием, например, из-за ограниченных вычислительных ресурсов, ограниченных ресурсов мощности или ограниченного времени. Последнее ограничение типично для приложений реального времени.

Существует несколько способов, которыми фильтр может иметь различную вычислительную сложность. Например, порядок фильтра более или менее пропорционален количеству операций. Это означает, что, выбрав фильтр низкого порядка, время вычислений можно сократить.

Для дискретных фильтров сложность вычислений более или менее пропорциональна количеству коэффициентов фильтра. Если фильтр имеет много коэффициентов, например, в случае многомерных сигналов, таких как данные томографии, может оказаться целесообразным уменьшить количество коэффициентов, удалив те, которые достаточно близки к нулю. В многоскоростных фильтрах количество коэффициентов определяется ограничениями полосы пропускания, при которых входной сигнал субдискретизируется (например, до критической частоты) и повышается после фильтрации.

Другой проблемой, связанной со сложностью вычислений, является разделимость, то есть можно ли и как фильтр записать в виде свертки двух или более более простых фильтров. В частности, этот вопрос актуален для многомерных фильтров, например 2D-фильтра, которые используются при обработке изображений. В этом случае можно получить значительное снижение вычислительной сложности, если фильтр можно разделить как свертку одного 1D-фильтра в горизонтальном направлении и одного 1D-фильтра в вертикальном направлении. Результатом процесса проектирования фильтра может, например, быть приближение некоторого желаемого фильтра к разделяемому фильтру или к сумме разделяемых фильтров.

Другие соображения

Также необходимо решить, как будет реализован фильтр:

• Аналоговый фильтр
• Аналоговый дискретный фильтр
• Цифровой фильтр
• Механический фильтр

Аналоговые фильтры

Конструкция линейных аналоговых фильтров по большей части описана в разделе о линейных фильтрах .

Цифровые фильтры

Цифровые фильтры подразделяются на одну из двух основных форм в зависимости от того, как они реагируют на единичный импульс :

• Фильтры с конечной импульсной характеристикой , или FIR , выражают каждую выходную выборку как взвешенную сумму последних N входных выборок, где N — порядок фильтра. КИХ-фильтры обычно нерекурсивны, то есть не используют обратную связь и поэтому по своей природе стабильны. Фильтр скользящего среднего или фильтр CIC являются примерами КИХ-фильтров, которые обычно являются рекурсивными (использующими обратную связь). Если коэффициенты КИХ симметричны (часто так и есть), то такой фильтр является линейно-фазовым , поэтому он задерживает сигналы всех частот одинаково, что важно во многих приложениях. Также легко избежать переполнения КИХ-фильтра. Основным недостатком является то, что им может потребоваться значительно больше ресурсов обработки и памяти , чем продуманным вариантам IIR. КИХ-фильтры, как правило, проще проектировать, чем БИХ-фильтры — алгоритм проектирования фильтров Паркса-Макклеллана (основанный на алгоритме Ремеза ) является одним из подходящих методов полуавтоматического проектирования довольно хороших фильтров. (См. Методику .)
• Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой , или БИХ , являются цифровым аналогом аналоговых фильтров. Такой фильтр содержит внутреннее состояние, а выход и следующее внутреннее состояние определяются линейной комбинацией предыдущих входов и выходов (другими словами, они используют обратную связь , чего обычно не делают КИХ-фильтры). Теоретически импульсная характеристика такого фильтра никогда не затухает полностью, отсюда и название БИХ, хотя на практике это не так, учитывая конечное разрешение компьютерной арифметики. БИХ-фильтры обычно требуют меньше вычислительных ресурсов, чем КИХ-фильтр аналогичной производительности. Однако из-за обратной связи БИХ-фильтры высокого порядка могут иметь проблемы с нестабильностью , арифметическим переполнением и предельными циклами и требуют тщательного проектирования, чтобы избежать таких ошибок. Кроме того, поскольку фазовый сдвиг по своей сути является нелинейной функцией частоты, временная задержка в таком фильтре зависит от частоты, что может быть проблемой во многих ситуациях. БИХ-фильтры 2-го порядка часто называют biquads ', а распространенной реализацией фильтров более высокого порядка является каскадирование биквадов. Полезным справочником по вычислению коэффициентов биквадрата является RBJ Audio EQ Cookbook .

Частота дискретизации

Если частота дискретизации не фиксирована каким-либо внешним ограничением, выбор подходящей частоты дискретизации является важным проектным решением. Высокая скорость потребует больше вычислительных ресурсов, но меньше фильтров сглаживания . Помехи и биение других сигналов в системе также могут быть проблемой.

Сглаживание

При проектировании любого цифрового фильтра крайне важно проанализировать и избежать эффектов наложения спектров . Часто это делается путем добавления аналоговых фильтров сглаживания на входе и выходе, что позволяет избежать любой частотной составляющей выше частоты Найквиста . Сложность (т. е. крутизна) таких фильтров зависит от требуемого отношения сигнал/шум и соотношения между частотой дискретизации и наивысшей частотой сигнала.

Теоретическая основа

Частично проблема проектирования связана с тем фактом, что некоторые требования описываются в частотной области, а другие выражены во временной области, и что они могут конфликтовать. Например, невозможно получить фильтр, который имел бы как произвольную импульсную характеристику, так и произвольную частотную функцию. Другими эффектами, которые относятся к отношениям между временной и частотной областью, являются

• Принцип неопределенности между временной и частотной областями
• Теорема о расширении дисперсии
• Асимптотическое поведение одной области в сравнении с разрывами в другой

Принцип неопределенности

Как указано в пределе Габора , принципе неопределенности, произведение ширины частотной функции и ширины импульсной характеристики не может быть меньше определенной константы. Это означает, что если запрашивается определенная частотная функция, соответствующая определенной ширине частоты, устанавливается минимальная ширина фильтра в области сигнала. И наоборот, если задана максимальная ширина отклика, это определяет наименьшую возможную ширину частоты.Это типичный пример противоречивых требований, когда в процессе проектирования фильтра может быть предпринята попытка найти полезный компромисс.

Теорема

Позволять $\sigma _{s}^{2}$ быть дисперсией входного сигнала и пусть $\sigma _{f}^{2}$ быть дисперсией фильтра. Дисперсия отклика фильтра, $\sigma _{r}^{2}$, тогда определяется выражением

$\sigma _{r}^{2}$ = $\sigma _{s}^{2}$ + $\sigma _{f}^{2}$

Это означает, что $\sigma _{r}>\sigma _{f}$ и подразумевает, что локализация различных особенностей, таких как импульсы или ступеньки в отклике фильтра, ограничена шириной фильтра в области сигнала. Если требуется точная локализация, нам нужен фильтр небольшой ширины в области сигнала, и, согласно принципу неопределенности, его ширина в частотной области не может быть сколь угодно малой.

и

Пусть f(t) — функция и пусть $F(\omega )$ быть его преобразованием Фурье.Существует теорема, которая утверждает, что если первая производная F , которая является разрывной, имеет порядок $n\geq 0$, то f имеет асимптотический распад типа $t^{-n-1}$.

Следствием этой теоремы является то, что частотная функция фильтра должна быть как можно более гладкой, чтобы его импульсная характеристика имела быстрое затухание и, следовательно, короткую ширину.

Методология

Одним из распространенных методов проектирования КИХ-фильтров является алгоритм проектирования фильтра Паркса-Макклеллана , основанный на алгоритме обмена Ремеза . Здесь пользователь указывает желаемую частотную характеристику, весовую функцию для ошибок этой характеристики и порядок N. фильтра Затем алгоритм находит набор из N коэффициентов, которые минимизируют максимальное отклонение от идеала. Интуитивно понятно, что это находит фильтр, который максимально близок к желаемому ответу, учитывая, что вы можете использовать только N коэффициентов. Этот метод особенно прост на практике, и по крайней мере один текст включает программу, которая берет нужный фильтр и N и возвращает оптимальные коэффициенты. Одним из возможных недостатков фильтров, спроектированных таким образом, является то, что они содержат много мелких пульсаций в полосе пропускания, поскольку такой фильтр минимизирует пиковую ошибку.

Другим методом поиска дискретного КИХ-фильтра является оптимизация фильтра, описанная Кнутссоном и др., которая минимизирует интеграл квадрата ошибки вместо его максимального значения. В своей базовой форме этот подход требует, чтобы идеальная частотная функция фильтра $F_{I}(\omega )$ указывается вместе с функцией частотного взвешивания $W(\omega )$ и набор координат $x_{k}$ в области сигнала, где расположены коэффициенты фильтра.

Функция ошибки $\varepsilon$ определяется как

$\varepsilon =\|W\cdot (F_{I}-{\mathcal {F}}\{f\})\|^{2}$

где $f(x)$ дискретный фильтр и ${\mathcal {F}}$ — преобразование Фурье с дискретным временем, определенное в заданном наборе координат. Используемая здесь норма формально является обычной нормой о $L^{2}$ пространства. Это означает, что $\varepsilon$ измеряет отклонение между требуемой частотной функцией фильтра, $F_{I}$, и фактическая функция частоты реализованного фильтра, ${\mathcal {F}}\{f\}$. Однако отклонение также зависит от весовой функции $W$ до вычисления функции ошибок.

После установления функции ошибок оптимальный фильтр определяется коэффициентами $f(x)$ которые минимизируют $\varepsilon$. Это можно сделать, решив соответствующую задачу наименьших квадратов. На практике $L^{2}$ норма должна быть аппроксимирована посредством подходящей суммы по дискретным точкам в частотной области. Однако в целом, чтобы получить полезную аппроксимацию, этих точек должно быть значительно больше, чем количество коэффициентов в области сигнала.

оптимизация в

Предыдущий метод можно расширить, включив в него дополнительный член ошибки, связанный с желаемой импульсной характеристикой фильтра в области сигнала, с соответствующей весовой функцией. Идеальная импульсная характеристика может быть выбрана независимо от идеальной частотной функции и на практике используется для ограничения эффективной ширины и устранения эффектов звона результирующего фильтра в области сигнала. Это делается путем выбора узкой функции импульсной характеристики идеального фильтра, например, импульса, и весовой функции, которая быстро растет с увеличением расстояния от начала координат, например, квадрата расстояния. Оптимальный фильтр по-прежнему можно рассчитать, решив простую задачу наименьших квадратов, и полученный фильтр тогда является «компромиссом», который в целом оптимально соответствует идеальным функциям в обеих областях. Важным параметром является относительная сила двух весовых функций, которая определяет, в какой области более важно иметь хорошее соответствие относительно идеальной функции.

См. также

• Цифровой фильтр
• Фильтр прототипов
• Конечная импульсная характеристика # Конструкция фильтра

Ссылки

• А. Антониу (1993). Цифровые фильтры: анализ, проектирование и применение (2-е изд.). МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-0-07-002117-4 .
• А. Антониу (2006). Цифровая обработка сигналов: сигналы, системы и фильтры . МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-0-07-145424-7 .
• СВА Берген; А. Антониу (2005). «Проектирование нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна» . Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2005 (12): 1910. Бибкод : 2005EJASP2005...44B . дои : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• А.Г. Децкий (октябрь 1972 г.). «Синтез рекурсивных цифровых фильтров с использованием критерия минимальной p-ошибки». IEEE Транс. Звукоэлектроакустика . AU-20 (4): 257–263. дои : 10.1109/ТАУ.1972.1162392 .
• Дж. К. Кайзер (1974). «Разработка нерекурсивного цифрового фильтра с использованием оконной функции I ₀ -sinh». Учеб. 1974 г. IEEE Int. Симп. Теория цепей (ISCAS74) . Сан-Франциско, Калифорния. стр. 20–23.
• Х. Кнутссон; М. Андерссон; Дж. Виклунд (июнь 1999 г.). «Продвинутый дизайн фильтров». Учеб. Скандинавский симпозиум по анализу изображений, Кангерлуссуак, Гренландия .
• С.К. Митра (1998). Цифровая обработка сигналов: компьютерный подход . МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  978-0-07-286546-2 .
• А.В. Оппенгейм; Р.В. Шафер; Дж. Р. Бак (1999). Дискретная обработка сигналов . Прентис-Холл, Аппер-Сэдл-Ривер, Нью-Джерси. ISBN  978-0-13-754920-7 .
• Т.В. Паркс; Дж. Х. Макклеллан (март 1972 г.). «Приближение Чебышева для нерекурсивных цифровых фильтров с линейной фазой». IEEE Транс. Теория цепей . CT-19 (2): 189–194. дои : 10.1109/TCT.1972.1083419 .
• Л. Р. Рабинер; Дж. Х. Макклеллан; Т. В. Паркс (апрель 1975 г.). «Методы проектирования FIR-цифровых фильтров с использованием взвешенной аппроксимации Чебышева». Учеб. ИИЭЭ . 63 (4): 595–610. дои : 10.1109/PROC.1975.9794 . S2CID   12579115 .

Внешние ссылки

• Обширный список статей и программного обеспечения для проектирования фильтров на сайте Circuit Sage.
• Список программного обеспечения для проектирования цифровых фильтров на dspGuru
• Конструкция аналогового фильтра раскрыта
• Учебник Йехара по цифровой обработке звука для тупых! В этой статье просто (между другими темами) объясняется теория дизайна фильтров и приводятся несколько примеров.