Дифференциатор

В электронике дифференциатор схема — это , которая выдает сигнал , приблизительно пропорциональный скорости изменения (т. е. производной по времени ) входного сигнала. Поскольку производная синусоиды — это другая синусоида , амплитуда которой умножается на ее частоту , настоящий дифференциатор, работающий на всех частотах, не может быть реализован (поскольку его коэффициент усиления должен был бы бесконечно увеличиваться с увеличением частоты). Реальные схемы, такие как 1 ^ул. второго порядка Фильтр верхних частот способен аппроксимировать дифференцирование на более низких частотах, ограничивая усиление выше частоты среза . Активный дифференциатор включает в себя усилитель , а пассивный дифференциатор состоит только из резисторов , конденсаторов и катушек индуктивности .

Пассивный дифференциатор

Четырехполюсный 1 ^ул.Схемы пассивных фильтров верхних частот второго порядка, изображенные на рисунке и состоящие из резистора и конденсатора или, альтернативно, резистора и катушки индуктивности , называются дифференциаторами, поскольку они аппроксимируют дифференцирование на частотах значительно ниже частоты среза каждого фильтра.

Емкостный дифференциатор

Индуктивный дифференциатор

Согласно закону Ома , напряжения на двух концах емкостного дифференциатора связаны следующей передаточной функцией (которая имеет ноль в начале координат и полюс в начале координат) $s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}$ ):

Y={\frac {Z_{R}}{Z_{R}+Z_{C}}}X={\frac {R}{R+{\frac {1}{sC}}}}X={\frac {sRC}{1+sRC}}X\implies Y\approx sRCX\quad {\text{for}}\ |s|\ll {\frac {1}{RC}}

что является хорошим приближением идеального дифференциатора на частотах значительно ниже частоты среза фильтра ${\tfrac {1}{2\pi RC}}$ в герцах или ${\tfrac {1}{RC}}$ в радианах .

Аналогично передаточная функция индуктивного дифференциатора имеет нуль в начале координат и полюс в начале координат. $s{=}{\tfrac {{\text{-}}R}{L}}$ , что соответствует частоте среза ${\tfrac {R}{2\pi L}}$ в герцах или ${\tfrac {R}{L}}$ в радианах.

Активный дифференциатор

Идеальный дифференциатор

Схема дифференциатора (также известная как дифференцирующий усилитель или инвертирующий дифференциатор ) состоит из идеального операционного усилителя с резистором R, обеспечивающим отрицательную обратную связь , и конденсатором C на входе, таким образом, что:

$V_{\text{in}}$ — напряжение на C операционного усилителя (от отрицательной клеммы виртуального заземления ).
$V_{\text{out}}$ — напряжение на резисторе R (также на отрицательной клемме виртуального заземления операционного усилителя).
$I$ $I$ — ток, текущий от входа через R и C к выходу схемы.
- На входы идеального операционного усилителя ток не течет, поскольку они имеют очень высокое входное сопротивление .

Согласно соотношению ток-напряжение конденсатора , этот ток $I$ поскольку оно течет от входа через конденсатор к виртуальной земле, будет пропорционально производной входного напряжения:

I=C\,{\frac {dV_{\text{in}}}{dt}}\,.

Этот же ток $I$ преобразуется в напряжение, когда оно проходит от виртуальной земли через резистор к выходу в соответствии с законом Ома :

0-V_{\text{out}}=IR\,.

Подставив уравнение конденсатора для $I$ обеспечивает выходное напряжение как функцию входного напряжения:

V_{\text{out}}=-RC{\frac {dV_{\text{in}}}{dt}}.

Следовательно,

Выходное напряжение пропорционально производной по времени входного напряжения с усиления коэффициентом $RC.$ Следовательно, схема действует как дифференциатор и усилитель.
Знак минус указывает на то, что выходной сигнал имеет фазовый сдвиг (инверсию) на 180° относительно входного сигнала.
Уравнение справедливо для любого частотного сигнала, если предположить, что это идеальный операционный усилитель (хотя реальный операционный усилитель имеет ограниченную полосу пропускания).

Низкоимпедансный выход операционного усилителя изолирует нагрузку последующих каскадов, поэтому схема имеет одинаковый отклик независимо от нагрузки.

Если на вход подается постоянное напряжение постоянного тока, выходное напряжение равно нулю. Если входное напряжение изменяется с нуля на отрицательное, выходное напряжение становится положительным. Если приложенное входное напряжение изменяется с нуля на положительное, выходное напряжение становится отрицательным. Если на дифференциатор подается прямоугольный сигнал, то на выходе получается пиковый сигнал.

Работа в качестве фильтра верхних частот

конденсатор как импеданс с емкостным реактивным сопротивлением X = _cРассматривая ⁠ 1/2 ⁠ πfC позволяет . анализировать дифференциатор как фильтр верхних частот Обратная пропорциональность частоте означает, что на низкой частоте реактивное сопротивление конденсатора велико, а на высокой частоте — низкое. Поскольку конфигурация обратной связи обеспечивает выигрыш ⁠ R _f / X _c ⁠ , это означает, что усиление низкое на низких частотах (или при медленном изменении входного сигнала) и выше на более высоких частотах (или при быстром изменении входного сигнала).

Частотная характеристика

Передаточная функция идеального дифференциатора равна ${\tfrac {V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}}={\text{-}}sRC$ , в результате чего график Боде его величины имеет положительный наклон +20 дБ на декаду на всех частотах и имеет единичный коэффициент усиления на $f_{\text{0dB}}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC}}\,.$

Преимущества

Небольшой постоянной времени достаточно, чтобы вызвать дифференцирование входного сигнала.

Ограничения

На высоких частотах:

эта простая схема дифференциатора становится нестабильной и начинает колебаться;
схема становится чувствительной к высокочастотному шуму, который при усилении доминирует над входным сигналом.
ограниченное произведение усиления на полосу пропускания реальных операционных усилителей установит верхний предел частоты для дифференциации

Практический дифференциатор

Чтобы преодолеть ограничения идеального дифференциатора, подключают дополнительный малоемкий конденсатор С ₁ параллельно резистору обратной связи R , который предотвращает колебание цепи дифференциатора, а резистор R ₁ включают последовательно с конденсатором С. , что ограничивает увеличение усиления соотношением ⁠ R / R ₁⁠ .

присутствует отрицательная обратная связь Поскольку через резистор R , мы можем применить концепцию виртуальной земли , то есть напряжение на инвертирующей клемме равно 0 В на неинвертирующей клемме.

Применяя узловой анализ, получаем

{\frac {0-V_{o}}{R}}+{\frac {0-V_{o}}{\frac {1}{sC_{1}}}}+{\frac {0-V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}}=0,

-V_{o}\left({\frac {1}{R}}+sC_{1}\right)={\frac {V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}}.

Поэтому,

{\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {-sRC}{(1+sR_{1}C)(1+sRC_{1})}}.

Следовательно, в точке $s{=}0$ и один полюс на $s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{R_{1}C}}$ (соответствует угловой частоте $f_{1}{=}{\tfrac {1}{2\pi R_{1}C}}$ ) и еще один полюс в $s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC_{1}}}$ (соответствует угловой частоте $f_{2}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC_{1}}}$ ).

Частотная характеристика

Частотная характеристика этого практического дифференциатора представляет собой полосовой фильтр с наклоном +20 дБ на декаду по полосе частот для дифференциации. Его график Боде, нормированный с помощью $R_{1}C{=}10^{1}$ и $RC_{1}{=}10^{{\text{-}}1}$ является:

Из приведенного выше графика видно, что:

Ниже $\omega _{1}$ , схема ослабляет и действует как дифференциатор.
Между $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$ Схема действует как повторитель напряжения или буфер.
Выше $\omega _{2}$ Схема ослабляет и действует как интегратор .

Параметр $RC_{1}{=}R_{1}C{=}RC$ выдаст один ноль в $s{=}0$ и два полюса на $s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}$ (соответствует одной угловой частоте $\omega _{1}{=}{\tfrac {1}{RC}}$ ), что приводит к следующей частотной характеристике (нормированной с использованием $RC{=}1$ ):

Из приведенного выше графика мы видим, что:

Ниже $\omega _{1}$ , схема действует как дифференциатор;
Выше $\omega _{1}$ , схема действует как интегратор .

Приложения

Схема дифференциатора по сути представляет собой фильтр верхних частот . Он может генерировать прямоугольную волну из входного сигнала треугольной волны и создавать всплески напряжения переменного направления при подаче прямоугольной волны. В идеальных случаях дифференциатор меняет влияние интегратора на форму сигнала, и наоборот. Следовательно, они чаще всего используются в схемах формирования сигнала для обнаружения высокочастотных составляющих во входном сигнале. Дифференциаторы являются важной частью электронных аналоговых компьютеров и аналоговых ПИД-регуляторов . Они также используются в частотных модуляторах в качестве детекторов скорости изменения.

Схема пассивного дифференциатора — одна из основных электронных схем , широко используемая при анализе цепей на основе метода эквивалентных схем .

См. также

Интегратор
Инвертирующий дифференциатор в приложениях на операционных усилителях