Цифровой фильтр

Общий фильтр с конечной импульсной характеристикой с n каскадами, каждый с независимой задержкой d _i и коэффициентом усиления a _i .

В обработке сигналов цифровой фильтр — это система, которая выполняет математические операции над дискретным сигналом с дискретным временем для уменьшения или улучшения определенных аспектов этого сигнала. В этом отличие от другого основного типа электронного фильтра , аналогового фильтра , который обычно представляет собой электронную схему, непрерывного времени работающую на аналоговых сигналах .

Система цифрового фильтра обычно состоит из аналого-цифрового преобразователя (АЦП) для выборки входного сигнала, за которым следуют микропроцессор и некоторые периферийные компоненты, такие как память для хранения данных, коэффициентов фильтрации и т. д. Программные инструкции (программное обеспечение), работающие на Микропроцессор реализует цифровой фильтр, выполняя необходимые математические операции над числами, полученными от АЦП. В некоторых высокопроизводительных приложениях используется FPGA или ASIC . вместо микропроцессора общего назначения или специализированного процессора цифровых сигналов (DSP) со специальной параллельной архитектурой для ускорения таких операций, как фильтрация,

Цифровые фильтры могут быть дороже, чем эквивалентные аналоговые фильтры, из-за их повышенной сложности, но они позволяют реализовать многие конструкции, которые непрактичны или невозможны в качестве аналоговых фильтров. Цифровые фильтры часто могут быть изготовлены очень высокого порядка и часто представляют собой фильтры с конечной импульсной характеристикой, что обеспечивает линейную фазовую характеристику. При использовании в контексте аналоговых систем реального времени цифровые фильтры иногда имеют проблемную задержку (разницу во времени между входом и ответом) из-за связанных с ними аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразований и сглаживания. фильтров или из-за других задержек в их реализации.

Цифровые фильтры являются обычным явлением и важным элементом повседневной электроники, такой как радиоприемники , мобильные телефоны и AV-ресиверы .

Характеристика

Цифровой фильтр характеризуется своей передаточной функцией или, что то же самое, разностным уравнением . Математический анализ передаточной функции может описать, как она будет реагировать на любые входные данные. Таким образом, разработка фильтра состоит из разработки спецификаций, соответствующих задаче (например, фильтра нижних частот второго порядка с определенной частотой среза), а затем создания передаточной функции, соответствующей спецификациям.

Передаточная функция линейного, неизменяемого во времени цифрового фильтра может быть выражена как передаточная функция в Z -области ; если оно причинное, то оно имеет вид:

$H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}$

где порядок фильтра больше N или M .См. Z уравнение LCCD -transform для дальнейшего обсуждения этой передаточной функции .

Это форма рекурсивного фильтра , который обычно приводит к поведению с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), но если знаменатель равен единице , т.е. отсутствует обратная связь, тогда это становится фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ).

Методы анализа

Для анализа поведения данного цифрового фильтра можно использовать различные математические методы. Многие из этих методов анализа также могут использоваться в проектах и ​​часто составляют основу спецификации фильтра.

Обычно фильтры характеризуются путем расчета того, как они будут реагировать на простой входной сигнал, например импульс. Затем эту информацию можно расширить, чтобы вычислить реакцию фильтра на более сложные сигналы.

Импульсный отклик

Импульсная характеристика , часто обозначаемая $h[k]$ или $h_{k}$, является показателем того, как фильтр будет реагировать на дельта-функцию Кронекера . Например, учитывая разностное уравнение, можно было бы положить $x_{0}=1$ и $x_{k}=0$ для $k\neq 0$ и оценить. Импульсная характеристика является характеристикой поведения фильтра. Цифровые фильтры обычно делятся на две категории: бесконечная импульсная характеристика (БИХ) и конечная импульсная характеристика (КИХ).В случае линейных, не зависящих от времени КИХ-фильтров импульсная характеристика точно равна последовательности коэффициентов фильтра и, таким образом:

$\ y_{n}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{n-k}$

С другой стороны, БИХ-фильтры являются рекурсивными, при этом выходной сигнал зависит как от текущих, так и от предыдущих входных данных, а также от предыдущих выходных данных. Общая форма БИХ-фильтра выглядит следующим образом:

$\ \sum _{m=0}^{M}a_{m}y_{n-m}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}$

Построение графика импульсной характеристики показывает, как фильтр реагирует на внезапное кратковременное возмущение.БИХ-фильтр всегда рекурсивен. Хотя рекурсивный фильтр может иметь конечную импульсную характеристику, нерекурсивный фильтр всегда имеет конечную импульсную характеристику. Примером может служить фильтр скользящего среднего (MA), который можно реализовать как рекурсивно, так и рекурсивно. и не рекурсивно.

Разностное уравнение

В системах с дискретным временем цифровой фильтр часто реализуется путем преобразования передаточной функции в линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами (LCCD) посредством Z-преобразования . Дискретная передаточная функция в частотной области записывается как отношение двух полиномов. Например:

$H(z)={\frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}})}}$

Это расширено:

$H(z)={\frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}}$

и чтобы сделать соответствующий фильтр причинно-следственным , числитель и знаменатель делятся на высший порядок $z$:

$H(z)={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}={\frac {Y(z)}{X(z)}}$

Коэффициенты знаменателя, $a_{k}$, – коэффициенты «обратной связи», а коэффициенты числителя – коэффициенты «прямой связи», $b_{k}$. Полученное линейное разностное уравнение имеет вид:

$y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[n-k]$

или, для примера выше:

${\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}$

перестановка терминов:

$\Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)$

затем, выполнив обратное z -преобразование:

$\Rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}}y[n-1]-{\frac {3}{8}}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]$

и, наконец, решив $y[n]$:

$y[n]=-{\frac {1}{4}}y[n-1]+{\frac {3}{8}}y[n-2]+x[n]+2x[n-1]+x[n-2]$

Это уравнение показывает, как вычислить следующую выходную выборку: $y[n]$, с точки зрения прошлых результатов, $y[n-p]$, текущий ввод, $x[n]$и прошлые входные данные, $x[n-p]$. Применение фильтра к входным данным в этой форме эквивалентно реализации прямой формы I или II (см. ниже), в зависимости от точного порядка оценки.

Проще говоря, например, в том виде, в каком его использует программист, реализующий приведенное выше уравнение в коде, его можно описать следующим образом:

$y$ = выходное или отфильтрованное значение
$x$ = входное или входящее необработанное значение
$n$ = номер выборки, номер итерации или номер периода времени

и поэтому:

$y[n]$ = текущее отфильтрованное (выходное) значение
$y[n-1]$ = последнее отфильтрованное (выходное) значение
$y[n-2]$ = предпоследнее отфильтрованное (выходное) значение
$x[n]$ = текущее необработанное входное значение
$x[n-1]$ = последнее необработанное входное значение
$x[n-2]$ = предпоследнее необработанное входное значение

Конструкция фильтра

Основная статья: Конструкция фильтра

Хотя фильтры легко понять и рассчитать, практические проблемы их проектирования и реализации значительны и являются предметом многих передовых исследований.

Существует две категории цифровых фильтров: рекурсивный фильтр и нерекурсивный фильтр . Их часто называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) и фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ) соответственно.

Реализация фильтра

После того, как фильтр спроектирован, его необходимо реализовать путем разработки диаграммы потока сигналов, описывающей фильтр с точки зрения операций с последовательностями выборок.

Данная передаточная функция может быть реализована разными способами. Рассмотрим, как простое выражение, такое как $ax+bx+c$ можно оценить – можно также вычислить эквивалент $x(a+b)+c$. Точно так же все реализации можно рассматривать как «факторизации» одной и той же передаточной функции, но разные реализации будут иметь разные числовые свойства. В частности, некоторые реализации более эффективны с точки зрения количества операций или элементов хранения, необходимых для их реализации, а другие обеспечивают такие преимущества, как улучшенная численная стабильность и уменьшенная ошибка округления. Некоторые структуры лучше подходят для арифметики с фиксированной запятой , а другие могут быть лучше для арифметики с плавающей запятой .

Прямая форма I

Прямой подход к реализации БИХ-фильтра — это прямая форма I , при которой разностное уравнение вычисляется напрямую. Эта форма практична для небольших фильтров, но может быть неэффективной и непрактичной (численно нестабильной) для сложных конструкций. В общем, эта форма требует 2N элементов задержки (как для входных, так и для выходных сигналов) для фильтра порядка N.

Прямая форма II

Альтернативная прямая форма II требует только N единиц задержки, где N — порядок фильтра — потенциально вдвое меньше, чем прямая форма I. Эта структура получается путем изменения порядка разделов числителя и знаменателя прямой формы I, поскольку они на самом деле представляют собой две линейные системы, и применяется свойство коммутативности. Затем можно заметить, что есть два столбца задержек ( $z^{-1}$), которые отходят от центральной сети, и их можно комбинировать, поскольку они избыточны, что дает реализацию, показанную ниже.

Недостатком является то, что прямая форма II увеличивает возможность арифметического переполнения для фильтров высокой добротности или резонанса. Было показано, что с увеличением Q шум округления обеих топологий прямой формы неограниченно возрастает. Это связано с тем, что, концептуально, сигнал сначала проходит через всеполюсный фильтр (который обычно увеличивает усиление на резонансных частотах) до того, как результат достигнет насыщения, а затем проходит через нулевой фильтр (который часто ослабляет большую часть того, что всеполюсная половина усиливает).

Каскадные секции второго порядка

Общая стратегия состоит в том, чтобы реализовать цифровой фильтр более высокого порядка (больше 2) в виде каскадной серии «биквадратичных» (или «биквадратных») секций второго порядка. (см. цифровой биквадратный фильтр ). Преимущество этой стратегии в том, что диапазон коэффициентов ограничен. Каскадирование секций прямой формы II приводит к получению элементов задержки для фильтров порядка N. N Каскадирование секций прямой формы I приводит к получению N + 2 элементов задержки, поскольку элементы задержки входа любой секции (кроме первой секции) избыточны с элементами задержки выхода предыдущей секции.

Другие формы

Другие формы включают в себя:

• Прямая форма I и II транспонируется
• Подсекции серии/каскада нижнего (типичного второго) порядка
• Параллельные подразделы нижнего (типичного второго) порядка
  • Продолжение расширения фракции
• Решетка и лестница
  • Формы одно-, двух- и трехкратной решетки.
  • Трех- и четырехкратно нормированные лестничные формы
  • Структуры АРМА
• Государственно-пространственные структуры:
  • оптимальный (в смысле минимального шума): $(N+1)^{2}$ параметры
  • оптимальная по блоку и оптимальная по разделам: $4N-1$ параметры
  • вход сбалансирован с вращением Гивенса: $4N-1$ параметры
• Связанные формы: Голд Рейдер (нормальный), переменная состояния (Чемберлин), Кингсбери, модифицированная переменная состояния, Зёльцер, модифицированный Зёльцер.
• Волновые цифровые фильтры (WDF)
• Агарвал – Буррус (1AB и 2AB)
• Харрис-Брукинг
• НД-ТДЛ
• Множественная обратная связь
• Аналоговые формы, такие как фильтры с ключом Саллена и фильтры переменных состояния.
• Систолические массивы

Сравнение аналоговых и цифровых фильтров

Цифровые фильтры не подвержены нелинейностям компонентов, которые значительно усложняют конструкцию аналоговых фильтров. Аналоговые фильтры состоят из несовершенных электронных компонентов, значения которых указаны с предельным допуском (например, значения резисторов часто имеют допуск ±5%) и которые также могут изменяться в зависимости от температуры и дрейфовать со временем. По мере увеличения порядка аналогового фильтра и, следовательно, количества его компонентов, влияние ошибок переменных компонентов значительно увеличивается. В цифровых фильтрах значения коэффициентов хранятся в памяти компьютера, что делает их гораздо более стабильными и предсказуемыми.

Поскольку коэффициенты цифровых фильтров определенны, их можно использовать для создания гораздо более сложных и избирательных конструкций - в частности, с помощью цифровых фильтров можно добиться более низкой пульсации в полосе пропускания, более быстрого перехода и более высокого затухания в полосе задерживания, чем это практически возможно с помощью аналоговых фильтров. Даже если бы проект можно было реализовать с использованием аналоговых фильтров, инженерные затраты на разработку эквивалентного цифрового фильтра, вероятно, были бы намного ниже. Более того, можно легко изменить коэффициенты цифрового фильтра, чтобы создать адаптивный фильтр или параметрический фильтр, управляемый пользователем. Хотя эти методы возможны в аналоговом фильтре, они, опять же, значительно сложнее.

Цифровые фильтры могут использоваться при разработке фильтров с конечной импульсной характеристикой. Эквивалентные аналоговые фильтры часто более сложны, поскольку для них требуются элементы задержки.

Цифровые фильтры меньше полагаются на аналоговые схемы, что потенциально позволяет добиться лучшего соотношения сигнал/шум . Цифровой фильтр вносит шум в сигнал во время аналоговой фильтрации нижних частот, аналого-цифрового преобразования, цифро-аналогового преобразования и может вносить цифровой шум из-за квантования. В аналоговых фильтрах каждый компонент является источником теплового шума (например, шума Джонсона ), поэтому по мере роста сложности фильтра растет и шум.

Однако цифровые фильтры вносят в систему более высокую основную задержку. В аналоговом фильтре задержка часто незначительна; строго говоря, это время распространения электрического сигнала через схему фильтра. В цифровых системах задержка вводится элементами задержки в тракте цифрового сигнала, а также аналого-цифровыми и цифро-аналоговыми преобразователями , которые позволяют системе обрабатывать аналоговые сигналы.

В очень простых случаях более рентабельно использовать аналоговый фильтр. Как обсуждалось ранее, внедрение цифрового фильтра требует значительных затрат на схему, включая два аналоговых фильтра нижних частот.

Еще одним аргументом в пользу аналоговых фильтров является низкое энергопотребление. Аналоговые фильтры требуют значительно меньше энергии и поэтому являются единственным решением при жестких требованиях к питанию.

При создании электрической схемы на печатной плате обычно проще использовать цифровое решение, поскольку с течением времени блоки обработки были значительно оптимизированы. Создание той же схемы с аналоговыми компонентами заняло бы гораздо больше места при использовании дискретных компонентов . Две альтернативы — FPAA. и ASIC , но они дороги в небольших количествах.

Типы цифровых фильтров

Существуют различные способы характеристики фильтров; например:

• Линейный фильтр — это линейное преобразование входных выборок; другие фильтры нелинейны . Линейные фильтры удовлетворяют принципу суперпозиции , то есть, если вход представляет собой взвешенную линейную комбинацию различных сигналов, выход представляет собой одинаково взвешенную линейную комбинацию соответствующих выходных сигналов.
• фильтр Причинный использует только предыдущие выборки входных или выходных сигналов; в то время как непричинный фильтр использует будущие входные выборки. Некаузальный фильтр обычно можно превратить в причинный фильтр, добавив к нему задержку.
• Независимый от времени фильтр имеет постоянные свойства во времени; другие фильтры, такие как адаптивные фильтры, меняются со временем.
• фильтр Стабильный выдает выходные данные, которые со временем сходятся к постоянному значению или остаются ограниченными в пределах конечного интервала. фильтр Нестабильный может выдавать выходной сигнал, который растет без ограничений, с ограниченным или даже нулевым входным сигналом.
• Фильтр с конечной импульсной характеристикой (FIR) использует только входные сигналы, тогда как фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (IIR) использует как входной сигнал, так и предыдущие выборки выходного сигнала. КИХ-фильтры всегда стабильны, тогда как БИХ-фильтры могут быть нестабильными.

Фильтр может быть представлен блок-схемой , которую затем можно использовать для получения алгоритма обработки выборки для реализации фильтра с помощью аппаратных инструкций. Фильтр также можно описать как разностное уравнение , набор нулей и полюсов , импульсную характеристику или переходную характеристику .

Некоторые цифровые фильтры основаны на быстром преобразовании Фурье — математическом алгоритме, который быстро извлекает частотный спектр сигнала, позволяя манипулировать спектром (например, создавать полосовые фильтры очень высокого порядка) перед преобразованием модифицированного спектра обратно в сигнал временного ряда с обратной операцией БПФ. Эти фильтры требуют вычислительных затрат O(n log n), тогда как обычные цифровые фильтры обычно требуют O(n ² ).

Другой формой цифрового фильтра является модель в пространстве состояний . Хорошо используемым фильтром в пространстве состояний является фильтр Калмана, опубликованный Рудольфом Кальманом в 1960 году.

Традиционные линейные фильтры обычно основаны на затухании. В качестве альтернативы могут быть разработаны нелинейные фильтры, в том числе фильтры передачи энергии. которые позволяют пользователю перемещать энергию определенным образом, так что нежелательный шум или эффекты могут быть перемещены в новые частотные диапазоны либо ниже, либо выше по частоте, распределены по диапазону частот, разделены или сфокусированы. Фильтры передачи энергии дополняют традиционные конструкции фильтров и предоставляют гораздо больше степеней свободы в конструкции фильтров. Цифровые фильтры передачи энергии относительно легко спроектировать, реализовать и использовать нелинейную динамику.

См. также

• Фильтр Бесселя
• Билинейное преобразование
• Фильтр Баттерворта
• фильтр Чебышева
• Электронный фильтр
• Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра)
• Конструкция фильтра
• Фильтр верхних частот , Фильтр нижних частот
• Бесконечная импульсная характеристика , Конечная импульсная характеристика
• Фильтр Линквица – Райли
• Соответствующий фильтр
• Образец (сигнал)
• Фильтр Савицкого – Голея
• Двумерный фильтр

Дальнейшее чтение

• Д. О. Смит III, Введение в цифровые фильтры с аудиоприложениями , Центр компьютерных исследований в области музыки и акустики (CCRMA), Стэнфордский университет, издание сентябрь 2007 г.
• Митра, СК (1998). Цифровая обработка сигналов: компьютерный подход . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
• Оппенгейм, А.В. ; Шафер, Р.В. (1999). Дискретная обработка сигналов . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  9780137549207 .
• Кайзер, Дж.Ф. (1974). Разработка нерекурсивного цифрового фильтра с использованием оконной функции Io-sinh . Учеб. 1974 IEEE Международный. Симп. Теория цепей. стр. 20–23.
• Берген, ЮВА; Антониу, А. (2005). «Проектирование нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна» . Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2005 (12): 1910–1922. Бибкод : 2005EJASP2005...44B . дои : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Паркс, ТВ ; Макклеллан, Дж. Х. (март 1972 г.). «Приближение Чебышева для нерекурсивных цифровых фильтров с линейной фазой». IEEE Транс. Теория цепей . CT-19 (2): 189–194. дои : 10.1109/TCT.1972.1083419 .
• Рабинер, ЛР ; Макклеллан, Дж. Х. ; Паркс, ТВ (апрель 1975 г.). «Методы проектирования FIR-цифровых фильтров с использованием взвешенной аппроксимации Чебышева». Учеб. ИИЭЭ . 63 (4): 595–610. Бибкод : 1975IEEP..63..595R . дои : 10.1109/PROC.1975.9794 . S2CID   12579115 .
• Дечки, А.Г. (октябрь 1972 г.). «Синтез рекурсивных цифровых фильтров с использованием критерия минимальной p-ошибки». IEEE Транс. Звукоэлектроакустика . AU-20 (4): 257–263. дои : 10.1109/ТАУ.1972.1162392 .