Эллиптический фильтр

Эллиптический фильтр (также известный как фильтр Кауэра , названный в честь Вильгельма Кауэра , или как фильтр Золотарева , в честь Егора Золотарева ) — это фильтр обработки сигналов с уравновешенным поведением пульсаций (equiripple) как в полосе пропускания , так и в полосе задерживания . Величина пульсации в каждой полосе регулируется независимо, и никакой другой фильтр равного порядка не может иметь более быстрый переход усиления между полосой пропускания и полосой задерживания для заданных значений пульсации (независимо от того, выравнивается пульсация или нет). В качестве альтернативы можно отказаться от возможности независимой настройки неравномерностей в полосе пропускания и полосе задерживания и вместо этого разработать фильтр, максимально нечувствительный к изменениям компонентов.

Когда пульсация в полосе задерживания приближается к нулю, фильтр становится фильтром Чебышева I типа . Когда пульсация в полосе пропускания приближается к нулю, фильтр становится фильтром Чебышева типа II и, наконец, когда оба значения пульсации приближаются к нулю, фильтр становится фильтром Баттерворта .

Коэффициент усиления эллиптического фильтра нижних частот в зависимости от угловой частоты ω определяется выражением:

$G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}$

где R _n — n -го порядка эллиптическая рациональная функция (иногда называемая рациональной функцией Чебышева) и

$\omega _{0}$ частота среза

$\epsilon$ это коэффициент пульсации

$\xi$ коэффициент селективности

Значение коэффициента пульсации определяет пульсацию в полосе пропускания, а комбинация коэффициента пульсации и коэффициента избирательности определяет пульсацию в полосе задерживания.

Характеристики

Частотная характеристика эллиптического фильтра нижних частот четвертого порядка с ε = 0,5 и ξ = 1,05. Также показаны минимальное усиление в полосе пропускания и максимальное усиление в полосе задерживания, а также область перехода между нормализованной частотой 1 и ξ.

Крупный план переходной области на приведенном выше графике.

• В полосе пропускания эллиптическая рациональная функция изменяется от нуля до единицы. Таким образом, усиление полосы пропускания будет варьироваться от 1 до $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$.
• В полосе задерживания эллиптическая рациональная функция варьируется от бесконечности до коэффициента дискриминации. $L_{n}$ который определяется как:

$L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,$

Таким образом, усиление полосы задерживания будет варьироваться от 0 до $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}$.

• В пределе $\xi \rightarrow \infty$ эллиптическая рациональная функция становится полиномом Чебышева , и, следовательно, фильтр становится фильтром Чебышева типа I с коэффициентом пульсации ε
• Так как фильтр Баттерворта является предельной формой фильтра Чебышева, то в пределе $\xi \rightarrow \infty$, $\omega _{0}\rightarrow 0$ и $\epsilon \rightarrow 0$ такой, что $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1$ фильтр становится фильтром Баттерворта
• В пределе $\xi \rightarrow \infty$, $\epsilon \rightarrow 0$ и $\omega _{0}\rightarrow 0$ такой, что $\xi \omega _{0}=1$ и $\epsilon L_{n}=\alpha$, фильтр становится фильтром Чебышева типа II с коэффициентом усиления

$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}$

Полюса и нули

Логарифм абсолютного значения коэффициента усиления эллиптического фильтра 8-го порядка в комплексном частотном пространстве (s = σ + jω) с ε = 0,5, ξ = 1,05 и ω ₀ = 1. Белые пятна — это полюса, а черные пятна — нули. . Всего имеется 16 полюсов и 8 двойных нулей. То, что кажется одним полюсом и нулем вблизи переходной области, на самом деле представляет собой четыре полюса и два двойных нуля, как показано на расширенном изображении ниже. На этом изображении черный цвет соответствует коэффициенту усиления 0,0001 или меньше, а белый соответствует коэффициенту усиления 10 или более.

Расширенный вид переходной области изображения выше: четыре полюса и два двойных нуля.

Нули коэффициента усиления эллиптического фильтра будут совпадать с полюсами эллиптической рациональной функции, которые выведены в статье об эллиптических рациональных функциях .

Полюсы усиления эллиптического фильтра могут быть получены способом, очень похожим на вывод полюсов усиления фильтра Чебышева I типа . Для простоты предположим, что частота среза равна единице. Полюса $(\omega _{pm})$ коэффициента усиления эллиптического фильтра будут равны нулям знаменателя коэффициента усиления. Использование комплексной частоты $s=\sigma +j\omega$ это означает, что:

$1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,$

Определение $-js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )$ где cd() — эллиптическая косинусная функция Якоби , и использование определения эллиптических рациональных функций дает:

$1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,$

где $K=K(1/\xi )$ и $K_{n}=K(1/L_{n})$. Решение для w

$w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}$

где множественные значения обратной функции cd() явно выражаются с использованием целочисленного индекса m .

Тогда полюса эллиптической функции усиления будут следующими:

$s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,$

Как и в случае с полиномами Чебышева, это можно выразить в явно комплексной форме ( Лютовац и др., 2001 , § 12.8)

$s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}$

$a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}$

$b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}$

$c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}$

где $\zeta _{n}$ является функцией $n,\,\epsilon$ и $\xi$ и $x_{m}$ являются нулями эллиптической рациональной функции. $\zeta _{n}$ выражается для всех n через эллиптические функции Якоби или алгебраически для некоторых порядков, особенно порядков 1, 2 и 3. Для порядков 1 и 2 имеем

$\zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$

$\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}$

где

$t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}$

Алгебраическое выражение для $\zeta _{3}$ является довольно сложным (см. Lutovac & et al. (2001 , § 12.8.1)).

Свойство вложенности эллиптических рациональных функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для $\zeta _{n}$:

$\zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)$

где $L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi )$.

Минимальный заказ

Чтобы спроектировать эллиптический фильтр с использованием минимально необходимого количества элементов, минимальный порядок эллиптического фильтра можно рассчитать с помощью эллиптических интегралов следующим образом. Уравнения учитывают только стандартные эллиптические фильтры нижних частот. Даже изменение порядка приведет к ошибке, которую не учитывают уравнения.

${\begin{aligned}\tau _{1}&={\sqrt {\frac {10^{\alpha _{p}/10}-1}{10^{\alpha _{s}/10}-1}}}\\\tau _{2}&={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}\\X_{1}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{1}\\X_{1}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{1}^{2}}}\\X_{2}&={\text{ Complete Elliptic integral of }}\tau _{2}\\X_{2}'&={\text{ Complete Elliptic integral of }}{\sqrt {1-\tau _{2}^{2}}}\\n&=ceil{\bigg [}{\frac {X_{1}'X_{2}}{X_{1}X_{2}'}}{\bigg ]}\\\end{aligned}}$

Вычисления эллиптических интегралов можно исключить, используя следующее выражение.

${\begin{aligned}k&={\text{ the selectivity factor }}={\frac {\omega _{p}}{\omega _{s}}}{\text{ (same as }}\tau _{2}{\text{ above)}}\\u&={\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{2(1+{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}})}}\\q&=u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\D&={\frac {10^{A_{s}/10}-1}{10^{A_{p}/10}-1}}{\text{ (same as }}1/\tau _{1}{\text{ above)}}\\n&=ceil{\bigg (}{\frac {\log {16D}}{\log(1/q)}}{\bigg )}\\\end{aligned}}$

где:

$\omega _{p}$ и $\alpha _{p}$ — частота пульсаций в полосе пропускания и максимальное затухание пульсаций в дБ.

$\omega _{s}$ и $\alpha _{s}$ — частота полосы задерживания и минимальное затухание в полосе задерживания в дБ.

$n$ — минимальное количество полюсов, порядок фильтра.

ceil [] — функция округления до следующего целого числа.

Эллиптические фильтры с минимальной добротностью

Нормированные добротности полюсов эллиптического фильтра 8-го порядка с ξ = 1,1 как функция коэффициента пульсации ε . Каждая кривая представляет четыре полюса, поскольку пары комплексно-сопряженных полюсов и пары положительно-отрицательных полюсов имеют одинаковую добротность. (Синяя и голубая кривые практически совпадают). Добротность всех полюсов одновременно минимизируется при ε _Qmin = 1/ √ L _n = 0,02323...

См . Лутовак и др. (2001 г. , § 12.11, 13.14).

Эллиптические фильтры обычно определяются требованием определенного значения неравномерности в полосе пропускания, неравномерности в полосе задерживания и резкости среза. Обычно это определяет минимальное значение порядка фильтра, которое необходимо использовать. Еще одним соображением при проектировании является чувствительность функции усиления к значениям электронных компонентов, используемых для создания фильтра. Эта чувствительность обратно пропорциональна добротности ( добротности ) полюсов передаточной функции фильтра. Добротность полюса определяется как:

$Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}$

и является мерой влияния полюса на функцию усиления. Для эллиптического фильтра случается, что для данного порядка существует связь между коэффициентом пульсации и коэффициентом селективности, которая одновременно минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:

$\epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}$

В результате получается фильтр, который максимально нечувствителен к изменениям компонентов, но возможность независимого определения неравномерностей в полосе пропускания и полосе задерживания будет потеряна. Для таких фильтров с увеличением порядка пульсации в обеих полосах будут уменьшаться, а скорость среза увеличиваться. Если кто-то решит использовать эллиптический фильтр с минимальной добротностью, чтобы добиться определенной минимальной пульсации в полосах фильтра вместе с определенной скоростью среза, необходимый порядок обычно будет больше, чем порядок, который в противном случае потребовался бы без минимального добротности. ограничение. Изображение абсолютного значения усиления будет очень похоже на изображение в предыдущем разделе, за исключением того, что полюса расположены по кругу, а не по эллипсу. Они не будут расположены равномерно и на оси ω будут нули, в отличие от фильтра Баттерворта , полюса которого расположены в равномерно расположенном круге без нулей.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Вот изображение, показывающее эллиптический фильтр рядом с другими распространенными типами фильтров, полученными с тем же количеством коэффициентов:

Как видно из изображения, эллиптические фильтры резче всех остальных, но они показывают рябь по всей полосе пропускания.

Конструкция из чебышевских нулей трансмиссии

Полосы заграждения эллиптического фильтра по сути представляют собой фильтры Чебышева с нулями пропускания , где нули пропускания расположены таким образом, чтобы получить полосу заграждения с равномерной пульсацией. Учитывая это, можно преобразовать характеристическое уравнение фильтра Чебышева: $K(s)$ содержащий нули чебышевского отражения в числителе и отсутствие нулей пропускания в знаменателе, к эллиптическому фильтру $K(s)$ содержащие нули эллиптического отражения в числителе и нули эллиптического пропускания в знаменателе, путем итеративного создания нулей пропускания из масштабированных инверсий нулей чебышёвского отражения, а затем восстановления равномерно пульсирующей полосы пропускания Чебышева из нулей пропускания и повторения до тех пор, пока итерации не производят дальнейших изменений, значимых для $K(s)$. Используемый коэффициент масштабирования, $\Omega _{c}$, представляет собой отношение частот среза полосы пропускания к полосе пропускания и также известен как обратная величина «коэффициента избирательности». Поскольку эллиптические конструкции обычно определяются требованиями к затуханию в полосе задерживания, $\Omega _{c}$, может быть получено из уравнений, определяющих минимальный порядок n, приведенных выше.

тот $\omega _{s}/\omega _{p}$ соотношение, $\Omega _{c}$ может быть получен путем решения задачи минимального порядка n , указанной выше, в обратном порядке от n, чтобы найти $\Omega _{c}$.

${\begin{aligned}n&={\text{ number of poles (order of the filter)}}\\q&=(16D)^{(-1/n)}\\0&=-q+u+2u^{5}+15u^{9}+150u^{13}\\u&={\text{ real root of above equation}}\\k&={\text{ the selectivity factor }}={\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}\\\Omega _{c}&={\frac {\omega _{s}}{\omega _{p}}}={\frac {1}{k}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\bigg (}{\frac {1-2u}{1+2u}}{\bigg )}^{4}}}}\\\end{aligned}}$

Характеристические полиномы, $K(s)$ рассчитано из $\Omega _{c}$ и требования к затуханию, затем могут быть преобразованы в полиномы передаточной функции, $G(s)$ с классическим переводом, $G(s)={\sqrt {1/(1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s))}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}$ где $\varepsilon ^{2}=10^{Ap/10.}-1.$ и $A_{p}$ это пульсация полосы пропускания.

Простой пример

Спроектируйте эллиптический фильтр с пульсацией полосы пропускания 1 дБ от 0 до 1 рад/сек и пульсацией полосы задерживания 40 дБ от по крайней мере 1,25 рад/сек до $\infty$.

Применяя приведенные выше расчеты для значения n до применения функции ceil() , оказывается, что n равно 4,83721900, округленному до следующего целого числа, 5, путем применения функции ceil() , что означает, что требуется 5-полюсный эллиптический фильтр. для удовлетворения заданных требований к проектированию. Применяя приведенные выше расчеты для $\Omega _{c}$ необходимо разработать полосу затухания ровно 40 дБ, $\Omega _{c}$ оказывается 1,2186824.

Функция инверсии полиномиального масштаба может быть выполнена путем перевода каждого корня s в $\Omega _{c}/s$, чего можно легко добиться, обратив полином и масштабировав его с помощью $\Omega _{c}$, как показано.

${\begin{aligned}&as^{n}+bs^{n-1}\dots cs^{2}+ds^{1}+es^{0}\Longrightarrow ({\frac {e}{\Omega _{c}^{n}}})s^{n}+({\frac {d}{\Omega _{c}^{n-1}}})s^{n-1}\dots ({\frac {c}{\Omega _{c}^{2}}})s^{2}+({\frac {b}{\Omega _{c}^{1}}})s^{1}+({\frac {a}{\Omega _{c}^{0}}})s^{0}\\\end{aligned}}$

Шаги эллиптического проектирования будут следующими:

1. Спроектируйте фильтры Чебышева с пульсацией полосы пропускания 1 дБ.
2. Инвертируйте все отражения нулями вокруг $\Omega _{c}$для создания нулей передачи
3. Создайте полосу пропускания с равной пульсацией из нулей передачи, используя процесс, описанный в разделе « Ноли передачи Чебышева».
4. Повторяйте шаги 2 и 3 до тех пор, пока полоса пропускания и полоса заграждения не перестанут изменяться на сколько-нибудь ощутимую величину. Обычно от 15 до 25 итераций приводят к разнице коэффициентов порядка 1.e-15.

Чтобы проиллюстрировать шаги, приведенные ниже уравнения K(s) начинаются со стандартного Чебышева K(s), а затем повторяются по всему процессу. Видимые различия видны в первых трёх итерациях. К моменту достижения 18 итераций различия в K(s) становятся незначительными. Итерации могут быть прекращены, когда изменение коэффициентов K(s) становится достаточно малым и соответствует требованиям проектной точности. Все приведенные ниже итерации K(s) были нормализованы так, что $|K(j)|=1$, однако при желании этот шаг можно отложить до последней итерации.

${\begin{aligned}{\text{iteration 0: }}K(s)&={\frac {16s^{5}+20s^{3}+5s}{1}}\\{\text{iteration 1: }}K(s)&={\frac {9.2965947s^{5}+12.999133s^{3}+4.0025668s}{0.14167325s^{4}+0.84164496s^{2}+1}}\\{\text{iteration 2: }}K(s)&={\frac {8.6496472s^{5}+12.270597s^{3}+3.8746611s}{0.19518773s^{4}+0.94147634s^{2}+1}}\\&\vdots \\{\text{iteration 17: }}K(s)&={\frac {8.550086786383502s^{5}+12.157269873073034s^{3}+3.854163602012615s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\{\text{iteration 18: }}K(s)&={\frac {8.550086786383422s^{5}+12.157269873072942s^{3}+3.854163602012599s}{0.2043607336740334s^{4}+0.9573802183509494s^{2}+1}}\\\end{aligned}}$

Чтобы найти $G(s)$ передаточную функцию, сделайте следующее.

${\begin{aligned}\varepsilon ^{2}&=10^{1dB/10.}-1.=.25892541\\G(s)&={\sqrt {G(s)G(-s)}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {1}{1+\varepsilon ^{2}K(s)K(-s)}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}={\sqrt {\frac {K(s)_{den}K(-s)_{den}}{K(s)_{den}K(-s)_{den}+\varepsilon ^{2}K(s)_{num}K(-s)_{num}}}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}\\&={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{{\sqrt {-18.928479s^{10}-53.78661s^{8}-54.942632s^{6}-22.939175s^{4}-1.931467+1}}{\bigg |}_{\text{LHP poles}}}}\\\end{aligned}}$

Чтобы получить $G(s)$ из левой полуплоскости разложите на множители числитель и знаменатель, чтобы получить корни, используя алгоритм поиска корней . Отбросьте все корни из правой полуплоскости знаменателя, половину повторяющихся корней в числителе и восстановите $G(s)$ с оставшимися корнями. В общем, нормализуйте $|G(s)|$ до 1 в $s=0$.

${\begin{aligned}&G(s)={\frac {0.20436073s^{4}+0.95738022s^{2}+1}{4.3506872s^{5}+4.0174213s^{4}+8.0362343s^{3}+4.9129149s^{2}+3.4288915s+1}}\\\end{aligned}}$

Чтобы подтвердить, что пример $G(s)$ всё верно, сюжет $G(s)$ вдоль $j\omega$ показано ниже с пульсацией полосы пропускания 1 дБ, частотой среза 1 рад/сек, затуханием в полосе задерживания 40 дБ, начиная с 1,21868 рад/сек.

Пятиполюсное эллиптическое моделирование

Даже заказ модификаций

Эллиптические фильтры даже порядка, реализованные с использованием пассивных элементов, обычно индукторов, конденсаторов и линий передачи, с нагрузками равного значения на каждой стороне, не могут быть реализованы с традиционной эллиптической передаточной функцией без использования связанных катушек, что может быть нежелательно или неосуществимо. Это связано с физической невозможностью учесть нули чебышевского отражения и пропускания четного порядка , что приводит к значениям матрицы рассеяния S12, превышающим значение S12 при $\omega =0$и конечные значения S12, существующие при $\omega =\infty$. Если невозможно спроектировать фильтр с увеличением или уменьшением одного из окончаний для соответствия полосе пропускания S12, тогда эллиптическая передаточная функция должна быть изменена так, чтобы переместить нулевой уровень отражения самого низкого четного порядка в $\omega =0$ и передача самого высокого четного порядка от нуля до $\omega =\infty$ сохраняя при этом равномерную пульсацию полосы пропускания и полосы задерживания.

Необходимая модификация включает в себя отображение каждого полюса и нуля эллиптической передаточной функции таким образом, чтобы отображать ноль отражения самой низкой частоты в ноль, а ноль передачи самой высокой частоты в $\infty$, а остальные полюса и нули — по мере необходимости для поддержания равной пульсации полосы пропускания и полосы задерживания. Ноль отражения на самой низкой частоте можно найти путем факторизации $K(s)$ числитель, а ноль самой высокой частоты передачи можно найти путем факторизации $K(s)$ знаменатель.

Переведя нули отражения, следующее уравнение применяется ко всем полюсам и нулям $K(s)$. Хотя теоретически операции перевода могут выполняться либо на $K(s)$ или $G(s)$нули отражения необходимо извлечь из $K(s)$, поэтому обычно более эффективно выполнять операции перевода на $K(s)$.

$R_{i}'={\sqrt {\frac {R_{i}^{2}+\omega _{LO}^{2}}{1-\omega _{LO}^{2}}}}$

Где:

$R_{i}$ исходный нуль или полюс эллиптической функции

$R_{i}'$ представляет собой отображаемый ноль или полюс для модифицированной передаточной функции четного порядка.

$\omega _{LO}$ – это ноль отражения самой низкой частоты в полосе пропускания.

Знак мнимой составляющей $R_{i}'$ определяется знаком исходного $R_{i}$.

Переведя нули передачи, следующее уравнение применяется ко всем полюсам и нулям $K(s)$. Хотя теоретически операции перевода могут выполняться либо на $K(s)$ или $G(s)$, если нули отражения необходимо извлечь из $K(s)$, возможно, более эффективно выполнять операции перевода на $K(s)$.

$R_{i}'={\sqrt {\frac {(\omega _{HI}^{2}-1)R_{i}^{2}}{\omega _{HI}^{2}+R_{i}^{2}}}}$

Где:

$R_{i}$ исходный нуль или полюс эллиптической функции

$R_{i}'$ представляет собой отображаемый ноль или полюс для модифицированной передаточной функции четного порядка.

$\omega _{HI}$ — ноль передачи на самой высокой частоте в полосе пропускания.

Знак мнимой составляющей $R_{i}'$ определяется знаком исходного $R_{i}$. Если работать на $G(s)$ знак действительной составляющей $R_{i}'$ должно быть отрицательным, чтобы соответствовать требованию левой полуплоскости.

Важно отметить, что все приложения требуют как проходной, так и стоповой трансляции. Пассивные сетевые диплексеры, например, требуют только трансляции полос заграждения четного порядка и работают более эффективно с нетранслированными полосами пропускания четного порядка.

Когда $G(s)$ завершено, создается равнопульсирующая передаточная функция со значениями матрицы рассеяния для S12, равными 1 $\omega =0$ и 0 в $\omega =\infty$, который может быть реализован с помощью пассивных сетей с одинаковым завершением.

На рисунке ниже показан эллиптический фильтр 8-го порядка, модифицированный для поддержки пассивных сетей с одинаковым завершением четного порядка путем перемещения нуля отражения наименьшей частоты с конечной частоты на 0, а нуля передачи на самой высокой частоте на $\infty$ сохраняя при этом равномерную полосу пропускания и частотную характеристику полосы задерживания.

Даже заказать модифицированную эллиптическую иллюстрацию

The $\Omega _{c}$ и вычисление порядка в параграфе эллиптической конструкции выше предназначены только для немодифицированных эллиптических фильтров. Хотя даже изменения порядка не влияют на полосу пропускания или затухание в полосе заграждения, следует ожидать небольших ошибок в порядке и $\Omega _{c}$ вычисления. Поэтому важно все-таки применять равномерные изменения порядка. $K(s)$ итерации завершаются, если желательно сохранить затухания в полосах пропускания и заграждения. Если измененная эллиптическая функция четного порядка создана из $\Omega _{c}$требование, фактическое $\Omega _{c}$ будет немного больше, чем дизайн $\Omega _{c}$. Аналогично, вычисление порядка n может привести к меньшему значению, чем фактически требуемый порядок.

Реализация песочных часов

Фильтр «Песочные часы» — это особый случай фильтра, в котором нули отражения являются обратными нулями передачи с нормализованной частотой затухания 3,01 дБ, равной 1 рад/сек, в результате чего все полюса фильтра располагаются на единичном круге. Реализация эллиптических песочных часов имеет преимущество перед обратным фильтром Чебышева в том, что полоса пропускания более плоская, и имеет преимущество перед традиционными эллиптическими фильтрами в том, что групповая задержка имеет менее резкий пик на частоте среза.

7-полюсный преобразователь частоты «песочные часы», обратная частотная характеристика S11 и S12.

Процесс синтеза

Самый простой способ синтезировать фильтр «Песочные часы» — это спроектировать эллиптический фильтр с заданным проектным затуханием в полосе задерживания As и рассчитанным затуханием в полосе пропускания, которое отвечает требованиям двухпортовой сети без потерь , которые параметры рассеяния $|S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1$. Вместе с хорошо известной величиной дБ в арифметический перевод, $(S_{ij})_{dB}=20log_{10}(|S_{ij}|_{arith})$, алгебраические манипуляции дают следующее расчетное требование к затуханию в полосе пропускания.

$A_{p}=-10\log _{10}{(1.-10^{(-A_{s}/10)})}$

A , определенный выше , _p будет создавать нули взаимного отражения и передачи на еще неизвестной частоте среза 3,01 дБ. Чтобы спроектировать эллиптический фильтр с частотой полосы пропускания 1 рад/сек, необходимо определить частоту затухания 3,01 дБ, и эту частоту необходимо использовать для обратного масштабирования полиномов эллиптического проектирования. Результатом будут полиномы с затуханием 3,01 дБ при нормированной частоте 1 рад/сек. Метод Ньютона или непосредственное решение уравнений с помощью алгоритма поиска корня можно использовать для определения частоты затухания 3,01 дБ.

Масштабирование частоты методом Ньютона

Если $G(s)$ - передаточная функция «Песочные часы», позволяющая найти частоту 3,01 дБ, и $\omega _{c}$ — частота 3 дБ, которую необходимо найти, для нахождения можно использовать приведенные ниже шаги. $\omega _{c}$

1. Если $G(s)G(-s)$ еще нет, умножьте $G(s)$ к $G(-s)$ чтобы получить $G(s)G(-s)$.
2. отрицать все условия $s^{n}$ когда $(n+2)$ делится на $4$. Это было бы $s^{2}$, $s^{6}$, $s^{10}$, и так далее. Модифицированная функция будет называться $G_{2}(s)G_{2}(-s)$, и эта модификация позволит использовать действительные числа вместо комплексных чисел при вычислении полинома и его производной. настоящий $\omega _{a}$теперь можно использовать вместо комплекса $j\omega _{a}$
3. Преобразуйте желаемое затухание в дБ, $A_{dB}$, к квадрату арифметического значения усиления, $B_{arith}^{2}$, используя $B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}$. Например, 3,010 дБ преобразуется в 0,5, 1 дБ преобразуется в 0,79432823 и так далее.
4. Рассчитать модифицированный $|G_{2}(s)G_{2}(-s)|$ в методе Ньютона с использованием действительного значения, $\omega _{a}$. Всегда принимайте абсолютное значение.
5. Вычислите производную модифицированного $G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})$ относительно реальной стоимости, $\omega _{a}$. НЕ принимайте абсолютное значение производной.

Когда шаги с 1) по 4) завершены, выражение, включающее метод Ньютона, можно записать как:

$\omega _{a}=\omega _{a}-([G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[G_{2}(\omega _{a})G_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})$

используя реальное значение для $\omega _{a}$без необходимости сложной арифметики. Движение $\omega _{a}$ должно быть ограничено, чтобы оно не становилось отрицательным на ранних этапах итераций для повышения надежности. Когда сближение завершится, $\omega _{a}$ может использоваться для $\omega _{c}$ который можно использовать для масштабирования оригинала $G(s)$ знаменатель передаточной функции. Затухание модифицированного $G(s)$ тогда будет практически точное желаемое значение при скорости 1 рад/сек. При правильном выполнении потребуется всего несколько итераций, чтобы установить затухание в широком диапазоне желаемых значений затухания как для фильтров малого, так и очень большого порядка.

Масштабирование частоты с поиском корня

С $|G(j\omega _{a})|$ не содержит никакой информации о фазе, непосредственный факторинг передаточной функции не даст полезных результатов. Однако передаточную функцию можно изменить, умножив ее на $G(-s)$ устранить все нечетные полномочия $G(j\omega a)$, что, в свою очередь, заставляет $G(j\omega a)$ быть реальным на всех частотах, а затем найти частоту, которая приведет к квадрату желаемого внимания.

1. Если $G(s)G(-s)$ еще нет, умножьте $G(s)$ к $G(-s)$ чтобы получить $G(s)G(-s)$.
2. Преобразуйте желаемое затухание в дБ, $A_{dB}$, к квадрату арифметического значения усиления, $B_{arith}^{2}$, используя $B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}$. Например, 3,010 дБ преобразуется в 0,5, 1 дБ преобразуется в 0,79432823 и так далее.
3. Находить $P(S)=G_{num}(S)G_{num}(-S)-B_{arith}^{2}G_{den}(S)G_{den}(-S)$
4. Найдите корни P(S), используя алгоритм поиска корней.
5. Из набора корней сверху выберите положительный мнимый корень для всех фильтров порядка и положительный действительный корень для фильтров четного порядка для $\omega _{c}$.

Масштабирование передаточной функции

Когда $\omega _{c}$ было определено, полином передаточной функции «Песочные часы» можно масштабировать следующим образом:

${\begin{aligned}G(s)_{\text{orig}}&={\frac {N_{nn}s^{nn}+\dots +N_{2}s^{2}+N_{1}s+N_{0}}{D_{nn}s^{nd}+\dots +D_{2}s^{2}+D_{1}s+D_{0}}}{\text{ (original unscaled transfer function polynomials)}}\\G(s)_{\text{ scaled}}&={\frac {N_{nn}(\omega _{c}s)^{nn}+\dots +N_{2}(\omega _{c}s)^{2}+N_{1}\omega _{c}s+N_{0}}{D_{nn}(\omega _{c}s)^{nd}+\dots +D_{2}(\omega _{c}s)^{2}+D_{1}\omega _{c}s+D_{0}}}{\text{ (}}3.01{\text{ dB at 1 rad/sec scaled transfer function polynomials)}}\\\omega _{c}&=|G(s)|{\text{ 3.01 dB attenuation frequency }}\\nn,nd&={\text{ order of numerator and denominator, respectively}}\\N,D&={\text{ coefficients of numerator and denominator, respectively}}\\\end{aligned}}$

Даже заказ модификаций

Даже фильтры «Песочные часы» имеют те же ограничения в отношении пассивных сетей с одинаковой нагрузкой, что и другие эллиптические фильтры. Те же самые изменения порядка, которые решают проблему с эллиптическими фильтрами, также решают проблему с фильтрами «Песочные часы».

Ссылки

• Дэниелс, Ричард В. (1974). Аппроксимационные методы проектирования электронных фильтров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-015308-6 .
• Лутовац, Мирослав Д.; Тошич, Деян В.; Эванс, Брайан Л. (2001). Проектирование фильтров для обработки сигналов с использованием MATLAB и Mathematica . Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN  0-201-36130-2 .