Эллиптические рациональные функции

График эллиптических рациональных функций для x от -1 до 1 для порядков 1,2,3 и 4 с коэффициентом дискриминации ξ=1,1. Все они ограничены значениями от -1 до 1 и все имеют значение 1 при x=1 .

В математике эллиптические рациональные функции представляют собой последовательность рациональных функций с действительными коэффициентами. Эллиптические рациональные функции широко используются при проектировании эллиптических электронных фильтров . (Эти функции иногда называют рациональными функциями Чебышева , не путать с некоторыми другими одноименными функциями ) .

Рациональные эллиптические функции идентифицируются положительным целым порядком n и включают параметр ξ ≥ 1, называемый фактором селективности . Рациональная эллиптическая функция степени n по x с коэффициентом селективности ξ обычно определяется как:

$R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n}(\xi ))}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}(\xi )\right)$

где

• cd(u,k) — эллиптическая косинусная функция Якоби .
• K() — полный эллиптический интеграл первого рода.
• $L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )$ – коэффициент дискриминации , равный минимальному значению величины $R_{n}(\xi ,x)$ для $|x|\geq \xi$.

Во многих случаях, в частности для порядков вида n = 2 ^а 3 ^б где a и b — целые числа, эллиптические рациональные функции могут быть выражены только с использованием алгебраических функций. Эллиптические рациональные функции тесно связаны с полиномами Чебышева : так же, как круговые тригонометрические функции являются частными случаями эллиптических функций Якоби, так и полиномы Чебышева являются частными случаями эллиптических рациональных функций.

Выражение как отношение многочленов

Для четных порядков эллиптические рациональные функции могут быть выражены как отношение двух многочленов, оба порядка n .

$R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi})}}$ (даже для n)

где $x_{i}$ это нули и $x_{pi}$ являются полюсами и $r_{0}$ нормировочная константа, выбранная так, что $R_{n}(\xi ,1)=1$. Приведенная выше форма будет верна и для четных заказов, за исключением того, что для нечетных заказов будет полюс в точке x=∞ и ноль в точке x=0, поэтому приведенную выше форму необходимо изменить следующим образом:

$R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi})}}$ (для n нечетных)

Характеристики

График абсолютного значения эллиптической рациональной функции третьего порядка с ξ = 1,4. имеется ноль В точке x=0 , а в бесконечности – полюс. Поскольку функция антисимметрична, видно, что у нее три нуля и три полюса. Между нулями функция возрастает до значения 1, а между полюсами функция падает до значения коэффициента дискриминации L _n

График абсолютного значения эллиптической рациональной функции четвертого порядка с ξ = 1,4. Поскольку функция симметрична, видно, что имеется четыре нуля и четыре полюса. Между нулями функция возрастает до значения 1, а между полюсами функция падает до значения коэффициента дискриминации L _n

График влияния коэффициента селективности ξ. Эллиптическая рациональная функция четвертого порядка показана со значениями ξ, изменяющимися от почти единицы до бесконечности. Черная кривая, соответствующая ξ=∞, представляет собой полином Чебышева 4-го порядка. Чем ближе коэффициент селективности к единице, тем круче будет наклон в области перехода между x=1 и x=ξ.

Канонические свойства

• $R_{n}^{2}(\xi ,x)\leq 1$ для $|x|\leq 1\,$
• $R_{n}^{2}(\xi ,x)=1$ в $|x|=1\,$
• $R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)$
• $R_{n}^{2}(\xi ,x)>1$ для $x>1\,$
• Наклон при x=1 максимально велик.
• Наклон при x=1 больше соответствующего наклона полинома Чебышева того же порядка.

Единственной рациональной функцией, удовлетворяющей вышеуказанным свойствам, является эллиптическая рациональная функция ( Лутовац, Тошич и Эванс 2001 , § 13.2). Получаются следующие свойства:

Нормализация

Эллиптическая рациональная функция нормируется на единицу при x=1:

$R_{n}(\xi ,1)=1\,$

Вложенное имущество

Свойство вложенности записывается:

$R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,$

Это очень важное свойство:

• Если $R_{n}$ известно для всех простых n , то свойство вложенности дает $R_{n}$ для всех н . В частности, поскольку $R_{2}$ и $R_{3}$ можно выразить в замкнутой форме без явного использования эллиптических функций Якоби, то все $R_{n}$ для n вида $n=2^{a}3^{b}$ можно так выразиться.
• Отсюда следует, что если нули $R_{n}$ для простых n известны нули всех $R_{n}$ можно найти. Используя соотношение инверсии (см. ниже), можно также найти полюса.
• Свойство вложенности подразумевает свойство вложенности фактора дискриминации:

$L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi ))$

Предельные значения

Эллиптические рациональные функции связаны с полиномами Чебышева первого рода $T_{n}(x)$ к:

$\lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,$

Симметрия

$R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)\,$ даже для н

$R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,$ для n нечетно

Эквириппл

$R_{n}(\xi ,x)$ имеет равную пульсацию $\pm 1$ в интервале $-1\leq x\leq 1$. Из соотношения инверсии (см. ниже) следует, что $1/R_{n}(\xi ,x)$ имеет эквирипл в $-1/\xi \leq x\leq 1/\xi$ из $\pm 1/L_{n}(\xi )$.

Инверсионные отношения

Имеет место следующее инверсионное соотношение:

$R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,$

Это означает, что полюса и нули встречаются парами, так что

$x_{pi}x_{zi}=\xi \,$

Функции нечетного порядка будут иметь ноль в точке x=0 и соответствующий полюс в точке бесконечности.

Полюса и нули

Нули эллиптической рациональной функции порядка n запишутся $x_{ni}(\xi )$ или $x_{ni}$ когда $\xi$ неявно известно. Нули эллиптической рациональной функции будут нулями многочлена в числителе функции.

Следующий вывод нулей эллиптической рациональной функции аналогичен выводу нулей полиномов Чебышева ( Лутовац, Тошич и Эванс 2001 , § 12.6). Используя тот факт, что для любого z

$\mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,$

из определяющего уравнения для эллиптических рациональных функций следует, что

$n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})$

так что нули задаются выражением

$x_{m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).$

Затем, используя соотношение инверсии, можно рассчитать полюса.

Из свойства вложенности, если нули $R_{m}$ и $R_{n}$ могут быть выражены алгебраически (т.е. без необходимости вычисления эллиптических функций Якоби), тогда нули $R_{m\cdot n}$ может быть выражено алгебраически. В частности, нули эллиптических рациональных функций порядка $2^{i}3^{j}$ может быть выражено алгебраически ( Лутовац, Тошич и Эванс 2001 , § 12.9, 13.9). Например, мы можем найти нули $R_{8}(\xi ,x)$ следующим образом: Определить

$X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.$

Тогда, исходя из свойства гнездования и зная, что

$R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}$

где $t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}$ у нас есть:

$L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}$

$X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.$

Эти последние три уравнения можно обратить:

$x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad$

Чтобы вычислить нули $R_{8}(\xi ,x)$ мы устанавливаем $X_{8}=0$ в третьем уравнении вычислите два значения $X_{4}$, затем используйте эти значения $X_{4}$ во втором уравнении для расчета четырех значений $X_{2}$ и, наконец, используйте эти значения в первом уравнении для вычисления восьми нулей $R_{8}(\xi ,x)$. ( $t_{n}$ рассчитываются аналогичной рекурсией.) Опять же, используя соотношение инверсии, эти нули можно использовать для расчета полюсов.

Особые ценности

Мы можем записать первые несколько эллиптических рациональных функций как:

$R_{1}(\xi ,x)=x\,$

$R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}$

где

$t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}$

$R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}$

где

$G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}$

$x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}$

$x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}$

$R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}$

$R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,$ и т. д.

См. Лутовак, Тошич и Эванс (2001 , § 13) для получения дополнительных явных выражений порядка n=5 и $n=2^{i}\,3^{j}$.

Соответствующими факторами дискриминации являются:

$L_{1}(\xi )=\xi \,$

$L_{2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}}=\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}$

$L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\left({\frac {1-x_{p}^{2}}{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}}\right)^{2}$

$L_{4}(\xi )=\left({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{1/4}\right)^{4}\left(\xi +{\sqrt {\xi ^{2}-1}}\right)^{2}$

$L_{6}(\xi )=L_{3}(L_{2}(\xi ))\,$ и т. д.

Соответствующие нули $x_{nj}$ где n — порядок, а j — номер нуля. Всего в каждом заказе будет n нулей.

$x_{11}=0\,$

$x_{21}=\xi {\sqrt {1-t}}\,$

$x_{22}=-x_{21}\,$

$x_{31}=x_{z}\,$

$x_{32}=0\,$

$x_{33}=-x_{31}\,$

$x_{41}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t-{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,$

$x_{42}=\xi {\sqrt {\left(1-{\sqrt {t}}\right)\left(1+t+{\sqrt {t(t+1)}}\right)}}\,$

$x_{43}=-x_{42}\,$

$x_{44}=-x_{41}\,$

Из соотношения инверсии соответствующие полюса $x_{p,ni}$ может быть найден $x_{p,ni}=\xi /(x_{ni})$

Ссылки

• Математический мир
• Дэниелс, Ричард В. (1974). Аппроксимационные методы проектирования электронных фильтров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-015308-6 .
• Лутовац, Мирослав Д.; Тошич, Деян В.; Эванс, Брайан Л. (2001). Проектирование фильтров для обработки сигналов с использованием MATLAB© и Mathematica© . Нью-Джерси, США: Прентис Холл. ISBN  0-201-36130-2 .