Рациональные функции Чебышева

Для рациональных функций Чебышева, используемых при проектировании эллиптических фильтров , см. Эллиптические рациональные функции .

График рациональных функций Чебышева для n = 0, 1, 2, 3, 4 для 0,01 ≤ x ≤ 100 , логарифмический масштаб.

В математике представляют рациональные функции Чебышева собой последовательность функций, которые одновременно рациональны и ортогональны . Они названы в честь Пафнутия Чебышева . Рациональная функция Чебышева степени n определяется как:

$R_{n}(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)$

где T _n ( x ) — полином Чебышева первого рода.

Характеристики

Многие свойства можно вывести из свойств полиномов Чебышева первого рода. Другие свойства уникальны для самих функций.

Рекурсия

$R_{n+1}(x)=2\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad {\text{for}}\,n\geq 1$

Дифференциальные уравнения

$(x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n-1}(x)\quad {\text{for }}n\geq 2$

$(x+1)^{2}x{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0$

Ортогональность

График абсолютного значения рациональной функции Чебышева седьмого порядка ( n = 7 ) для 0,01 ≤ x ≤ 100 . Обратите внимание, что имеется n нулей, расположенных симметрично относительно x = 1 , и если x ₀ — ноль, то ⁠ 1 / x ₀ ⁠ также является нулем. Максимальное значение между нулями — единица. Эти свойства сохраняются для всех заказов.

Определение:

$\omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}$

Ортогональность рациональных функций Чебышева можно записать:

$\int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}$

где c _n = 2 для n = 0 и c _n = 1 для n ≥ 1 ; δ _нм – дельта -функция Кронекера.

Разложение произвольной функции

Для произвольной функции f ( x ) ∈ L ²
_ω отношение ортогональности можно использовать для расширения f ( x ) :

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)$

где

$F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x.$

Особые ценности

${\begin{aligned}R_{0}(x)&=1\\R_{1}(x)&={\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\\R_{n}(x)&=(x+1)^{-n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\binom {2n}{2m}}x^{n-m}\end{aligned}}$

Частичное расширение дроби

$R_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {(m!)^{2}}{(2m)!}}{\binom {n+m-1}{m}}{\binom {n}{m}}{\frac {(-4)^{m}}{(x+1)^{m}}}$

Ссылки

• Го, Бен-Ю; Шен, Цзе; Ван, Чжун-Цин (2002). «Рациональные спектральные и псевдоспектральные методы Чебышева на полубесконечном интервале» (PDF) . Межд. Дж. Нумер. Методы англ . 53 (1): 65–84. Бибкод : 2002IJNME..53...65G . CiteSeerX   10.1.1.121.6069 . дои : 10.1002/nme.392 . S2CID   9208244 . Проверено 25 июля 2006 г.