Оптимальный фильтр «L»

Оптимальный фильтр «L» (также известный как фильтр Лежандра-Папулиса ) был предложен Афанасиосом Папулисом в 1958 году. Он имеет максимальную скорость спада для заданного порядка фильтра при сохранении монотонной частотной характеристики. Он обеспечивает компромисс между фильтром Баттерворта , который является монотонным, но имеет более медленный спад, и фильтром Чебышева , который имеет более быстрый спад, но имеет пульсации либо в полосе пропускания , либо в полосе задерживания . Конструкция фильтра основана на полиномах Лежандра , что является причиной его альтернативного названия и буквы «L» в оптимальном «L».

Синтез характеристических полиномов

Решение синтеза характеристического полинома оптимального L-фильтра N-го порядка возникает в результате решения характеристического полинома: $L_{N}(\omega ^{2})$ , учитывая приведенные ниже ограничения и определения. ^{[ 1 ]}

${\begin{aligned}&L_{N}(0)=0\\&L(1)=1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }\geq {\text{ 0 for 0 }}\leq \omega \leq 1\\&{dL_{N}(\omega ^{2}) \over d\omega }{\biggr |}_{\omega =1}{\text{ is maximum}}\\\end{aligned}}$

Случай нечетного порядка ^{[ 2 ]} и даже заказать чехол ^{[ 1 ]} обе могут быть решены с использованием полиномов Лежандра следующим образом.

${\begin{aligned}&{\text{N Odd:}}\\&L_{N}(\omega ^{2})={\frac {2}{N+1}}\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}{\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{Where}}\\&P_{i}(x){\text{ is the Legendre polynomial of the first kind of order i}}\\&k={\frac {N-1}{2}}\\&a_{i}={\frac {2i+1}{\sqrt {2(k+1)}}}\\&\\&\\&{\text{N Even:}}\\&L_{N}(\omega ^{2})=\int _{-1}^{2\omega ^{2}-1}(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}dx\\&{\text{Where}}\\&k={\frac {N-2}{2}}\\&a_{i}={\begin{cases}{\frac {2i+1}{\sqrt {(k+2)(k+1)}}},&{\text{if }}i{\text{ is odd and }}k{\text{ is odd OR }}i{\text{ is even and }}k{\text{ is even}}\\0,&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}$

Частотная характеристика и передаточная функция

Величина частоты создается по следующей формуле. Поскольку оптимальная характеристическая функция «L» уже имеет квадратную форму, ее не следует возводить в квадрат снова, как это делается для других типов фильтров, таких как фильтры Чебышева и фильтры Баттерворта .

${\begin{aligned}&T(\omega )={\sqrt {\frac {1}{1+\epsilon ^{2}L_{N}(\omega ^{2})}}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{magnitude attenuation of the passband in dB, usually 3.0103}}\\\end{aligned}}$

Чтобы получить передаточную функцию, $T(j\omega )$ , сделай $L_{N}(\omega ^{2})$ все коэффициенты положительны для учета $j\omega$ ось частоты, а затем используйте полюса левой полуплоскости, чтобы построить $T(j\omega )$ . Обратите внимание, что $L_{N}((j\omega )^{2})$ равно +1 для четного N и -1 для нечетного N (см. $L_{N}(\omega ^{2})$ таблицу ниже). Знак $L_{N}((j\omega )^{2})$ необходимо учитывать в уравнениях $T(j\omega )$ ниже. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

${\begin{aligned}&T(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{a+\epsilon ^{2}L_{N}((j\omega )^{2})}}}{\bigg |}_{\text{Left half plane}}\\&{\text{Where:}}\\&a={\begin{cases}1,&{\text{if }}N{\text{ is even}}\\-1,&{\text{if }}N{\text{ is odd}}\end{cases}}\\&\epsilon ^{2}=10^{|\delta |/10}-1.\\&\delta ={\text{magnitude attenuation of the passband in dB, usually 3.010}}\\\end{aligned}}$

Ограничение «Левая полуплоскость» относится к поиску корней во всех многочленах, содержащихся в скобках, выбору только корней в левой полуплоскости и воссозданию полиномов из этих корней.

Пример: передаточная функция 4-го порядка.

N = 4 (четвертый порядок), затухание в полосе пропускания = -3,010 при 1 об/с.

Фильтр четвертого порядка имеет значение k, равное 1, что является нечетным, поэтому при суммировании используются только нечетные значения i для $a_{i}$ и $P_{i}(x)$ , который включает в суммирование только член i=1.

Передаточная функция, $T_{4}(j\omega )$ , может быть получено следующим образом:

${\begin{aligned}&k={\frac {N-2}{2}}=1{\text{ (}}k{\text{ is odd)}}\\&a_{1}={\frac {2(1)+1}{\sqrt {((1)+2)((1)+1)}}}=1.2247449\\&P_{1}(x)=x\\&(x+1){\bigg (}\sum _{i=0}^{i=k}a_{i}P_{i}(x){\bigg )}^{2}=(x+1){\bigr (}1.2247449(x){\bigr )}^{2}=1.5x^{3}+1.5x^{2}\\&L_{4}(x^{2})=\int _{-1}^{2x^{2}-1}1.5x^{3}+1.5x^{2}{\text{ }}dx=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(x^{2})=6x^{8}-8x^{6}+3x^{4}\\&L_{4}(j\omega ^{2})=6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4}\\&echo={\sqrt {\epsilon ^{3.0103/10}-1}}=1\\&T_{4}(j\omega )={\bigg [}{\frac {1}{1+1^{2}(6(j\omega )^{8}+8(j\omega )^{6}+3(j\omega )^{4})}}{\bigg ]}_{\text{Left Half Plane}}\\&\\&T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}\end{aligned}}$

Быстрая проверка работоспособности $T_{4}(j)$ вычисляет значение -3,0103 дБ, что и ожидалось.

Таблица первых 10 характеристических полиномов

Н	$L_{N}(\omega ^{2})$
1	${\textstyle \omega ^{2}}$
2	${\textstyle \omega ^{4}}$
3	${\textstyle 3\omega ^{6}-3\omega ^{4}+\omega ^{2}}$
4	${\textstyle 6\omega ^{8}-8\omega ^{6}+3\omega ^{4}}$
5	${\textstyle 20\omega ^{10}-40\omega ^{8}+28\omega ^{6}-8\omega ^{4}+\omega ^{2}}$
6	${\textstyle 50\omega ^{12}-120\omega ^{10}+105\omega ^{8}-40\omega ^{6}+6\omega ^{4}}$
7	${\textstyle 175\omega ^{14}-525\omega ^{12}+615\omega ^{10}-355\omega ^{8}+105\omega ^{6}-15\omega ^{4}+\omega ^{2}}$
8	${\textstyle 490\omega ^{16}-1668\omega ^{14}+2310\omega ^{12}-1624\omega ^{10}+615\omega ^{8}-120\omega ^{6}+10\omega ^{4}}$
9	${\textstyle 1764\omega ^{18}-7056\omega ^{16}+11704\omega ^{14}-10416\omega ^{12}+5376\omega ^{10}-1624\omega ^{8}+276\omega ^{6}-24\omega ^{4}+\omega ^{2}}$
10	${\textstyle 5292\omega ^{20}-23520\omega ^{18}+44100\omega ^{16}-45360\omega ^{14}+27860\omega ^{12}-10416\omega ^{10}+2310\omega ^{8}-280\omega ^{6}+15\omega ^{4}}$

Таблица рассчитана на основе приведенных выше уравнений для $L_{N}(\omega ^{2})$

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Фукада, Минору (сентябрь 1959 г.). «Оптимальные фильтры четных порядков с монотонным откликом» . IRE Транзакции по теории цепей . 6 (3): 277–281. doi : 10.1109/TCT.1959.1086558 — через IEEE Xplore.
^ Папулис, Афанасиос (март 1958 г.). «Оптимальные фильтры с монотонным откликом» . Труды ИРЭ . 46 (3): 606–609. doi : 10.1109/JRPROC.1958.286876 – через IEEE Xplore.
^ Конспекты лекций доктора Байрона Беннета по проектированию фильтров, 1985, Государственный университет Монтаны , факультет энергоэффективности , Бозман , Монтана, США.
^ Седра, Адель С.; Брэкетт, Питер О. (1978). Теория и конструкция фильтров: активные и пассивные . Бивертон, Оэгон, США: Matrix Publishers, Inc., стр. 45–73. ISBN 978-0916460143 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )

Папулис, Афанасиос (1958). «Оптимальные фильтры с монотонным откликом». Учеб. ИРЭ . 46 (март): 606–609. дои : 10.1109/JRPROC.1958.286876 .
Куо, Франклин Ф. (1966). Сетевой анализ и синтез . Уайли. ISBN 0-471-51118-8 . Второе издание.
Оптимальные «L»-фильтры: полиномы, полюса и элементы схемы , К. Бонд, 2004 г.
Примечания к фильтрам «L» (оптимальные) , К. Бонд, 2011 г.

Эта статья, посвященная электронике, незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Фукада, Минору (сентябрь 1959 г.). «Оптимальные фильтры четных порядков с монотонным откликом» . IRE Транзакции по теории цепей . 6 (3): 277–281. doi : 10.1109/TCT.1959.1086558 — через IEEE Xplore.

[2] Папулис, Афанасиос (март 1958 г.). «Оптимальные фильтры с монотонным откликом» . Труды ИРЭ . 46 (3): 606–609. doi : 10.1109/JRPROC.1958.286876 – через IEEE Xplore.

[:5-3] Конспекты лекций доктора Байрона Беннета по проектированию фильтров, 1985, Государственный университет Монтаны , факультет энергоэффективности , Бозман , Монтана, США.

[:7-4] Седра, Адель С.; Брэкетт, Питер О. (1978). Теория и конструкция фильтров: активные и пассивные . Бивертон, Оэгон, США: Matrix Publishers, Inc., стр. 45–73. ISBN 978-0916460143 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]