Гауссов фильтр

В электронике и обработке сигналов , в основном в цифровой обработке сигналов , фильтр Гаусса — это фильтр которого , импульсная характеристика является функцией Гаусса (или приближением к ней, поскольку истинный гауссовский отклик будет иметь бесконечную импульсную характеристику ). Гауссовы фильтры обладают свойствами отсутствия выбросов на входе ступенчатой функции и при этом минимизируют время нарастания и спада. Такое поведение тесно связано с тем фактом, что фильтр Гаусса имеет минимально возможную групповую задержку . Фильтр Гаусса будет иметь наилучшее сочетание подавления высоких частот и минимизировать пространственный разброс, что является критической точкой принципа неопределенности . Эти свойства важны в таких областях, как осциллографы. ^[1] и цифровые телекоммуникационные системы. ^[2]

Математически фильтр Гаусса изменяет входной сигнал путем свертки с функцией Гаусса ; это преобразование также известно как преобразование Вейерштрасса .

Определение

Одномерный фильтр Гаусса имеет импульсную характеристику, определяемую выражением

g(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}e^{-ax^{2}}

а частотная характеристика определяется преобразованием Фурье

{\hat {g}}(f)=e^{-\pi ^{2}f^{2}/a}

с $f$ обычная частота. Эти уравнения также можно выразить с помощью стандартного отклонения как параметра

g(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}

а частотная характеристика определяется выражением

{\hat {g}}(f)=e^{-f^{2}/(2\sigma _{f}^{2})}

Написав $a$ как функция $\sigma$ с двумя уравнениями для $g(x)$ и как функция $\sigma _{f}$ с двумя уравнениями для ${\hat {g}}(f)$ можно показать, что произведение стандартного отклонения и стандартного отклонения в частотной области определяется выражением

\sigma \sigma _{f}={\frac {1}{2\pi }}

,

где стандартные отклонения выражаются в физических единицах, например, в случае времени и частоты в секундах и герцах соответственно.

В двух измерениях это произведение двух таких гауссианов, по одному на каждое направление:

g(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}e^{-(x^{2}+y^{2})/(2\sigma ^{2})}

^[3]^[4]^[5]

где x — расстояние от начала координат по горизонтальной оси, y — расстояние от начала координат по вертикальной оси, а σ — стандартное отклонение распределения Гаусса.

Синтез полиномов гауссовского фильтра

Гаусса передаточной функции Полиномы могут быть синтезированы с использованием разложения в ряд Тейлора квадрата функции Гаусса вида $\epsilon ^{-a\omega ^{2}}$ где $a$ установлено так, что $\epsilon ^{-a\omega ^{2}}={\sqrt {1/2}}$ (эквивалент -3,01 дБ) при $\omega =1$ . ^[6] Стоимость $a$ может быть рассчитано с учетом этого ограничения как $a=-log{\bigg (}{\sqrt {1/2}}{\bigg )}$ или 0,34657359 для приблизительного затухания по отсечке -3,010 дБ. Если желательно ослабление, отличное от -3,010 дБ, $a$ может быть пересчитан с использованием другого затухания, $a=log(10^{(|dB|/20)})$ .

Чтобы соответствовать всем вышеперечисленным критериям, $F(\omega )$ должен иметь вид, полученный ниже, без нулей стоп-зоны,

$F(\omega )=\epsilon ^{-a\omega ^{2}}{\sqrt {(\epsilon ^{-a\omega ^{2}})^{2}}}={\sqrt {\frac {1}{\epsilon ^{2a\omega ^{2}}}}}$

Чтобы завершить передаточную функцию, $\epsilon ^{2a\omega ^{2}}$ может быть аппроксимирован разложением в ряд Тейлора около 0. Полный ряд Тейлора для $\epsilon ^{2a\omega ^{2}}$ показано ниже. ^[6]

$\epsilon ^{2a\omega ^{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2a)^{k}\omega ^{2k}}{k!}}$

Способность фильтра моделировать истинную функцию Гаусса зависит от того, сколько членов взято из ряда. Количество членов, превышающих 0, устанавливает порядок N фильтра.

$F_{N}(\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}\omega ^{2k}}{k!}}}}}$

Для оси частот $\omega$ заменяется на $j\omega$ .

$F_{N}(j\omega )={\sqrt {\frac {1}{\sum _{k=0}^{\mathbb {N} }{\frac {(2a)^{k}(j\omega )^{2k}}{k!}}}}}{\bigg |}_{\text{left half plane}}$

Поскольку только половина полюсов расположена в левой полуплоскости, выбор только этих полюсов для построения передаточной функции также служит для извлечения квадратного корня из уравнения, как видно выше.

Простой пример третьего порядка

Гауссов фильтр 3-го порядка с ослаблением среза -3,010 дБ при $\omega$ = 1 требует использования членов от k=0 до k=3 в ряду Тейлора для получения квадрата функции Гаусса.

$F_{3}((j\omega )^{2})={\frac {1}{1.33333a^{3}(j\omega )^{6}+2a^{2}(j\omega ^{4})+2a(j\omega )^{2}+1}}={\frac {1}{-1.33333a^{3}\omega ^{6}+2a^{2}\omega ^{4}-2a\omega ^{2}+1}}$

поглощающий $a$ в коэффициенты, факторизация с использованием алгоритма поиска корня и построение полиномов с использованием только полюсов левой полуплоскости дает передаточную функцию для гауссовского фильтра третьего порядка с требуемым ослаблением среза -3,010 дБ. ^[7]^[8]..

$F_{3}(j\omega )={\frac {1}{0.2355931(j\omega )^{3}+1.0078328(j\omega )^{2}+1.6458471(j\omega )+1}}$

Быстрая проверка здравомыслия при оценке $|F_{3}(j)|$ дает величину -2,986 дБ, что представляет собой ошибку всего ~0,8% от желаемых -3,010 дБ. Эта ошибка будет уменьшаться по мере увеличения количества заказов. Кроме того, ошибка на более высоких частотах будет более выражена для всех гауссовских фильтров, ошибка также будет уменьшаться по мере увеличения порядка фильтра. ^[6]

Гауссовские переходные фильтры

Хотя гауссовы фильтры демонстрируют желательную групповую задержку, как описано во вступительном описании, крутизна затухания среза может быть меньше желаемой. ^[9] Чтобы обойти эту проблему, были разработаны и опубликованы таблицы, которые сохраняют желаемую характеристику гауссовой групповой задержки на нижних и средних частотах, а затем переключаются на Чебышевское затухание с более высокой крутизной на более высоких частотах. ^[9]

Цифровая реализация

Функция Гаусса предназначена для $x\in (-\infty ,\infty )$ и теоретически потребует бесконечной длины окна. Однако, поскольку он быстро затухает, часто бывает разумно усечь окно фильтра и реализовать фильтр непосредственно для узких окон, по сути, используя простую функцию прямоугольного окна. В других случаях усечение может привести к значительным ошибкам. Лучших результатов можно добиться, используя вместо этого другую оконную функцию ; см . в разделе «Реализация масштабного пространства» подробности .

Фильтрация включает в себя свертку . Говорят, что функция фильтра является ядром интегрального преобразования. Ядро Гаусса непрерывно. Чаще всего дискретным эквивалентом является дискретное ядро Гаусса , которое получается из точек выборки из непрерывного гауссиана. Альтернативный метод — использовать дискретное ядро Гаусса. ^[10] который имеет превосходные характеристики для некоторых целей. В отличие от выборочного ядра Гаусса, дискретное ядро Гаусса является решением дискретного уравнения диффузии .

Поскольку преобразование Фурье функции Гаусса дает функцию Гаусса, сигнал (предпочтительно после разделения на перекрывающиеся оконные блоки) может быть преобразован с помощью быстрого преобразования Фурье , умножен на функцию Гаусса и преобразован обратно. Это стандартная процедура применения произвольного фильтра с конечной импульсной характеристикой , с той лишь разницей, что преобразование Фурье окна фильтра явно известно.

Благодаря центральной предельной теореме (из статистики ) гауссиана может быть аппроксимирована несколькими прогонами очень простого фильтра, такого как скользящее среднее . Простое скользящее среднее соответствует свертке с постоянным B-сплайном (прямоугольным импульсом). Например, четыре итерации скользящего среднего дают кубический B-сплайн в качестве окна фильтра, который довольно хорошо аппроксимирует гауссиану. Вычисление скользящего среднего довольно дешево, поэтому уровни можно довольно легко каскадировать.

фильтра В дискретном случае стандартные отклонения (во временной и частотной областях) связаны соотношением

\sigma _{t}\cdot \sigma _{f}={\frac {N}{2\pi }}

где стандартные отклонения выражены в количестве образцов, а N — общее количество образцов. Стандартное отклонение фильтра можно интерпретировать как меру его размера. Частота среза гауссовского фильтра может определяться стандартным отклонением в частотной области:

f_{c}=\sigma _{f}={\frac {1}{2\pi \sigma _{t}}}

где все величины выражены в физических единицах. Если $\sigma _{t}$ измеряется в выборках, частоту среза (в физических единицах) можно рассчитать с помощью

f_{c}={\frac {F_{s}}{2\pi \sigma _{t}}}

где $F_{s}$ это частота дискретизации.Значение отклика гауссовского фильтра на этой частоте среза равно exp(−0,5) ≈ 0,607.

Однако чаще определяют частоту среза как точку половинной мощности: когда отклик фильтра снижается до 0,5 (-3 дБ) в спектре мощности или 1/ √ 2 ≈ 0,707 в амплитудном спектре (см. например, фильтр Баттерворта ).Для произвольного значения среза 1/ c для отклика фильтра частота среза определяется выражением

f_{c}={\sqrt {2\ln(c)}}\cdot \sigma _{f}

^[11]

Для c = 2 константа перед стандартным отклонением в частотной области в последнем уравнении равна примерно 1,1774, что составляет половину полной ширины на половине максимума (FWHM) (см. функцию Гаусса ). Для c = √ 2 эта константа равна примерно 0,8326. Эти значения довольно близки к 1.

Простое скользящее среднее соответствует равномерному распределению вероятностей и, следовательно, ширине его фильтра размером $n$ имеет стандартное отклонение ${\sqrt {(n^{2}-1)/12}}$ . Таким образом, применение последовательных $m$ скользящие средние с размерами ${n}_{1},\dots ,{n}_{m}$ получить стандартное отклонение

\sigma ={\sqrt {\frac {n_{1}^{2}+\cdots +n_{m}^{2}-m}{12}}}

(Обратите внимание, что стандартные отклонения не суммируются, а дисперсии .)

Гауссово ядро требует $6\sigma _{t}-1$ значения, например, для ${\sigma _{t}}$ из 3, ему требуется ядро длиной 17. Фильтр скользящего среднего из 5 точек будет иметь сигму ${\sqrt {2}}$ . Запуск его три раза даст ${\sigma _{t}}$ 2,42. Еще неизвестно, в чем преимущество использования гауссова, а не плохого приближения.

При применении в двух измерениях эта формула создает гауссову поверхность с максимумом в начале координат, контуры которой представляют собой концентрические круги с началом координат в центре. Двумерная свертки матрица предварительно вычисляется по формуле и свертывается с двумерными данными. Для каждого элемента в результирующей матрице новое значение устанавливается как средневзвешенное значение окрестности этого элемента. Фокусный элемент получает самый большой вес (имеющий наибольшее значение Гаусса), а соседние элементы получают меньшие веса по мере увеличения их расстояния до фокального элемента. При обработке изображений каждый элемент матрицы представляет атрибут пикселя, например яркость или интенсивность цвета, а общий эффект называется размытием по Гауссу .

Фильтр Гаусса не является причинным, что означает, что окно фильтра симметрично относительно начала координат во временной области. Это делает фильтр Гаусса физически нереализуемым. Обычно это не имеет значения для приложений, в которых полоса пропускания фильтра намного больше, чем сигнал. В системах реального времени возникает задержка, поскольку входящие выборки должны заполнить окно фильтра, прежде чем фильтр можно будет применить к сигналу. Хотя никакая задержка не может сделать теоретический фильтр Гаусса причинным (поскольку функция Гаусса везде отлична от нуля), функция Гаусса сходится к нулю так быстро, что причинная аппроксимация может обеспечить любой требуемый допуск с умеренной задержкой, даже с точностью представления с плавающей запятой .

Приложения

GSM, поскольку он применяет GMSK. модуляцию
фильтр Гаусса также используется в GFSK .
Canny Edge Detector, используемый при обработке изображений.

См. также

Ссылки

^ Орвилер, Боб (1969). Вертикальные усилители осциллографа (PDF) (1-е изд.). Бивертон, Орегон: Концепции схем Tektronix. Архивировано (PDF) из оригинала 14 октября 2011 года . Проверено 17 ноября 2022 г.
^ Эндрюс, Джеймс Р. (1999). «Фильтры нижних частот для приложений во временной области» (PDF) . kh6htv.com . Лаборатория пикосекундных импульсов. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2016 года . Проверено 17 ноября 2022 г.
^ Р. А. Хаддад и А. Н. Акансу, « Класс быстрых гауссовских биномиальных фильтров для обработки речи и изображений », Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, том. 39, стр. 723–727, март 1991 г.
^ Шапиро, Л.Г. и Стокман, Г.К.: «Компьютерное зрение», стр. 137, 150. Прентенс-холл, 2001 г.
^ Марк С. Никсон и Альберто С. Агуадо. Извлечение признаков и обработка изображений . Академическое издательство, 2008, с. 88.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Зверев, Анатолий Иванович (1967). Справочник по синтезу фильтров . Нью-Йорк, Чичестер, Брисбен, Торонто, Сингапур: John Wiley & Sons, Inc., стр. 70, 71. ISBN. 0 471 98680 1 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
^ Конспекты лекций доктора Байрона Беннета по проектированию фильтров, 1985, Государственный университет Монтаны , факультет энергоэффективности , Бозман , Монтана, США.
^ Седра, Адель С.; Брэкетт, Питер О. (1978). Теория и конструкция фильтров: активные и пассивные . Бивертон, Оэгон, США: Matrix Publishers, Inc., стр. 45–73. ISBN 978-0916460143 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
^ Jump up to: ^а ^б Уильямс, Артур Бернард; Тейлор, Фред Дж. (1995). Справочник по проектированию электронных фильтров (3-е изд.). США: McGraw-Hill, Inc., стр. 2.56, 2.65, 11.62. ISBN 0-07-070441-4 .
^ Линдеберг, Т., «Масштабное пространство для дискретных сигналов», PAMI (12), № 3, март 1990 г., стр. 234–254.
^ Стефано Боттакки, Шум и помехи сигнала в системах передачи по оптоволокну , стр. 242, Джон Уайли и сыновья, 2008 г. ISBN 047051681X

[1] Орвилер, Боб (1969). Вертикальные усилители осциллографа (PDF) (1-е изд.). Бивертон, Орегон: Концепции схем Tektronix. Архивировано (PDF) из оригинала 14 октября 2011 года . Проверено 17 ноября 2022 г.

[2] Эндрюс, Джеймс Р. (1999). «Фильтры нижних частот для приложений во временной области» (PDF) . kh6htv.com . Лаборатория пикосекундных импульсов. Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2016 года . Проверено 17 ноября 2022 г.

[HaddadAkansu-3] Р. А. Хаддад и А. Н. Акансу, « Класс быстрых гауссовских биномиальных фильтров для обработки речи и изображений », Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, том. 39, стр. 723–727, март 1991 г.

[ShapiroStockman-4] Шапиро, Л.Г. и Стокман, Г.К.: «Компьютерное зрение», стр. 137, 150. Прентенс-холл, 2001 г.

[NixonAguado-5] Марк С. Никсон и Альберто С. Агуадо. Извлечение признаков и обработка изображений . Академическое издательство, 2008, с. 88.

[:1-6] Jump up to: ^а ^б ^с Зверев, Анатолий Иванович (1967). Справочник по синтезу фильтров . Нью-Йорк, Чичестер, Брисбен, Торонто, Сингапур: John Wiley & Sons, Inc., стр. 70, 71. ISBN. 0 471 98680 1 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )

[:5-7] Конспекты лекций доктора Байрона Беннета по проектированию фильтров, 1985, Государственный университет Монтаны , факультет энергоэффективности , Бозман , Монтана, США.

[:7-8] Седра, Адель С.; Брэкетт, Питер О. (1978). Теория и конструкция фильтров: активные и пассивные . Бивертон, Оэгон, США: Matrix Publishers, Inc., стр. 45–73. ISBN 978-0916460143 . {{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )

[:0-9] Jump up to: ^а ^б Уильямс, Артур Бернард; Тейлор, Фред Дж. (1995). Справочник по проектированию электронных фильтров (3-е изд.). США: McGraw-Hill, Inc., стр. 2.56, 2.65, 11.62. ISBN 0-07-070441-4 .

[tpl90-10] Линдеберг, Т., «Масштабное пространство для дискретных сигналов», PAMI (12), № 3, март 1990 г., стр. 234–254.

[11] Стефано Боттакки, Шум и помехи сигнала в системах передачи по оптоволокну , стр. 242, Джон Уайли и сыновья, 2008 г. ISBN 047051681X

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]